книги из ГПНТБ / Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок

Из (5.147) следует, что среднее время до отказа третьей группы резервированной системы равно этой же величине для одного нере­ зервированного элемента.

Определим теперь среднее время пребывания системы в состоянии

отказа первой группы Тс1. Для этого найдем функцию распределения времени нахождения системы в этом состоянии. Аналогично рас­ смотренным ранее схемам будем иметь

' . ОЭ Т - Н

со Т-М'

+ { } « 3 (т) ах(0 — т) Рг (т) Р2(0 — т) dQ dx +

со т-Н

-f- | j а3(х) Рх (0) а2 (0 — т) dQ dx.

О %

Выполнив интегрирование, окончательно получим

Таким образом, среднее время пребывания системы в состоянии отказа первой группы определится из выражения

о

Выигрыш по среднему времени безотказной работы относительно отказов третьей группы по сравнению с двумя последовательно соединенными элементами в соответствии с (5.146) будет

АГСЗ = Пci-

Характеристики надежности с учетом восстановления* Пусть элементы /, 2 и 3 равнонадежны (Хх = Х2 = Х3 = Я) и имеют оди­ наковую интенсивность восстановления р. Тогда уравнения, описы­ вающие работу системы, имеют вид:

Qco(0 = 2kQco (t) -f- pQci (t)',

Qc3 (0 = — 2pQC3(^) -)- 2XQci (£).

Решая систему (5.150), получаем искомые вероятности:

, a2beat — Ьгаеы

'ab(a — b)

Здесь ’

Изменение величин QC(- (i — 0, 1, 3), определяемых выражениями (5.151), в зависимое™ от времени показано на рис. 54, из которого

видно, что величины Qci (t) уже через 400—450 ч отличаются от своих предельных значений менее чем на 5%, т. е. в практических расчетах можно принимать во внимание лишь эти значения. Последние, в соот­ ветствии с (5.151), имеют вид:

212

Сравнивая стационарные значения указанных вероятностей с таковыми для двух последовательно включенных элементов из

(5.12) и (5.152), найдем, что

Qci — AQco -j- AQC3-

Найдем теперь вероятность нахождения системы в момент вре­ мени t впервые в состоянии отказа третьей группы. Уравнения, описывающие работу системы, когда такое состояние является по­ глощающим, имеют вид

Отсюда вероятность безотказной работы резервированной си­ стемы относительно отказов третьей группы с учетом восстановления ее элементов будет

Среднее время до наступления в первый раз отказа третьей группы определится равенством

о

Основные количественные характеристики надежности рас­ сматриваемой схемы приведены в табл. 19.

Пусть теперь время работы до отказа и продолжительность вос­ становления элементов резервированной системы распределено про­ извольно. Так же как и ранее, найдем вероятность безотказной ра­ боты относительно отказов третьей группы с учетом восстановления.

Обозначим через Р (t) вероятность отсутствия отказа системы за время t, если отказ одного из элементов наступил в момент т. Тогда имеет место равенство

о

214

Таблица 19

Основные характеристики надежности резервированной по схеме скользящего резерва системы (экспоненциальный закон надежности)

1 Имеются в виду стационарные значения указанных вероятностей.

С другой стороны, вероятность безотказной работы относительно отказов третьей группы можно записать как вероятность события, являющегося суммой следующих событий:

1. Оба рабочих элемента были исправны в течение данного вре­

Таким образом, выражение для вероятности Р (t) может быть записано в виде

Р (t) = Z52(0 -j- 2 J а (т) Р (t) Р (t — x) dx +

2 | а (т) | а (0) Р (0 — т) R (т, 0 — т) ср (0, t — 0) сЮdx-\-

— 0) сЮ dx. (5.157)

ОIX

Приравнивая правые части в равенствах (5.156) и (5.157), полу­ чаем уравнение для определения неизвестной функции ср (т, t — т)

Найдя значение ср (т, t — т) из (5.158), можно определить иско­ мую вероятность из равенства (5.156).

Схема скользящего резерва при последовательном соединении рабочих элементов как способ повышения надежности. Резервиро­ вание по рассматриваемой схеме всегда приводит к выигрышу по количественным характеристикам надежности относительно отказов третьей группы по сравнению с двумя соединенными последовательно элементами.

