Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

13.99 Mб

Скачать

☆

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

В.Я АРСЕНИН

МЕТОДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ

ФУНКЦИИ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР

в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М о с к в а 1974

517.2 А 85

УДК 517.5

■ Л ■тА *€

Y f - Ш Я :

Методы математической физики и специальные функ ции. В. Я. А р с е н и и . Главная редакция физико-мате матической литературы изд-ва «Наука», 1974.

Книга предназначается для студентов инженернофизических, физико-технических и других специально стей с повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно излагаются основные методы решения задач математи ческой физики (методы Фурье, функций Грина, харак теристик, потенциалов, интегральных уравнений и др-) и специальные функции — цилиндрические, сферические, ортогональные полиномы, гамма-функция и начальные сведения о гипергеометрических функциях. Метод харак теристик излагается для систем линейных и квазилиней ных уравнений. Рассматривается понятие корректно и некорректно поставленных задач. Для интегральных уравнений первого рода дается устойчивый метод при

ближенного решения (метод регуляризации). Книга		яв
ляется результатом существенной	переработки книги
того же автора «Математическая	физика» (1966	г.).
Илл.— 47. Библ. — 35.

©Издательство «Наука», 1974.

, 20203—056 ^

А' —1-74 053(02)-74

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.............................................................................................

Из предисловия к книге «Математическая физика»....................

Ч а с т ь

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф ИЗИКИ

Глава I.

Классификация линейных уравнений с двумя независи

мыми

переменными и приведение их к канонической

форме

Задачи ....................................................................................................

Глава I I .

Простейшие задачи,

приводящие к

уравнениям раз

личных типов. Постановка краевых за д а ч ..................................

§ 1. Уравнение малых поперечных

колебаний струны . . .

§ 2.

Уравнение

малых

продольных колебаний

упругого

§ 3.

ст ер ж н я .......................................................................................

поперечных колебаний мембраны. .

Уравнение малых

§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики...............................

§ 5.

Уравнения для напряженности электрического и маг

нитного полей

в в а к у у м е ......................................................

§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии........................

§ 7.

Кинетическое уравнение

.......................................................... Постановка

краевых

задач

§ 8. Типы краевых

условий.

Задачи.....................................................................................................

Глава III.

Метод характеристик..........................

Характеристическое

направление и

характеристики

оператора

Я [f]

форма

оператора

h [и,

Характеристическая

= Я 1[и] + Я 2[ и ] ..................................................................

пары операторов hx [и,

Характеристическая форма

и /г2 [и, о] ............................................................................

системы с постоянными

коэффици

Гиперболические

ентами ...................................................................................

задачи

Коши

одномерного

волнового

5. Решение

уравнения. Формула Даламбера....................................

волнового

6. Решение

задачи

Коши для

неоднородного

у р авн ен и я .............................................................................

§7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения к входным данным. Обобщен

§			ное реш ение.........................................................................		57
	9.		8. Решение краевых задач на полупрямой..................		61
§			Отражение волн на закрепленных и на свободных		64
§	10.		к о н ц а х ..................................................................................
			Решение задачи о распространении краевого режима		65
§	11.		на полупрямой ..................................................................
			Решение задачи Коши для трехмерного и двумерно		66
§			го волновых уравнений. ФормулаП уассона................
		12. Физическая интерпретация формулыПуассона . . .			73
§		13. Системы квазилинейных уравнений............................			75
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений. .					75
§		15. Образование разрывов в решении...............................			77
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа . .					79
§	17.		Численное решение систем квазилинейных уравнений		80
			методом характеристик .....................................................
Задачи................................................................................................					81
Гласа I V . Метод Фурье решения краевых задач (метод разделе					83
ния			переменных)..........................................................................
§ 1.			Предварительные понятия................................................		83
§	2.		Сущность метода Фурье. Собственные функции и соб		84
§ 3.			ственные зн ач ен и я ...............................................................	собственных функций и собствен
			Основные свойства		92
§ 4.			ных значений.........................................................................	совокупности собственных функ
			Некоторые свойства		108
			ций ............................................................................................

§ 5.	Решение неоднородных краевыхзадачметодом Фурье 112
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых		задач
	для уравнений эллиптического т и п а ..............................	117
Задачи...............................................................................................		120
Глава V . Метод Дюамеля решения задач о распространении кра
евого реж и м а..................................................................................		124
Глава VI. Метод функций Грина решения краевых задач		и за
дачи	Коши для уравнений параболическогот и п а ...................	130

§1. Сущность метода функций Грина решения краевых задач и задачи Коши для уравнений параболического

§ 2.	т и п а .........................................................................................	Грина задачиКоши		на прямой		130
	Построение функции					136
§ 3.	Решение задачи о распространении		тепла	на	беско	140
§ 4.	нечной прямой (задача Коши) и наполупрямой				. . .
	Решение задачи о распространении		тепла	в трехмер		149
§ 5.	ном (двумерном) пространстве...........................................		к малым		измене
	Устойчивость решения	задачи Коши				152
	ниям входных данных	.........................................................
Задачи ...............................................................................................						155
Глава VII. Метод функций Грина решения			краевых задач для			156
уравнений эллиптического типа ..................................................
§ 1.	Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармо					156
	нических ф у н кц и й ...............................................................

