Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Куликов, К. А. Курс сферической астрономии учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

13.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

30 ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ [ГЛ. II

В и С с центром сферы О радиусами О А = ОБ = ОС =
= R.
Опустим из вершины сферического треугольника С на
плоскость ЛОВ перпендикуляр СЕ. Из точки Е, лежащей
в плоскости АОВ,	опустим перпендикуляры ED и Е К на
радиусы сферы ОА	и ОБ. Проведем отрезки СК и CD.

с	Построим	отрезок D M ,
	параллельный		отрезку
	ЕК, и отрезок EN , па
	раллельный		отрезку
	КМ . При таком построе
	нии получается		шесть
	прямоугольных плоских
	треугольников, а имен
	но:
	Д СОК,	A COD,
	A DOM,	A EDN,
	А ЕСК и A ECD.
Центральные углы СОК, COD и KOD численно равны
соответствующим им дугам а,	Ъ и с. Угол А	сферического

треугольника АВС равен двугранному углу CDE; точно так же равны между собою угол В сферического треуголь ника АВС и плоский угол СКЕ. Применяя известные соот

ношения для плоских прямоугольных треугольников, можно получить формулы, связывающие углы и стороны сферического треугольника.

Определим длину отрезка ЕС из треугольников ЕСК и

ECD:

ЕС — СК sin В = R sin a sin В ,

ЕС = CD sin А = R sin b sin A .

Приравнивая между собой правые части этих двух выра жений, можно получить первую формулу группы (1):

sin a sinВ =	sin Ъ sin А,'
sin b sin С =	sin с sin В, ■	(1)
sine sin Л =	sin a sin С.,

Последние две формулы написаны по аналогии: они полу чаются при условии, если треугольник, подобный ED N ,

§ 9] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 31

будет построен последовательно в плоскостях ОВС и

ОАС.

Перегруппировав члены в формулах (1), получим, что

во всяком сферическом треугольнике отношения синусов сторон равны отношениям синусов противолежащих им углов. Иногда эти формулы называются формулами си

нусов.	равенство:
Напишем очевидное	равенство:
ОК	ОМ + М К .
Выразим отрезки ОК ,	ОМ и М К через тригонометри
ческие функции углов	и сторон треугольников	АКОС,
A MOD, A DOC, A NDE и A ECD, а именно:
OK = R cos а,
ОМ = OD cos с = R cos 6 cos с,
MX = N E = ED sin c = CD cos A sin c =
	= X sink sine	cos И.

Подставив полученные произведения вместо OK, ОМ

и MX, получим первую формулу группы (2):

cos а =	cosЬ cos с +	sin Ъ sin сcos А ,
cos Ь =	cosс cos а +	sin с sin a cos X,
cos с =	cosa cos Ъ +	sin a sin bcos С. ,

Вторая и третья строки выводятся аналогично первой.

Иначе говоря, во всяком сферическом треугольнике коси нус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих же сторон, ум ноженное на косинус угла между ними. Иногда эти форму лы называются формулами косинусов сторон.

Если применим группу формул (2) к треугольнику,

полярному	с данным, имеющему, как известно, стороны
180° — А , 180° — В и 180° — С и углы 180° -			а, 180° - Ъ
и 180° — с, то получим формулы косинусов углов:
cos А =	—cosВ cos С +	sin В sin С cos а,
cos В =	—cosС cos А +	sin С sin A cos b, >
cos С —	—cosA cos В +	sin A sin В cos е,
т. е. во всяком сферическом		треугольнике	косинус угла

32	ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ	[ГЛ. II
равен	произведению косинусов двух других углов,	взятому

с обратным знаком, плюс произведение синусов этих уг лов, умноженное на косинус стороны между ними.

Напишем еще одно очевидное равенство:

M N = MD — ND.

Так как

M N — К Е = КС cos В =		R sin a cos 5 ,
MD = OD sin с = R cos b sin c,
ND = ED cos c = DC cos A cos c = R sin b cos c cos A ,
то имеем
sin a cos В =	cos b sin c --	sin b cos c cos A ,	’
sin b cos С =	cos c sin a --	sin c cos a cos B,		(4)
sin c cos А =	cos a sin b - -	sin a cos b cos c.	,
Точно так же справедливо:
sin a cos С =	cos c sin b - -	sin c cos b cos A ,	■
sin Ъ cos А =	cos a sin c - -	sin a cos c cos в,	•	(4')
sin с cos В =	cos b sin a - -	sin b cos a cos c,	J

или, словами: во всяком сферическом треугольнике произ ведение синуса стороны на косинус прилежащего к ней уг ла равно произведению косинуса на синус двух других сто рон, минус произведение синуса и косинуса этих же сто рон, умноженное на косинус угла между ними.