В данной схеме резервирования имеются отказы первой группы, относительно которых количественные характеристики, как и в слу­ чае резервирования замещением, равны выигрышу по этим величи­ нам относительно отказов третьей группы.

При резервировании по данной схеме скользящего резерва в соот­ ветствии с (5.142) надежность резервированного элемента и, следо­

216

вательно, надежность установки повышается за счет замены более тяжелых отказов третьей группы более легкими отказами первой группы, причем такая замена является равноправной.

Учет восстановления существенно изменяет количественные ха­

больше этой же величины для невосстанавливаемых элементов.

Пример 7. Циркуляционные насосы системы охлаждения главного двигателя

Среднее время безотказной работы относительно отказов третьей группы по формуле (5.147)

ТСЗ~ Х 1,06.IQ'6 = 94 340 ч.

Среднее время до наступления в первый раз отказа третьей группы с учетом ремонта (5.155)

Т = -J~+ X = 94339>6 + 4Т1,Т24Т б^ = 94339>6 + 2-609' 107 ч‘

Вероятность застать резервированную систему в момент времени в исправном состоянии по формуле (5.152)

217

Вероятность застать резервированную систему в момент времени в состоянии отказа первой группы по формуле (5.152)

Вероятность застать резервированную систему в момент времени в состоянии отказа третьей группы по формуле (5.152)

-2Л2 2,2472-10-е А

Ус3~ 2X2+ 2Лц + р2 _ 1,4425 ~

Рассмотрение количественных характеристик циркуляционных насосов пока­ зывает, что они являются весьма надежными элементами установки. Так, значение

величины Qc3 говорит о том, что возникновение отказа третьей группы СЭУ вслед­ ствие отказа циркуляционных насосов практически не происходит, т. е. все отказы являются отказами наиболее легкой первой группы. Можно считать также, что ре­ зервирование полностью выполняет свою задачу, обеспечивая практически нулевое

значение вероятности Qcg.

Скользящий резерв при параллельном соединении рабочих элементов

Характеристики безотказности. Безотказная работа резервиро­ ванной системы есть событие, заключающееся в безотказной работе элементов 1 и 3 в интервале (0, t):

Отказ первой группы — отказ одного из элементов 1 или 3 в мо­ мент т <С t при условии, что резервный и оставшийся рабочий эле­ менты были исправны в промежутке времени (т, t). Таким образом,

Отказ второй группы — событие, являющееся суммой двух со­ бытий:

— один из рабочих элементов отказал в момент т < t, второй — в момент т < 0 < t, резервный исправно работал в промежутке

(*. 0;

— один из рабочих элементов отказал в момент т < t, резерв­ ный — в момент т << 0 <3 t, оставшийся рабочий элемент был испра­ вен в промежутке (-0, t).

Таким образом, найдем

t t

Qc2 (0 = 2 Ja{x) P (x) \ a {Q— x)'P (Q — x) P ^ t ~ Q) dQ dx +

+ 2 j а (т) P (0) Ja (0 — t) Px (t — 0) dd dx.

0 T

218

Если после отказа двух элементов нагрузка на третий не ме­

Изменение величин Рс0, Рс1, Рс2 и Рс3, определяемых равен­ ствами (5.164), в зависимости от времени показано на рис. 55 (штри­ ховая линия соответствует вероятности безотказной работы нерезер­ вированного механизма, штрихпунктирная — сумме вероятностей безотказной работы относительно отказов первой и второй групп).

219

тем, что в данном случае не учитывался эффект восстановления. Из рис. 55 следует также, что имеется отрезок времени, когда ве­ роятность безотказной работы относительно отказов первой группы резервированной системы меньше, чем вероятность безотказной

с нерезервированным элементом. Таким образом, при резервировании по данной схеме скользящего резерва этот выигрыш обеспечен при любом конечном значении

Однако даже при ^ — > 0 0 рассматриваемая схема резервирования дает преимущество перед постоянно включенным резервом при про­ чих равных условиях, так как здесь надежность резервированной системы повышается за счет замены отказов третьей группы отка­ зами первой группы, в то время как при постоянно включенном резерве отказы третьей группы заменяются отказами второй группы.

Анализ зависимостей (5.163) показывает, что Для данной схемы

220