книги из ГПНТБ / Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок

Аналогично предыдущему для Р<2>(/) получим

t

Р {2) (0 = Р2(0 + j а2(т) Рг (t - х )dx +

I ъ

-f J 02 (т) | аг (0 — т) R2(т, 0 — т) фх (0, t — 6) dQ dx. (5.82)

Приравняв правые части выражений (5.80), (5.81) и (5.82), по­

чае эти величины определяются на основании статистических дан­ ных эксплуатации.

Резервирование замещением как способ повышения надежности.

Результаты, приведенные в настоящем параграфе при рассмотрении схемы резервирования замещением, позволяют отметить следующее:

1. Резервирование элементов СЭУ по схеме замещения в соот­ ветствии с зависимостями (5.39), (5.46) и (5.55) всегда приводят

квыигрышу по количественным характеристикам надежности как

сучетом, так и без учета восстановления относительно отказов третьей группы, причем этот выигрыш в силу (5.41), (5.56) и др. численно равен характеристикам надежности относительно отказов первой группы. Таким образом, надежность установки повышается за счет эквивалентной замены более тяжелых отказов третьей группы более легкими отказами первой группы.

2. Среднее время до возникновения отказов третьей группы

с нерезервированным показывает, что для наиболее часто встречаю­

180

щегося на практике случая, когда к г = к 2 = к, наличие одного ре­ зервного элемента увеличивает среднее время безотказной работы в два раза. Введение второго резервного элемента увеличивает эту величину только в 1,5 раза. Аналогичные соображения справедливы и для других количественных характеристик надежности.

Таким образом, каждый последующий резервный элемент все в меньшей степени, по сравнению с предыдущим, влияет на надеж­

ковы) увеличением массы и стоимости.

В заключение отметим, что эффект повышения надежности имеет различный характер по отношению к разным характеристикам на­ дежности. Так, например, по отношению к вероятности безотказной работы [см. (5.42)] он тем выше, чем длительнее работа резервиро­ ванной системы, что же касается вероятности отказа [см. (5.43)], то здесь можно сделать прямо противоположный вывод. Таким обра­ зом, использование достаточно большого числа величин в качестве количественных характеристик надежности в некоторых случаях может затруднить однозначную оценку изменения надежности си­ стемы в результате проведения тех или иных мероприятий.

Пример 5. Циркуляционный насос системы смазки главного двигателя резер­ вируется по схеме замещения. Интенсивность отказов насоса Х = 2 ,2 Ы 0 -6 1/ч. Интенсивность восстановлений р = 0,23 1/ч. Найдем основные характеристики надежности резервированной системы, используя полученные выше зависимости.

Вероятность безотказной работы резервированной системы (5.38) относительно отказов г'-й группы (i = 1,3):

ас1 (t) = ke~xt (1 — Щ = 2,21 • 10 -5е~2-21-10-^ (1 — 2,21 • К)-5/); ac3(t) = k2te~xt = 4,884 - 10-10(е-2'21Л°-50

Среднее время безотказной работы резервированной системы относительно отказов третьей группы (5.56)

Tc3 = ~y = 2,21.10-6“ = 90 498 Ч-

Вероятность застать резервированную систему в момент времени t в исправном состоянии (5.53)

181

Вероятность застать резервированную систему в момент времени t в состоя­ нии отказа первой группы (5.53)

Qci = 4’4252239110:4- 0,0002-

Вероятность застать резервированную систему в момент времени t в состоянии отказа третьей группы (5.53)

Резервирование обводом. Изложенное выше относительно схемы резервирования замещением основывалось на следующей организа­ ции работы элементов: при отказе рабочего элемента 1 включается резервный элемент 2\ отказавший восстанавливается и ставится в резерв. При отказе двух элементов оба они восстанавливаются. Однако работа многих резервированных по схеме замещения элемен­ тов организована иначе: резервный элемент 2 работает вместо отка­ завшего рабочего элемента 1 лишь в течение времени восстановления последнего, причем обеспечивает потребителя, как правило, лишь частично. Частным случаем такой схемы является резервирование обводом. Обводом снабжены некоторые механизмы и большинство теплообменных аппаратов энергетических установок. Обвод позво­ ляет рабочему телу, минуя отказавший элемент, продолжать соверше­ ние рабочего цикла.

Найдем количественные характеристики надежности систем, работающих по указанной схеме резервирования. Определение тех из них, которые не учитывают восстановление элементов, не имеет каких-либо особенностей, поэтому остановимся лишь на вопросах расчета характеристик надежности с учетом восстановления. В даль­ нейшем для большей общности будем считать, что элементы 1 я 2 неравнонадежны и при отказе основного элемента 1 резервный эле­ мент 2 обеспечивает потребителя частично. В произвольный момент времени t система может находиться в одном из четырех состояний:

— состояние 0 — оба элемента исправны;

—состояние I — рабочий элемент 1 восстанавливается после отказа, элемент 2 исправен;

—состояние II — рабочий элемент исправен, резервный — вос­ станавливается после отказа;

—состояние III — в состоянии отказа находятся оба элемента.

Нетрудно видеть, что переход в состояние II возможен лишь из состояния III. Предположив справедливость экспоненциального закона надежности для обоих элементов и обозначив вероятности застать резервированную систему в произвольный момент времени t

в каждом из указанных состояний Q0 (t), Qx(t), Qu(t) и Qm (t) соот-

182

видеть, что величины Q, (г=0, I, II, III) зависят лишь от отношения-.

Г

Найдем теперь вероятность безотказной работы резервирован­ ной системы относительно отказов третьей группы с учетом ремонта

Р (t). Для этого будем считать состояние III поглощающим состоя-

183

Qm (0 = ^Qi (t).