§	2.	Сущность метода функций			Грина.		Некоторые свойст		162
§	3.	ва функций Грина		...............................................................		Интеграл Пуассона . . .
		Построение функций Грина.							168
Задачи................................................................................................									179
Дополнение к главам VI			и VII. О методе функций Грина ре
шения краевых задач и задачи					Коши для уравнений гипер				179
болического т и п а ............................................................................
Глава	V I I I . Единственность решенияосновных з а д а ч ..................								182
§	1.	Единственность	решения		краевых		задач	для уравне	182
§	2.	ний гиперболического т и п а				задачи..............................................	Коши	для волно
		О единственности		решения					185
§ 3.		вого уравнения.....................................................................			краевых		задач	для уравне
		Единственность	решения						186
§ 4.		ний параболического т и п а ..................................................
		Принцип максимума и минимума для решений урав							188
		нения теплопроводности.....................................................
§ 5. Единственность			решения задачи Коши для уравнения						191
		теплопроводности..................................................................			краевых		задач для уравне
§ 6. Единственность			решения						193
		ний эллиптического типа			..................................................
Глава IX. Интегральные уравнения..................................................									198
§ 1. Классификация линейных интегральныхуравнений. .									198
§	2.	Интегральные уравнения свырожденными ядрами . .							199
§ 3.		Существование реш ений .....................................................							200
§	4.	Понятие о приближенных методах решения интеграль							205
§ 5.		ных уравнений	Фредгольмавторого				р о д а ......................
		Теоремы Фредгольма............................................................							206
Глава X.		Сведение краевых		задач	к интегральным уравнениям.				212
Потенциалы......................................................................................
§ 1.		Объемный потенциал...........................................................							212
§ 2. Потенциал простого слоя					..................................................				220
§ 3.		Потенциал двойного с л о я ..................................................							223
§ 4.		Применение потенциалов к решению краевых задач							230
§ 5.		Другие задачи,	сводимые к интегральным уравнениям						232
Задачи ................................................................................................									234
Глава	XI. Интегральные уравнения				ссимметричными ядрами. .				235
§	1.	Простейшие свойства собственных функций и собст							236
§ 2.		венных значений ядра К (х,				s ) ...................................
		Спектр итерированных яд ер .............................................							241
§ 3.		Разложение итерированных				я д е р ....................................			244
§ 4.		Теорема Гильберта —Ш мидта..........................................							246
§ 5.		Разложение решения неоднородного уравнения . . . .							250
§ 6.		Теорема Стеклова		.................................................................					252
§ 7.		Классификация	я д е р ...........................................................			заданных на бесконечном			253
§	8. Спектр симметричных ядер,								254
		промеж утке............................................................................

Глава	X I I .		Понятие некорректно поставленных задач. О прибли						258
женном решении				интегральных уравнений первого рода . . .					258
§	1.	Понятие корректно поставленных и некорректно по							258
§ 2.		ставленных		з а д а ч ...............................................................				-	258
§ 2.		Кратко о некоторых методах решения					некорректно
		поставленных задач........................................................						263
				Ч а с т ь		II
				С П Е Ц И А Л Ь Н Ы Е ФУНКЦИИ
Глава	XIII. Гамма-функция. Бета-функция............................							270
§	1.		Гамма-функция и ее			свойства.....................		270
§ 2. Бета-функция.........................................................................									279
Глава XIV. Цилиндрические функции..............................................									282
§	1.	Поведение		решений	уравнений с особыми точками в				283
§ 2.		окрестности		особых	точек ..................................................				283
§ 2.		Функции Бесселя и Н ейм ана...........................................							286
§ 3.		Ортогональность функций Б ессел я .................................							291
§ 4. Нули цилиндрических функций........................................									295
§ 5.		Функции Ганкеля..................................................................							302
§	6. Модифицированные				цилиндрические функции			(цилин	310
§	7.	дрические функции мнимого аргумента).......................							310
§	7.		Асимптотические		представления		цилиндрических
§ 8.		ф ункций ..................................................................................							312
§ 8.		Функции Эйри .....................................................................							328
Задачи...............................................................................................									329
Глава	X V . Ортогональные многочлены					...........................................			332
§	1.	Некоторые		общие	свойства	ортогональных		много	332
§ 2.		членов .....................................................................................							332
§ 2.		Многочлены Л ежандра........................................................							335
§ 3. Многочлены				Чебышева —Эрмита ....................................					349
§ 4.		Многочлены Чебышева —Л агерра....................................							359
Глава	XVI. Сферические функции.....................................................								359
§ 1. Простейшие сферические функции .................................									369
§ 2.		Присоединенные функции Л еж андра..............................							370
§ 3,		Фундаментальные сферические ф ункции.......................							374
Задачи...............................................................................................									378
Глава	X V II .		Начальные сведения о гипергеометрических функ
циях		..................................................................................................							380
Дополнение.			Понятие обобщенных функций. 6-ф ункция					.............	385
Ответы к задачам ..................................................................................									401
Литература			............................................................................................						430

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга предназначается для студентов инженернофизических, физико-технических и других специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и инже неров этих профилей.