На основании свойств взаимно полярных треугольни ков (а' = 180° — А), получаем группу формул:

sin A	cos Ъ =	cos В sin С +		sin В cos С cos а,
sin A	cos с =	cos С sin В +		sin С cos В cos а,
sin В	cos с =	cos С sin А +		sin С cos A cos Ъ,
sin В	cos а =	cos A	sin С +	sin A	cos С cos b, ' (5)
sin С	cos а =	cos A	sin В +	sin A	cos В cos с,
sin С	cos b =	cos В sin А +		sin В	cos A cos с.

Если формулу из группы (4) разделить почленно на формулу из группы (1), содержащую в левой части такие

§ 9] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 33

же элементы, то получим формулу котангенсов, содержа

щую две стороны и два угла, а именно:

ctg a sin b = cos Ъ cos С +		sin С ctg А ,
ctg a sin с =	cos с cos В +	sin В ctg А ,
ctg b sin с =	cos с cos А +	sin A ctg В,
ctg Ъsin а =	cos a cos С +	sin С ctg В,	^
ctg с sin а =	cos a cos В +	sin В ctg С,
ctg с sin b =	cos Ъ cos А +	sin A ctgC .

Можно привести (без доказательств) формулы Деламбра или Молъвейде. Они удобны при решении задач,

в которых дана сторона и прилегающие к ней углы, или угол и прилегающие к нему стороны, и нужно найти дру гие элементы сферического треугольника:

.	A	— В		•sin	c	.	a — b	•COS	G
sin		2		•sin	T	_ s m	2	•COS	2 ’
cos	A	—	В	•sin	c	- s i n	a 4 - b	•sin	C	•
cos		2		•sin	Y	- s i n	2	•sin	2	J
.	A	+	В	•cos	c	- c o s	a — b		G	’
Sin		2		•cos	~2	- c o s	2	•cos •2		’
	A	+ B			c		a -f- b	•sin	C
COS---^— •cos					Y	= COS —"-		•sin	2 *

Циклической перестановкой можно получить формулы для других элементов сферического треугольника.

Разделив первую формулу Деламбра на вторую, а третью формулу — на четвертую, а также разделив пер вую формулу на третью, а вторую — на четвертую, мы получим так называемые аналоги Непера (не путать с пра

вилом Непера!):

. а — Ъ

sm_--!—

tg sin a -f- b

~YT

А + Я tg 2

i '

2 К. А. Куликов

34 ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ 1ГЛ. И

sin A — В

tg	а — Ъ			2		»
tg	2	sin A		+	B	»
	2	sin A		+	B
				2
	a -j- Ъ	cos A		— В
	a -j- Ъ			2
tg ~~2~~		cos	A	+	B
		cos		2
				2

Аналоги Непера дают зависимости между пятью эле ментами сферического треугольника.

Имеется еще ряд других, иногда с внешней стороны весьма изящных формул, но они используются очень ред ко и в нашем изложении будут излишни.

§10. Прямоугольные и узкие сферические треугольники

Во многих задачах астрономии приходится решать прямоугольные сферические треугольники. Если в груп пах формул (1) — (6) положить один из углов, например

А, равным 90°, то формулы будут иметь такой вид: для группы (1)

sin Ъ =	sin a sin В ,
sin с =	sin a sin С\
для группы (2)
cos а =	cos Ь cos с;
для группы (3)
cos а =	ctg В ctg Су
cos В = cos b sin Су
cos С = cos с sin В ;
для групп (4) и (4')
sin a cos В =	cos b sin с,
sin a cos С =	cos с sin by
cos В =	ctg a tg Су
cos С =	ctg a tg b;

(8)

(9)

( 10)

для группы (5)

cos a sin В — cos b cos С, *

( l i )

cos a sin С = cos с cos В ,,

§ 10] ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И УЗКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 35

и две совпадающие с уже полученными в (9). Группа (6) новых формул не дает.