Следует отметить, что в рассматриваемом случае система может находиться только в трех состояниях, так как в состояние II она может перейти лишь из состояния III, которое является поглощаю­ щим.

Решения системы (5.87) имеют вид:

Зная величину Р (t), можно найти среднее время безотказной ра­ боты (Т) с учетом ремонта

Сравним теперь надежность нерезервированного элемента 1 с надежностью рассматриваемой системы. Для простоты ограни­ чимся случаем равнонадежных элементов 1 и 2. Сравнивая стацио­ нарные значения вероятностей из (5.86) с таковыми для нерезерви­ рованного элемента, найдем, что стационарное значение вероятности

Одновременно вероятность нахождения системы в состоянии отказа третьей группы уменьшилась на величину

Ш4

Теперь на основании (5.86), (5.90) и (5.91) можно записать

Из (5.92) можно сделать вывод о том, что в рассматриваемой схеме резервирования выигрыш в надежности достигается за счет замены наиболее опасных для работы системы отказов третьей группы менее опасными отказами первой и второй групп, причем та­ кая замена с количественной точки зрения не является равноценной.

Рассмотрим случай произвольного закона распределения как времени безотказной работы, так и продолжительности ремонта. Найдем для этого общего случая вероятность безотказной работы с учетом ремонта. Обозначим ф (т, t — т) — вероятность события, заключающегося в том, что отказ рабочего элемента 1 произошел в момент т, но до момента t отказа системы не было. Тогда искомая вероятность

о_

Сдругой стороны, величина Р (t) может быть-записана как ве­ роятность суммы, следующих несовместимых событий:

— элемент 1 не имел отказа до момента t\

— элемент 1 отказал в момент т, был восстановлен до момента т < 0 < t и далее до момента t отказа не имел; элемент 2 был исправен

впромежутке (т, 0);

—элемент 1 отказал в момент т, был восстановлен до момента %< 0 < t и вновь отказал в момент 0 < е < t\ элемент 2 был исправен в промежутке (т, 0) и до момента t отказа системы не было.

Здесь уместно отметить, что отказ системы наступает в момент отказа элемента 2, так как последний работает лишь во время ре­ монта элемента 1.

Таким образом, будем иметь

Определив функцию ф (т, t — т) из (5.95), можно определить искомую вероятность, подставив ее в (5.93).

185

§18, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ (ПОСТОЯННО ВКЛЮЧЕННЫЙ РЕЗЕРВ)

Параллельная работа двух элементов

Схема постоянно включенного резерва изображена на рис. 3, в. Рассмотрим достаточно общий случай, когда равнонадежные эле­ менты 1 и 2 работают на один потребитель, каждый с нагрузкой N. При отказе одного из элементов другой продолжает работу с на­ грузкой N', частично обеспечивая потребитель. Таким образом, отказ одного из элементов является отказом второй группы для ре­ зервированной системы. Заметим также, что изменение величины нагрузки с N на N' влечет за собой и изменение характеристик на­ дежности элемента. Эти характеристики, соответствующие нагрузке N ', будут в дальнейшем отмечены штрихом.

Характеристики безотказности. Безотказная работа резервиро­ ванной системы за время t есть событие, являющееся произведением двух независимых событий, каждое из которых заключается в исправ­ ной работе соответственно элементов 1 и 2 в промежутке (0, t):

Как отмечено, после отказа одного из элементов оставшийся элемент не обеспечивает потребителя полностью, т. е. отказ одного из элементов при исправном другом представляет собой отказ второй группы системы. Иначе говоря, данное событие есть отказ одного из элементов в момент т < ( и исправная работа оставшегося в интервале (0, (). Вероятность такого события определяется равен­ ством

186

Если перераспределение нагрузки после отказа одного из эле­ ментов не происходит, т. е. если X' = X, то из (5.87) будем иметь:

Изменение величин Рс0, Рс2 и Рс3, определяемых соотношением (5.100), во времени представлено на рис. 44 (пунктирная линия для нерезервированного элемента).

Равенства (5.100) и рис. 44 показы­ вают, что, как и в случае резервирования замещением,

ЛСО.Л( 0-* 0,

со

Если X' = 2Х, то, раскрывая неопределенности в (5.99), оконча­

что в соответствии с (5.38) эквивалентно случаю резервирования замещением элемента, имеющего интенсивность отказов 2Х, равно­

схеме резервирования вероятность безотказной работы по сравне­ нию с нерезервированным элементом уменьшилась на величину

Одновременно увеличилась вероятность безотказной работы от­

187

При

Изменение величины АРс3 в зависимости от времени для различ­ ных соотношений между X' и % представлено на рис. 45.

ются отказы второй группы, вероятность наступления которых, как

Равенство (5.105) свидетельствует о том, что как и в случае ре­ зервирования замещением, постоянно включенный резерв приводит к увеличению надежности лишь по отношению к отказам третьей группы за счет замены этих отказов менее опасными отказами вто­ рой группы. Но на этот раз такая замена не является равноправной вследствие уменьшения величины Qcо (?), т. е. общее число отказов ре­ зервированной системы будет превышать таковое для нерезервиро­ ванного элемента.

188

Относительное значение выигрыша по вероятности безотказной работы относительно отказов третьей группы по сравнению с нере­ зервированным элементом будет

абсцисс показывает время, при котором вероятность безотказной ра­ боты Р с3 (9 равна этой же величине для нерезервированного элемента.

Относительное значение выигрыша по вероятности отказов третьей группы для резервирования замещением по сравнению с нерезерви­ рованным элементом в соответствии с (5.99) определится равенством

189