книги из ГПНТБ / Круашвили, З. Е. Автоматизированный нагрев стали
.pdfгнозироваться заранее и, как правило, распространяют ся в разной степени на все участки (зоны) нагрева.
Применение систем управления с переменной струк турой ставит особые требования управляющим устрой ствам, в частности, их быстродействию и приспосабли ваемое™ к переменным свойствам управляемых объек тов. Ниже приведен анализ существующих методов по строения адаптивных систем как для обычных линейных законов в контуре управления, так и для систем управ ления с переменной структурой.
Ведущую роль в разработке теории адаптивных систем сыграли советские ученые [47—57 и др.]. За рубежом над вопросами фор мирования теории адаптивных систем работали Р. Веллман, Д. Тракселл и др.
Можно считать, что в настоящее время линейная теория адаптив ных систем сформировалась [46—50].
Наряду с использованием линейных систем в настоящее время на метилась тенденция к применению нелинейных методов в задачах динамики. В этой связи особый интерес заслуживают системы с пе ременной структурой (СПС) — наиболее хорошо изученная как в тео рии, так и на практике область нелинейных систем. Системы такого
типа предложены |
член-корреспондентом Академии паук СССР |
С. В. Емельяновым |
[41]. |
Определительным признаком этих систем является то, что связь между функциональными элементами меняется в зависимости от ха рактера движения изображающей точки в фазовом пространстве. Теоретические вопросы устойчивости СПС рассматривались группой свердловских математиков во главе с Е. А. Барбашииым [51].
Применение СПС для управления такими сложными объектами, как многосвязные объекты, объекты с запаздыванием, нестационар ные объекты и др., оказалось эффективным, а сравнительная неслож ность практической реализации дала возможность широко их исполь зовать для управления.
Последующие шаги развития теории и практики СПС связаны с их использованием в качестве главного контура адаптивной системы. Хорошие динамические свойства, присущие этим системам в специ ально организованных, так называемых скользящих режимах, дали возможность создать адаптивные системы с высокими показателями.
Возникновение в СПС специального вида движения (скользящий режим), которое реализуется при некотором соотношении независи мых переменных системы, берется за основу для синтеза адаптивного контура в способе, предложенном Е. Н. Дубровским [52]. Адаптивная система осуществляет оптимизацию такого важного качественного по казателя движения системы, каким является быстродействие, или, иными словами, система выполняет минимизацию времени, в течение которого происходит движение в скользящем режиме. Стремление ввести систему в скользящий режим объясняется тем, что после воз никновения скользящего движения система как бы не зависит от из менения параметров, а при надлежащем выборе параметров сколь зящего движения можно реализовать переходный процесс требуемо го качества.
ПО
Во всех известных способах построения адаптивных систем, ис пользующих характерные для СПС движения в скользящем режиме, происходит поиск некоторой граничной линии скольжения, которая для данных начальных условий и при переменных во времени пара метрах объекта управления обеспечивает близкий к оптимальному (по времени движения в скользящем режиме) переходный режим
содновременным сохранением устойчивости скользящего движения.
Вданном случае требования оптимальности и устойчивости находят ся в противоречии, и поэтому системы адаптации, реализующие поиск граничной линии скольжения (Sr), должны решать компромиссную задачу.
Как уже отмечалось, в системах автоматического управления с переменной структурой для обеспечения ряда свойств (астатизма, инвариантности, требуемого качества переходных процессов и др.) преднамеренно организуется скользящий режим. После возникнове ния скользящего режима на заранее заданной поверхности переклю чения (S = 0 ), являющейся гиперплоскостью в фазовом пространстве координат системы, дальнейшее движение изображающей точки под чинено уравнению S = 0 , решение которого удовлетворяет требуемое качество движения. Если же целью синтеза является обеспечение наилучшего качества процессов управления в смысле какого-либо критерия, то в таком случае происходит поиск среди всевозможных гиперплоскостей скольжения той, которая более всего отвечает по ставленным требованиям.
Совокупность гиперплоскостей скольжения, разумеется, определя ется ограничениями, которые объективно накладываются на систему. Особо распространенными в задачах управления являются: ограни чение на коэффициенты в канале обратной связи и, что более сущест венно, ограничение на величину управляющего воздействия. Наличие таких ограничений обусловлено реальными свойствами исполнитель ных устройств и оборудования, которые принимают участие в процес се управления. Вышеуказанными ограничениями определяется неко торая совокупность линий или гиперплоскостей скольжения, среди ко торых находится искомая.
Задачей адаптивного контура в таком случае является поиск этой линии гиперплоскости скольжения, а действия, производимые в про цессе поиска системой адаптации, определяются способом построения адаптивного контура.
В следующей части параграфа описывается способ построения адаптивных систем с переменной структурой (АСПС) и дается информация по интегральной оценке квазиидеального скользящего режима, необходимая для реализации данного способа.
Цель использования способа состоит в построении АСПС в контуре управления основными параметрами теплового режима нагревательных печей.
Рассмотрим пример системы управления второго по рядка, для которой всю совокупность возможных линий скольжения можно записать в следующем виде: S ,= x2+ -\-CiXi (£=1,2...). Поиск осуществляется последователь ным изменением в направлении увеличения параметра
Ci по сигналу устройства, выполняющего индикацию на личия скользящего движения. Максимально возможное значение параметра Сі соответствует минимальной про должительности движения изображающей точки в сколь зящем режиме для данных значений переменных в не котором диапазоне изменения параметров системы.