Она является результатом существенной переработки моей книги «Математическая физика», выпущенной изда тельством «Наука» в 1966 г. В наибольшей степени пере работке подверглись следующие разделы: метод характе ристик решения задач для уравнений гиперболического типа, метод функций Грина, единственность решения кра евых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, по священная специальным функциям.

Изменилось и построение книги. В основу положены методы решения простейших задач математической физики

иих возможности в применении к уравнениям (системам) различных классов (типов). Такое расположение матери ала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить прак тические алгоритмы получения решений основных задач.

Имея в виду практические потребности обработки ре зультатов физического эксперимента, в книге вводится понятие корректно поставленных и некорректно постав ленных задач. Для многих основных задач рассматривается устойчивость изучаемых методов их решения к малым изменениям «исходных данных». В приложении к интеграль ным уравнениям первого рода алгоритмически описывается

иметод нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивый к малым изменениям «исходных данных» (метод регуляризации).

Вотличие от прежней книги, в этой книге метод ха рактеристик излагается для систем линейных и квазили нейных уравнений и показывается возможность образова ния разрыва в решении при сколь угодно гладких «исход ных данных».

Содержание книги почти полностью совпадает с курсом лекций, который я читал в течение многих лет на факуль тете экспериментальной и теоретической физики Москов ского инженерно-физического института.

А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал мно гочисленные важные замечания и ценные советы по содер жанию книги и изложению, которыми я воспользовался. Полезные замечания, позволившие устранить упущения и улучшить изложение, были высказаны А. Ф. Никифо ровым, Е. А. Волковым и редактором А. С. Чистополь ским. Всем этим товарищам выражаю глубокую благо дарность.

Автор

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»

Этот курс складывался под непосредственным влия нием А. Н. Тихонова, определившего основное содержа ние программы курса. С А. Н. Тихоновым и А. А. Са марским я неоднократно обсуждал многие вопросы и поль зовался их ценными советами. В. С. Владимиров и Т. Ф. Волков прочитали рукопись и высказали ряд важ ных замечаний и советов, которыми я воспользовался. Многочисленные полезные замечания были высказаны ре дактором С. А. Широковой. Всем этим товарищам выра жаю глубокую благодарность.

Автор

Ч а с т ь I

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Глава /

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Большое число физических задач приводит к диффе ренциальным уравнениям с частными производными вто рого порядка относительно искомой функции. Такие урав нения можно написать в виде соотношений между неза висимыми переменными хг, ..., хп, искомой функцией и и ее частными производными первого и второго порядков

“v	Uxn’ Uxix2’	Uxixn’ •••’		Uxixr •••' UV V
Ф (xy,	X%, . • . , Xn\ U,	Ux^,	W*3> • • • > Uxn',
			U>W	•••’ Uxixr	Uxnxn) = 0-
Очень	часто эти уравнения являются линейными относи
тельно	старших производных — производных				второго по
рядка, т. е. имеют вид
П	П
^ I	GijUx-X-"4~ F (■%>		• • • >	Uj; , • • • > иXп) = О,
I= 1 / = 1

где коэффициенты при старших производных 0,7 являются

функциями только независимых переменных xlt		х2, ..., хп.
Если функция-F (хх........ хп, и,	uXl...........их )	линейна
относительно аргументов и, uXl,	..., их , то	уравнение

называется линейным (без указания, относительно чего). Линейные уравнения имеют вид

п	п	п
2	£	аиих.х. + 2 biUXi+ cu = f (ху, ..., хп),	(*)
i=i / = 1		t= 1

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202312.75 Mб32Арнольд К. Методы спутниковой геодезии.pdf
#
19.10.20234.83 Mб25Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва.pdf
#
23.10.20238.39 Mб30Аронов Р.И. Испытание сооружений учеб. пособие.pdf
#
19.10.20236.1 Mб17Арсанова, Г. И. Редкие щелочи в термальных водах вулканических областей.pdf
#
25.10.202318.36 Mб93Арсенид галлия. Получение, свойства и применение.pdf
#
22.10.202313.99 Mб108Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
#
19.10.20235.04 Mб66Арсентьев, А. И. Вскрытие и системы разработки карьерных полей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20234.24 Mб18Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf
#
19.10.20235.78 Mб23Арсон, Л. Д. Оценка прочности и массы тонкостенных конструкций.pdf
#
22.10.202311.97 Mб173Артамонов, М. Д. Основы теории и конструкции автомобиля учебник.pdf
#
22.10.202314.85 Mб56Артемова, Г. А. Основы художественного конструирования.pdf