книги из ГПНТБ / Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок

Характеристики надежности с учетом восстановления* Для опре­ деления характеристик надежности сложного элемента с учетом вос­ становления, в частности, коэффициента готовности, составим урав­ нения, описывающие его работу, считая, что после наступления от­ каза любой группы новых отказов не возникает. Такие уравнения имеют вид:

И-2 , М-з — интенсивности восстановлений после отказов первой, второй

и третьей групп.

На основании проведенного для простого элемента исследования о скорости сходимости величин g0 (() и gj (t) к своим предельным зна­ чениям можно высказать те же соображения и относительно вероят­ ностей g(- (() (г = 0, 1, 2, 3), определяемых зависимостями (4.22). Поэтому найдем только эти предельные значения. Для этого прирав­ няем правые части в (4.22) к нулю и заменим величины g£ (() их пре­ дельными значениями. Решая полученную таким образом однородную алгебраическую систему, находим

Зависимости (4.23) получены в предположении, что после отказа любой группы новых отказов не возникает. Если же предположить возможность появления новых отказов, то уравнения (4.22) примут вид:

140

Определив из (4.24), как и ранее, предельные значения искомых вероятностей, получим:

РзМ (щ Ч~ Х3) .

Здесь величина А равна сумме всех числителей в правых частях ра­ венств (4.25).

Для случая, когда после наступления отказа первой или второй группы изменяется режим работы элемента и, следовательно, интен­ сивности отказов всех трех групп, уравнения, описывающие работу элемента, примут вид:

Стационарные значения неизвестных в (4.26) определяются за­ висимостями:

Х3 (Рг + Х3) (Pi + Х2 + Х3) + XjX3 (р2 + Х3) + + Х2Х3 (pj + Х2 + Х3) + А]Х2Х3

Здесь A j — сумма всех числителей в ^равенствах (4.27).

Мы рассмотрели зависимости, определяющие количественные ха­ рактеристики надежности сложного элемента для случая показатель­ ного распределения времени безотказной работы и времени ремонта. Метод расчета этих характеристик при произвольных законах рас­ пределения указанных случайных величин использует результаты исследования надежности последовательного соединения элементов, которые будут приведены ниже.

141

Отметим здесь также, что в большинстве практических расчетов могут быть использованы зависимости (4.23). Для удобства исполь­ зования этих зависимостей они сведены в табл. 13.

Таблица 13

Основные характеристики надежности сложного элемента СЭУ (экспоненциальный закон надежности)

П р и м е ч а н и е . g0, glt g2, g3— стационарные значения вероятностей.

При определении характеристик надежности^ элемента с учетом восстановления использовались дифференциальные уравнения, опи­ сывающие его работу с точки зрения надежности. Такие уравнения приведены далее применительно к различным схемам соединения эле­ ментов. В связи с указанным оговорим здесь условия правомерности метода дифференциальных уравнений:

1. Время работы до отказа и продолжительность восстановления распределены показательно.

2. Рассматриваемая схема может быть представлена в виде после­ довательно-параллельного соединения элементов.

Укажем, что увеличение числа элементов в схеме приводит к бы­ строму росту порядка системы, невозможности ее аналитического ре­ шения и необходимости использования ЭВМ.

142

Пример 3. Статистические данные [73] об отказах дизель-генераторов' дизель­ ной СЭУ показали, что этот элемент является сложным элементом установки, имею­ щим отк,азы первой, второй и третьей групп.

Интенсивности отказов и восстановлений по отношению к этим отказам ока­ зались соответственно равными:

Требуется определить количественные характеристики надежности дизельгенератора.

Вероятность безотказной работы по формуле (4.18)

Q0 (0 = e-6,S6.1°-^ _

Вероятность отказа первой группы согласно (4.18)

Qx (t) = 0,98 (l — е—6,56-10-*^

Вероятность отказа второй группы согласно (4.18)

<32 (У) = 0,005 (1 — е

Вероятность отказа третьей группы согласно (4.18)

Q3 (0 = 0,015(1 — е—6.56-lo-*i)_

Среднее время безотказной работы

Таким образом, в рассмотренной установке дизель-генератор имеет в среднем один отказ на каждые 1542 ч работы, причем этот отказ является почти всегда от­ казом первой группы.

Вероятность застать дизель-генератор в момент времени t в исправном состоя­ нии (4.23):

___________Oi+l1.-!__________

МтМ-г^з + ^аМ-аН-з + ^ гМ ^ з + ^зМтИ-2

= ______________________ 0,111-3,43.3,29______________________ = „95 0,111-3,43-3,29 + 6,44.3,43.3,29-Ю -* + 3,15-0,111 -3,29- 10'e +

+ 0,945-0,111-3,43-10-5

Вероятность застать дизель-генератор в момент времени t в состоянии отказа первой группы (4.23)

=_________ А-гИ-з^з__________ =

й[х^гИз + А++3 + ЯаМ-хИз + ^зИ-iM-a

6,44.3,43.3,29-Ю -4

0,005.

1,2526

И З

Вероятность застать дизель-генератор в момент времени t в состоянии отказа второй группы (4.23)

3,15-0,111 -З^Э-Ю-в ■= 0,0000005 я«0. 1,2526

Вероятность застать дизель-генератор в момент времени t в состоянии отказа третьей группы (4.23)

ёз

^-зйгМ-г

ЙЩзРз + ^чйгйз + Я2ЦЩ3 + Я3Р1И2

0,945-0,111 -3,43-10“5

: 0,0000038 0.

1,2526

Рассмотрение результатов примера показывает, что в состоянии отказа этот элемент находится приблизительно 0,5% времени эксплуатации, причем этот от­ каз практически всегда является отказом первой группы.

