книги из ГПНТБ / Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок

меньше продолжительность работы резервированной системы. Зная вероятности отказов и безотказной работы, можно найти и

другие характеристики безотказности. Как и в случае резервирова-

Если после отказа одного из элементов нагрузка другого остается прежней, т. е. если %' = Я, то

ас0 (/) = 2Ле~2«; ас2 (t) = 2%е~м (1 — 2е~м);

Относительное значение выигрыша по частоте отказов третьей группы

190

Зависимость величины « а от времени при различных значениях —

и поэтому не показана на рис. 48).

Вычисляя изменение частоты отказов в результате резервирова­

Сравним теперь среднее время безотказной работы резервирован­

Пусть резервированный элемент отказал в случайный момент времени т (рис. 49), а один из элементов 1 или 2 резервированной си­ стемы — в момент тх; оставшийся исправным элемент отказал в мо­ мент 0. Очевидно, что в среднем тд < т < 0. Таким образом, среднее время безотказной работы резервированной системы Тс0 равно Среднее время пребывания системы в состоянии отказа второй группы Тс2 равно 0 — и среднее время безотказной работы относительно отказов третьей группы Тс3 равно 0.

Из рис. 49 следует, что в результате резервирования среднее время безотказной работы по сравнению с нерезервированным эле­ ментом уменьшилось на величину ДТс0 = т — тх. Одновременно среднее время безотказной работы относительно отказов третьей группы увеличилось на величину ДГс3 = 0 — т. Из рис. 49 следует также, что

где Тс2 — время пребывания системы в состоянии отказа второй группы.

191

Найдем каждую из приведенных в выражении (5.113) величин. Как и в случае резервирования замещением,

оо

Подставляя в (5.114) выражения для Pci (t) из (5.99) и интегри­ руя, окончательно получаем:

Для определения времени пребывания в состоянии отказа вто­ рой группы найдем функцию распределения F (t), т. е. найдем ве­ роятность Р j Тс2 < /}. Эта вероятность есть вероятность события, заключающегося в отказе одного из элементов в момент т и отказе другого в промежутке (т, т + t), т. е.

F(t) = P{Tc2< t} =

со %- \-t

= 2 J | а (т) Р (т) а' (0 — t) dQ dx = 1 — e~v t .

0 x

Таким образом,

Теперь нетрудно из (5.115) убедиться еще раз в справедливости (5.113).

Равенство (5.115) показывают, что выигрыш во времени без­ отказной работы имеет место лишь в случае, когда к' < 2к.

Аналогично может быть рассмотрен и более общий случай, когда механизмы 1 и 2 неравнонадежны. Пусть A,i, к2, Xj и к2— соответ­ ственно интенсивности отказов элементов 1 и 2 при исправной их работе и при отказе одного из них. Тогда, выполняя для этого слу­ чая приведенные выше вычисления, получаем:

p c0(0 = e_№i+x,,<;

192

Нетрудно также проверить, что и в этом случае справедливы ра­ венства (5.104), (5.105), (5.112) и (5.113).

Зависимости (5.115) показывают, что при Я' > 2Я среднее время работы резервированной системы до отказа третьей группы меньше этой же величины для нерезервированного элемента.

В связи с вышеизложенным, при дальнейшем исследовании этой

Я'

и других схем резервирования диапазон изменения величины - у

принят небольшим: от V5 до 5. Однако уже в этом интервале можно получить достаточно полное представление о влиянии изменения нагрузки элемента на надежность резервированной системы.

Характеристики надежности с учетом восстановления. Пусть ин­ тенсивность восстановления элементов 1 и 2 одинакова и равна р. Тогда уравнения, описывающие работу системы и полученные ана­ логично случаю резервирования замещением, будут:

Здесь

(5.119), изображен на рис. 50. Рисунок показывает, что для данной схемы резервирования справедливы те же соображения относительно

скорости сходимости величин Qcl (t) (t = 0, 2, 3) к своим предель­ ным значениям, что и в случае резервирования замещением. Пере­ ходя к пределу при t —» оо в (5.119), указанные предельные значения получим в виде:

На надежность резервированной системы влияет, как это видно из выражений (5.89), (5.109), (5.117) и (5.119), режим работы остав­ шегося исправным элемента после отказа другого, причем это влияние

тем сильнее, чем меньше отношение Так, при = 1 увеличе-

ние интенсивности отказов оставшегося исправным элемента в два раза увеличивает вероятность застать систему в состоянии отказа

третьей группы в 1,6 раза, а при - j - = 10 эта величина равна трем.

Для данной схемы резервирования аналогично изложенному ранее можно показать справедливость соотношения

Q c i — AQcO AQc3

Найдем теперь среднее время до наступления в первый раз отказа третьей группы. Для этого составим уравнения, описывающие ра­ боту системы для случая, когда такое состояние является поглощаю­ щим. Они имеют вид:

Qco(0 = —27Qco (t) -f- pQC2 (/);

Qc3 ( 0 = ^ Q c2 ( 0 -

Решая систему (5.121), можно найти величину Qc3 (t) и затем

вероятность безотказной работы с учетом восстановления Р (t). Теперь искомое время определится соотношением

Т= J Р (t) dt.

