книги из ГПНТБ / Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок

равна 0,6827. Если таким же образом отложить отрезки длиной 2а, то вероятность наступления отказа в интервале (Т — 2а, Т + 2а) равна 0,9545. И, наконец, в интервале (Т — За, Т + За) эта вероят­

сюда видно,что в отличие от экспоненциального закона ремонтные, профилактические ме­ роприятия или замена элемента на аналогичный новый являются действенным методом повышения надежности, причем чем чаще они проводятся, тем выше безотказ­

тики точностью можно пренеб­ речь. Указанное соотношение Т и а часто выполняется для элемен­

120

и его вычисляют через специальные функции, выражающие определен- t2

ный интеграл от выражения е~{2 или е 2 (интеграл вероятностей). Для этих функций составлены таблицы (см. например, [42], [50]).

Вероятность безотказной работы в силу (3.25) определится выра­

121

Рассмотрим теперь случай, когда нельзя пренебречь вероятно*

стями отрицательных значений величины т < 3 ^ . В этом случае

для вычисления характеристик надежности используют усеченное

{ t - T ) 2

2 а 2

<h (t) =

Аналогично предыдущему может быть определен вид количест­ венных характеристик безотказности для усеченного закона. Эти характеристики приведены в табл. 12, а их графическая интерпре­ тация на рис. 35, б. Из этих данных видно, что интенсивность отказов невелика при малых t, однако растет с экспоненциальной скоростью с течением времени.

Следует отметить также, что чем меньше величина дисперсии а2, тем длительнее интервал времени, на котором вероятность насту­ пления отказа мала. Величина дисперсии во многом определяется однородностью качества изготовления элементов данного типа и ус­ ловий их эксплуатации.

Для описания времени безотказной работы в случае отказов, причиной которых является износ [16], используют гамма-распреде­ ление. Оно возникает в тех случаях, когда выполнены следующие условия:

—качество изготовления элементов однородно;

—нагрузка в процессе эксплуатации меняется в достаточно ши­ роких пределах;

—период приработки занимает небольшую часть времени экс­ плуатации.

Обычно эти условия в практике СЭУ оказываются выполнен­ ными. Так, изготовление деталей узлов трения, как правило, яв-

122

Таблица 12

Вид количественных характеристик надежности для различных законов распределения времени безотказной работы

ляется серийным, что обеспечивает однородность их начального ка­ чества; нагрузка на трущиеся детали меняется вследствие изменения условий эксплуатации установки (переменные режимы, крен, диф­ ферент и т. п.), приработка трущихся пар занимает, как было пока­ зано, незначительную часть времени эксплуатации.

Частота отказов в случае гамма-распределения определяется вы­

ражением

бkfk—l

где Г (k) — гамма-функция;

Я. и k — параметры распределения.

124

В этом случае частота отказов (3.26)

Из (3.26) и (3.27) видно, что при к — 1 гамма-распределение тождественно показательному. При возрастании k плотность гаммараспределения стремится к плотности нормального закона.

В рассматриваемом случае основные характеристики безотказ­ ности имеют вид:

T = f P(t)dt = ~ .

оA

Характер изменения в зависимости от времени этих величин для различных k приведен на рис. 35, г.

Гамма-распределение непосредственным образом связано с пока­ зательным. Обозначим через tK время от начала эксплуатации до воз­ никновения k -то отказа, учитывая, что время между отказами рас­ пределено показательно с параметром X. Тогда случайная величина tK имеет распределение (3.27).

Таким образом, гамма-распределение является естественным обоб­ щением схемы мгновенных повреждений, когда для отказа необхо­ димо накопление k элементарных повреждений. Здесь следует отме­ тить, что рассматриваемое распределение относится к периоду уста­ новившегося износа, который характеризуется [16] постоянством скорости, рельефа шероховатости и постепенным ростом зазора без изменения физической картины изнашивания.

Гамма-распределение использовано, например, в работе [45] при исследовании надежности отдельных деталей судовых двигателей внутреннего сгорания.