Для запоминания формул прямоугольного сфериче ского треугольника существует правило Непера. Распо

ложим по окружности пять величин, зависящих от эле

ментов треугольника: 5, с, 90° — В , 90° — а, 90° — С .
У каждой величины есть две соседние			и
две дальние. Тогда	синус любой величины
равен:	тангенсов	соседних	ве
1) произведению
личин,	косинусов	дальних	ве
2) произведению

личин.

Иногда приходится решать узкие сфери ческие треугольники, т. е. такие, у которых одна сторона мала по сравнению с двумя другими. В этом случае вместо точных фор мул применяют более простые — приближен ные, если точность получаемых результатов достаточна.

Пусть имеем узкий сферический треуголь ник АВС (рис. 15). Так как в этом треуголь нике угол А мал и его косинус можно заменить

а синусы малых величин а и (с — Ъ) можно заменить са

мими этими величинами, выраженными в радианах, то, применяя в данном случае первую формулу группы (4),

получим формулу первого	приближения
a cos В	= {с — Ь).	(12)

Первая формула группы (1) при этих допущениях прини мает вид

A sin Ь — a sin В,

(13)

или

A sin с = a sin J5,

так как b и с — величины, мало отличающиеся друг от

Друга.

На практике иногда приходится решать сферические треугольники, у которых все три стороны настолько ма лы, что допустима замена синуса или тангенса дуги самой дугой, выраженной в радианах без существенного ис кажения требуемого результата. Такие треугольники

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

[ГЛ. II

считаются малыми, и для их решения применяют формулы

плоской тригонометрии, например,

V\|	а __	Ъ	с
! •	s in A	s in В	s in С ’
j '	а2 =	Ъ2+	с2 — 2be cos А.

§ 11. Дифференциальные формулы сферической тригонометрии

Можно привести дифференциальные формулы сфери ческой тригонометрии, которыми иногда пользуются в некоторых разделах сферической астрономии. Дифферен цируя первую формулу группы (1), получаем

cos a sin В da + sin a cos В dB =

= sin A cos b db + sin b cos A d A .

Разделив полученное выражение на первую формулу группы (1), будем иметь.

ctg a da + ctg В dB — ctg b db + ctg A dA .

Дифференцируя первую формулу группы (2), получим

—sin a da = (— sin b cos c		+ cos b sin c cos A)db +
+	(— cos b sin c +	sin b cos c cos A)dc —
		— sin b sin csin A dA.
__		j

Всилу первой формулы группы (4) коэффициенты при db

иdc равны соответственно —sin a cos С и —sin a cos В;

следовательно, можно написать

— sin я da =	(— sin a cos C)db + (—sin a cos B)dc —
	— sin b sin c sin A dA .
t .	: '

Заменив в последнем члене sin с sin А равным ему выраже нием sin a sin С и сократив все члены на sin а, получим

da = cos С db + cos В dc + sin b sin C dA.

Взяв взаимно полярный треугольник к треугольнику АВС и заменив в полученной формуле стороны а, b и с допол

нениями противолежащих углов до 180°, а углы А ,		В и
С — дополнениями противолежащих сторон до 180°,		по
лучим v	‘ ’
dA =	—cos с dB — cos b dC -f- sin В sin c da.

§	12]	ПЕРЕВОД	СИСТЕМ КООРДИНАТ					37
	Продифференцировав третью формулу группы (6),
будем		иметь
— cosec2 В sin A dB +				(cos A ctg В — sin A cos c)dA +
+	cosec2 b sin c db — (ctg b cos c +					sin c cos A)dc = 0.		(16)
Из формул синусов (1)				можно получить:
	sin A cosec2 В =		s in	а		9 7	s in C
	sin A cosec2 В =		b s in В		sin c cosec*5b =		——?—:— ъ
		s in	b s in В		’		s in b s in В

Формулы косинуса стороны (2) и косинуса угла (3) можно переписать так:

ctg b cos с +	sin с cos А —
ctg В cos А	cos с sin А =

cos Ъ cos с 4 - s in b s in с cos А	cos	а
s in Ъ	s in	b	’
cos A cos В — s in A s in В cos с	cos С
s in В	s in		В *

Сделав соответствующие подстановки в (16) и умножив все члены на sin b sin В , получим

sin а dB = sin С db — cos a sin В dc — sin b cos C dA .