о

194

а)

0,174

Выполняя вычисления, получаем

.. 2А + А'4-Iх

~2АА'

При А/ = А

г р _ ЗА.~4Iх 1 ~ 2А2 ‘

Основные характеристики надежности схемы постоянно вклю­ ченного резерва и равнонадежных элементов приведены в табл. 18.

Таблица 18

Основные характеристики надежности резервированной по схеме постоянно включенного резерва системы (два элемента,

экспоненциальный закон надежности)

Расчетная формула

1 Имеется в виду стационарное значение указанных вероятностей.

196

Аналогично предыдущему может быть рассмотрен и общий слу­ чай, когда элементы 1 и 2 неравнонадежны и имеют различные интен­ сивности восстановления р х и р 2 соответственно. Уравнения, опи­ сывающие работу системы, в этом случае имеют вид:

Qc3 (0 == (Pi “(~ P2 ) Qc3{t) ~f- A,2Qc2^ (.0 “b ^lQc2^ (Q.

Здесь

QcP (t) — вероятность отка­ за второй группы, если произошел отказ элемента 1\

Qc2 J (t) — вероятность отка­ за второй группы, если произошел отказ элемента 2.

Зависимость величин

QcO, Qcl\ Qc2 } И Qc3 от вре­ мени для случая, когда

Pi = М- 2 = р, и при раз­

ностей к своим предельным

Рис. 51. Зависимость от вре­ мени величин Qc0, Q<^, Q $ ,

и Qc3: а— Aj = 10 4 1/ч,

Aj = 4 - 1 0 ~ 4 1/ ч , Л,2= 8 - 10- 4 1/ ч,

р = 10 2; б — Aj = = Х'2 =

= 10“ 2 1/ч; р = 10-1 1/ч.

197

Значениям, поэтому ограничимся при решении системы (5.122) на­ хождением только этих значений. Решим систему (5.122):

Q ___________ (Ях+ Я2)(Я2Л + Ях)_________

с3 2Н1Н2 ( А + 1)+ (Hi+ Иг)А (Яц+ Я2)+

+ (Hi+ Иг)(Ях+ Я2)+ (^'1+ Я2)(Я2^ + Ях)

Здесь

д _Ях(Hi+ Иг)~ЬЯгЯх+ Я2Ях Я2(Hi“Н Иг)~рЯ|Я2-{-Я2Я2

Если Ях = Я2 = Я и Я{ = Я2 = Я', то А = 1 и величины, опреде­ ляемые выражениями (5.123), как и должно быть, совпадают с соот­ ветствующими членами из равенства (5.120).

Параллельная работа трех элементов

Выше был рассмотрен случай постоянно включенного резерва при двух параллельно работающих на один потребитель элементах. Однако в СЭУ встречаются случаи параллельной работы (котлы, главные двигатели и др.) трех и более элементов. Поэтому рассмо­ трим резервированную систему, состоящую из трех параллельно работающих элементов 1, 2 и 3 (например, три дизель-генератора на один гребной электродвигатель) с интенсивностями отказа Я на один потребитель 4. Схема такого резервирования представлена на рис. 3, а. Остановимся на наиболее общем случае, когда при отказе одного из элементов, работающих с интенсивностью отказов Я, два исправных работают с интенсивностью отказов Ях. При отказе двух элементов третий продолжает работу с интенсивностью отка­ зов Я2.

Характеристики безотказности* При определении этих количе­ ственных характеристик надежности резервированной системы эффект восстановления не учитывается, т. е. в данном случае работа

198

системы может быть описана уравнениями процесса чистой гибели. Для рассматриваемого случая резервирования они будут:

Qo(0 = —3XQ0 (/);

Q’l (t) = 3XQ0 ( t) - 2 h Q i (t)\

(5.124)

Qu{t) = 2K1Ql( i ) - X 2Qii(ty,

Qiii (0 = X2Qu (0-

Здесь Су (t) (i = 0, I, II, III) — вероятность нахождения системы в момент £ в г-ом состоянии, т. е. в состоянии отказа i элементов.

Принимая во внимание классификацию отказов системы, можно отметить, что состояние 0 есть исправное состояние, состояние I и II — отказ второй группы и состояние III — отказ третьей группы резервированной системы. Таким образом, вероятности застать резервированную систему в исправном состоянии Qc0 и состоянии

Окончательно для искомых величин, решив систему (5.124), получим следующие равенства:

Qo{t) = e-™-

Q, (0 = » А г ( е^ <- е“ %,0;

2%1— гх

6ХХх

Qn (0 : (2Хг — ЗЯ) (ЯаЗЯ) (2Хг - Я2)■[(2К - К ) е ~ ™ +

+(Л2—ЗЛ) e~2kii +(ЗЛ—2ЛХ)

,

бЯЯхв"— (5.126)

(ЗЯ— Я2)(2Яа— Я2) •

В случае, когда Ях = Я2 = X, т. е. перераспределения нагрузки при отказе элементов не происходит, из (5.126) будем иметь:

Qm (t) = 1 — е-ш + Зе-2» — 3e~xt.

Зная величины Q0 (£), Qt (t), Qn (t) и QUI (t), можно при помощи (5.125) определить вероятности отказов соответствующей группы, вероятности безотказной работы и другие характеристики безот­ казности.

1 9 9