ГЛАВА V

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ СХЕМ СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ В СОСТАВЕ СЭУ

§16. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ (ОСНОВНОЕ) СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ

Одной из основных задач надежности СЭУ является задача рас­ чета количественных характеристик надежности установки, если они известны для входящих в ее состав элементов и дана принципиальная схема СЭУ. В свете решения этой задачи остановимся вначале на расчете надежности отдельных схем соединения элементов. Обозна­ чения наиболее часто встречающихся в судовой практике схем были приведены на рис. 3. Из них особое значение имеет последовательное соединение элементов. Элементы 1, 2, п (см. рис. 3, а) соединены в смысле надежности последовательно, если отказ любого из них является отказом всей системы. Если взять минимально необходимое для протекания рабочего процесса число элементов, то последние образуют последовательную систему. В качестве примера рассмотрим упрощенную принципиальную схему газотурбинной установки (см. рис. 25, а). С точки зрения надежности элементы рассматривае­ мой СЭУ соединены последовательно. Функциональная схема такого соединения изображена на рис. 25, б,

1 4 4

Схема I последовательного соединения

Пусть имеется система, состоящая из п простых элементов с от­ казами только г-й группы (г = 1, 2, 3). Будем считать, что эти эле­ менты соединены в смысле надежности последовательно по схеме I, если отказ любого из них есть отказ той же г-й группы для всей си­ стемы. Так, например, если элементы, изображенные на рис. 25, являются простыми с отказами третьей группы, то они соединены последовательно по схеме I.

Характеристики безотказности, Пусть имеются два последова­ тельно соединенных по схеме I элемента 1 и 2 (рис. 37). Безотказная

ятности произведения независимых событий, вероятность безотказ­ ной работы последовательной системы Рс (t) может быть представ­ лена в виде

где Р х (t)у, Р 2 (t) — вероятности безотказной работы элементов 1 и 2 соответственно.

Для определения остальных характеристик надежности без учета восстановления воспользуемся зависимостями (3.3), (3.4), (3.7) и (3.8).

Вероятность отказа

Интенсивность отказов

(5-3)

Выражения (5.1)—(5.5) справедливы для любого распределения времени безотказной работы. Подставив в эти зависимости соответ­

ствующие величины в случае экспоненциального закона надежности (см. табл. 12), получим:

Рс (t) = ег-^+М

Qc(t)= 1 _ e - <*..+*•><;

Xc =

Рассмотрение зависимостей (5.1)—(5.6) показывает, что характе­

с отказами той же i-й группы элемента, имеющего интенсивность от­ казов X (t) = (t) + А,2 (t).

Нетрудно обобщить приведенные выше рассуждения и для п про­ стых, соединенных последовательно элементов. Так, в случае, когда для каждого из них справедлив экспоненциальный закон надежности, имеем:

Рассматривая зависимость (5.7) как характеристики надежности

утверждать, что расчет надежности системы, состоящей из последовательно соединенных по схеме I простых элементов, позволяет за­ менить такую систему одним простым элементом, имеющим характе­ ристики надежности, определяемые системой равенств (5.7).

Характеристики надежности с учетом восстановления^ Пусть имеется последовательная система, состоящая из двух элементов 1 и 2 с отказами третьей группы. Пусть также для каждого из элемен­

146

Здесь а и b — корни определителя из коэффициентов при неиз­ вестных системы (5.10):

Рассмотрение зависимостей (5.11) показывает, что в данном слу­ чае справедливы те же соображения относительно скорости сходи­

мости величин Qc0 (0 и Qc3 (t) к своим предельным значениям, ко­ торые были показаны при рассмотрении надежности элемента. Эти предельные значения, как следует из выражений (5.9) и (5.11), имеют вид:

Зная величины Qc0 и Qc3, можно найти и среднее время нахожде­ ния системы в исправном состоянии Т 0или в состоянии отказа третьей группы Т 3 за заданный промежуток времени t\

=Qc0t;

Т3— Qc3t.

Так как отказ любого элемента рассматриваемой системы есть ее отказ третьей группы, то среднее время до возникновения в пер­

вый раз такого отказа (Т) есть среднее время безотказной работы:

При определении величин Qc0 и Qc3 в случае последовательной си­ стемы, состоящей из п элементов, заметим, что равенства (5.12) можно переписать в виде

1+ S y«

148

Найдем Теперь интенсивность восстановления и среднее время восстановления последовательной системы. Для этого воспользуемся

тем, что такая система с точки зрения надежности эквивалентна од-

П

ному элементу с интенсивностью отказов \ = S V Из равенств (5.7) i=\

видно, в частности, что если для каждого из элементов справедлив экспоненциальный закон надежности, то он справедлив и для си­ стемы в целом. Тогда выражение для коэффициента готовности си­ стемы можно записать в виде

где рс — интенсивность восстановления последовательной системы. Рассмотрение начнем со случая соединенных последовательно

двух элементов. Здесь величины %с и Qc0 определяются равенствами (5.6) и (5.12). Подставляя их в (5.13), получаем уравнение относи­ тельно искомой величины рс:

Определив интенсивность восстановления рс из выражения (5.14), имеем

При определении величины рс относительно последовательной системы, состоящей из п элементов, заметим, что уравнение (5.15) можно переписать в виде

Pi р2

Для системы, состоящей из п элементов, пользуясь индуктивным методом, получаем

Теперь можно найти и среднее время восстановления последова­

тельной системы

П

Основные характеристики надежности схемы I последовательного соединения приведены в табл. 14.

149