Соединив все выведенные формулы вместе, получим сле дующую группу дифференциальных формул:

ctg a da + ctgB dB = ctg bdb + ctg A dA ,		(a)
da =	cos C db + cos В dc + sin b sinC dA,	(b)
dA =	—cos c dB — cos bdC + sin В sin c da,	(c)
sin a dB = sin C db — cos a sin В dc — sin b cosC dA.		(d)
		(17)

Для прямоугольного треугольника будут справедли вы следующие выражения:

tg a da	=	tg b db +	tg c dc,
tg B dB	=	tg b db — ctg C dC,		,
ctg b db — ctg a da +			ctg В dB,
da =		cos C db +	cos В dc.

§12. Параллактический треугольник. Перевод систем координат

Сферический треугольник, у которого вершинами яв* ляются: зенит места наблюдения, полюс мира и светило,

называется параллактическим треугольником (рис. 16),

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

[ГЛ. II

В параллактическом треугольнике одна сторона — дуга небесного меридиана между полюсом Р п и зенитом Z —

равна 90° — ф, где ф — широта места наблюдения. Другая сторона — полярное расстояние светила С, равна 90° — 6, и третья

равна зенитному расстоянию све тила z. Если светило находится к

западу от небесного меридиана, то угол при полюсе есть часовой угол светила t, угол при зените 180°—А .

Если светило находится к востоку от небесного меридиана, то угол при полюсе будет 360° — t, а угол нрн зените А — 180°. Угол q при светиле называется параллактиче ским углом. Возьмем из трех ос

новных групп формул сферической тригонометрии (1), (2) и (4) по одной. Применив их к параллактическому тре угольнику, найдем

a) sin z sin А	=	cos б sin t,
b) cos z = sin 6 sin ф + cos 6 cos ф cos t ,			(19)
c) sin z cos A	=	— sin 6 cos ф + cos 6 sin ф cos t.

Эти формулы связывают горизонтальную систему координат с первой экваториальной. Таким образом, при известной широте места наблюдения ф, зная часовой угол и склонение светила, можно вычислить его зенитное рас стояние и азимут. Точно так же по известному зенитно му расстоянию и азимуту светила можно вычислить его часовой угол и склонение; формулы (19) для этого случая будут иметь другой вид, а именно:

a)	cos б sin t	=	sin z sin A ,
b)	cos 6 cos t	=	cos z cos ф + sin zsin ф cos A ,
c)	sin 6 = sin ф cos z — cos ф sin z cos A .

В § 14 будет показано, что часовой угол светила равен звездному времени минус прямое восхождение этого све тила, т. е,

t = s — а.

§ 13] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОПРАВОК ШИРОТЫ и долготы 39

Поэтому формулы (19)		можно написать в таком виде:
a) cosh sin А = cos б sin (5 — а),
b)	sinh — sin 6 sin ф +	cos 6 cos ф cos (s — a),
c)	cos h cos A — — sin 6 cos ф + cos 6 sin ф cos (5 —a),-
		( 21)

где s — звездное время в момент наблюдения. Эти" фор

мулы связывают горизонтальную систему координат со второй экваториальной и дают возможность по извест ным ф, s, а и б вычислить Л и А .

Точно так же можно получить формулы, связывающие вторую экваториальную систему с эклиптической; они имеют следующий вид:

a) cos р cos I — cos б cos a,

b) sin p = cos e sin 6 — sin e cos 6 sin a,

(22)

c) cos p sin l — sin e sin 6 + cos 8 cos 6 sin a.

Из наблюдений получают координаты светила в ка кой-нибудь одной системе, а затем, если необходимо, вы числяют координаты этого светила в любой другой систе ме. В дальнейшем, преследуя цель дать необходимый ми нимум сведений по сферической астрономии, который был бы вполне достаточным как для проработки всех дру гих астрономических предметов, так и для практической деятельности, мы будем рассматривать вопросы приме нительно ко второй экваториальной системе координат, так как переход к другим системам не имеет принципи альных трудностей.

§ 13. Вычисление поправок широты и долготы места наблюдения за движение полюсов Земли

Обозначим через Рт средний полюс, а через Р — мгно

венный полюс Земли. Возьмем на поверхности Земли точ ку М . Построим прямоугольную систему координат #, у с началом в точке Р т. Направим ось х по меридиану, проходящему через Гринвичскую обсерваторию G, а ось у к западу от него (рис. 17); расстояние между мгновен ным полюсом Р и средним Р т обозначим через г и угол между направлениями х и г через о . Тогда из узкого

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