Рассмотрим гамма-распределение еще с одной стороны. Пусть некоторая система состоит из k элементов, причем система работо­ способна, пока исправен хотя бы один элемент системы (примером

125

могут служить резервированные вспомогательные механизмы СЭУ). Тогда плотность распределения времени безотказной работы системы а (t) представляет собой свертку плотностей соответствующих рас­ пределений применительно к элементам системы [79]:

Если время безотказной работы каждого из элементов распреде­

Сравнивая выражения (3.26) и (3.28), можно видеть, что время до отказа системы (время до отказа k элементов) имеет гамма-распре­ деление.

Таким образом, время до отказа k элементов, если для каждого из них справедлив экспоненциальный закон надежности, имеет

если экспоненциальный закон надежности справедлив для каждого из элементов резервированной системы, то он не действует в мас­ штабе всей системы в целом.

Будем теперь рассматривать процесс механического износа как процесс возникновения элементарных повреждений. При достаточно большом числе таких повреждений наступает отказ элемента. Отсюда становится понятным, что время работы до отказа по причинам, свя­ занным с механическим износом, хорошо согласуется с гамма-рас­ пределением. С ростом числа элементарных повреждений (напри­ мер, процесс общей коррозии) гамма-распределение становится близким к нормальному.

Другим распределением, широко используемым в теории надеж­ ности, является распределение Вейбулла.

Пусть имеется система, состоящая из большого числа элементов, причем отказ любого из них является отказом всей системы. Пусть также каждый из элементов имеет гамма-распределение времени ра­

126

Частота отказов с случае распределения Вейбулла имеет вид

Характер изменения во времени этих величин для различных k изображен на рис. 35, г.

Распределение Вейбулла связано с показательным. Пусть вели­ чина х имеет распределение Вейбулла (3.29), тогда случайная вели­ чина хк [35] распределена показательно с параметром АЛ, что также свидетельствует о том, что при k = 1 распределение Вейбулла тождественно показательному.

Рассмотрим теперь распределение Вейбулла с других позиций. Пусть имеется система, состоящая из п элементов, соединенных, в смысле надежности, последовательно. Это значит, что отказ лю­ бого из элементов приводит к отказу всей системы. Предполагая, что время безотказной работы каждого из элементов распределено по одному и тому же закону с функцией распределения Q (t) и плот­ ностью a (t), можно утверждать, что время до отказа системы опре­ деляется законом распределения наименьшей порядковой стати­

Можно показать, что для большого п при достаточно общих условиях для многих распределений, включая нормальное (исклю­ чение составляет показательное распределение), наименьшая по­ рядковая статистика имеет распределение одного из двух типов (учи­ тываются лишь распределения, полезные в теории надежности) [79]:

Сравнение выражений (3.29) и (3.31) показывает, что второе из распределений (3.13) является распределением Вейбулла. Отсюда становится понятным, что время работы до отказа системы, состоя­ щей из большого числа последовательно соединенных элементов, во многих случаях хорошо согласуется с законом Вейбулла.

127

Отметим, что если экспоненциальный закон надежности справед­ лив для каждого из элементов, то он справедлив и для всей после­ довательной системы.

Распределение (3.31) называется распределением Гумбеля и ис­ пользуется в ряде работ для анализа надежности трубопроводов забортной воды СЭУ, отказы которых вызываются язвенной корро­ зией. Такое использование становится правомерным, если учесть, что отказ трубопровода' вызывается язвами наибольшей глубины, т. е. справедлива изложенная выше модель слабейшего звена.

Время безотказной работы согласуется с логарифмически-нор- мальным законом, если логарифм этого времени имеет нормальное распределение. Рассматриваемый закон широко используется [16] при обработке эксплуатационных и опытных данных по усталостной долговечности металлов, их длительной прочности и т. п. В част­

Обратимся к физической картине возникновения отказов, согла­ сующихся с логарифмически нормальным распределением. Рассмот­ рим случай возникновения в работающем элементе усталостной тре­

128