Для системы второго порядка |
решение |
уравнения |
|||
5 = 0 имеет вид |
|
|
|
|
|
xt (т) = А е~п . |
|
|
|
|
|
Если при |
5 = 5 Г, с= |
ста.\, то |
Хі |
стремится |
к нулю с |
наибольшей |
скоростью. |
В этом |
случае и весь процесс |
||
управления в целом становится оптимальным по скоро сти затухания рассогласования. Справедливость этого утверждения следует из сравнения площадей, «охваты ваемых» фазовыми траекториями, которые соответст вуют процессам управления с различными значениями коэффициента сіг{с}іі, так как в одних и тех же услови ях, чем больше охватываемая фазовыми траекториями площадь, тем быстрее попадает изображающая точка в малую окрестность начала координат. Следует также отметить, что как здесь, так и в дальнейшем, налага ются некоторые условия на скорость и диапазон изме нения переменных параметров системы: в частности, требуется, чтобы параметры изменялись в некотором диапазоне с малой скоростью, соизмеримой со скоростью скользящего режима. В противном случае может нару
шиться условие скольжения 5 5 < 0 и, как следствие это го, прекратится процесс адаптации. Коэффициент с при нимает свое первоначальное значение до возобновления следующего процесса адаптации, наступающего в мо
мент новой реализации условия скольжения 5S-C0. Не достатком его можно считать независимость шага из менения коэффициента А от характера движения в сколь зящем режиме и то, что процесс адаптации носит пери одический характер, вследствие чего информация, на копляемая в процессе адаптации, теряется.
Критерием адаптации при реализации этого способа можно считать
со
/ = J*tal dr -> min,
о
а систему — оптимальной по быстродействию. Критерии
данного вида в сочетании с требованием отсутствия пе ререгулирования по координате Х[. являются довольно распространенной характеристикой качества управления.
Как известно, СПС до возникновения режимов скольжения являются линейными системами и описы ваются дифференциальными уравнениями, соответству ющими какой-либо одной из возможных структур. С воз никновением скользящего режима зависимость системы управления от параметров объекта как бы исчезает, по скольку в скользящем режиме система описывается уравнением 5 = 0, в котором параметры объекта упра вления в явном виде не фигурируют. На самом деле процесс скольжения (даже сам факт возникновения скольжения) связан с параметрами объекта управления. Поэтому эта связь может быть полезно использована при выявлении необходимых для синтеза адаптивного контура зависимостей в динамике.
Прежде чем излагать суть способа построения ада птивной СПС с адаптацией по интегральной оценке па раметров квазиидеального скользящего движения, рас смотрим те условия, в которых должна функциониро вать система управления объектом, содержащим запаз дывание по каналу управляющего воздействия, и, что особенно важно, на каких предпосылках основывается предлагаемый способ.
Рассмотрим систему автоматического регулирования,
движение которой можно описать |
дифференциальным |
уравнением |
|
— = Äx+bu, |
(III-18) |
dt |
|
где X = (х1; х2, .... хп) — вектор; |
системы; |
лу, х2, ..., хп— координаты |
и-— скалярное управление; А — квадратичная матрица с эле
ментами:
аИЦі= 1 ,2 ,..., п);
&= (0, ...,0,Ь„); &„ = const.
Скачкообразное изменение управления и в СПС поз воляет обеспечить условия возникновения скользящего режима по всей гиперплоскости 5, заданной в прост ранстве (лу, х2, хп) уравнением следующего вида:
(III-19)
ct •— const; c„= l.
п-i
Исключив из (Ш-18) хп= —2 СіХ{, получаем дифферен 1=1
циальное уравнение, описывающее это движение
(Ш-20)
где г/—(/г—1)— мерный вектор с координатами г/ь Уъ--
|
|
■■ • У п — ь |
|
|
D — квадратичная матрица с элементами: |
djiQi = |
1,2,... , « — 1); я; |
|
d j i |
Ctji |
CL-i n C l . |
Соответствующим выбором коэффициентов С і м о ж н о обеспечить требуемые динамические свойства скользя щего движения при условии постоянства параметров, характеризующих систему. Если же параметры меняются во времени, то выбор коэффициентов ctдолжен осущест вляться в каждой реализации скользящего режима при условии, что скорость изменения параметров относитель но мала.
Некоторое несоответствие между принятой матема тической моделью и физической системой, является причиной того, что скользящие режимы, получаемые при идеализации системы, в реальных системах не воз никают. Движение фактически происходит в некоторой
окрестности линии или гиперплоскости |
переключения, |
||
в |
которой |
происходит движение к началу координат |
|
в |
режиме |
переключения; это движение |
определяется |
как характеристиками объекта управления, так и харак теристиками управляющих устройств.
Рассмотрим движение системы управления вокруг линии переключения, для которой обеспечены условия
скольжения при наличии запаздывания |
как в объекте |
управления, так и в переключающих устройствах. |
|
Для n-мерного случая гиперплоскость можно опре |
|
делить следующим уравнением: |
|
Xn + S [Cl + A^i (01 = 0, |
(III-21) |
i=l |
|
где |
ЛсДі)— некоторые непрерывные функции вре |
|
мени, определяющие размах колебаний |
|
изображающей точки относительно ги |
|
перплоскости переключения 5 = 0. |
Запаздывание в объекте управления при рассмотре нии движения в режиме переключения можно предста вить как запаздывание в переключающих устройствах, с той лишь разницей, что в переключающих' устройст вах оно зависит от характеристик элементов схемных решений данных устройств, которые могут быть изме нены при синтезе системы автоматического управления, тогда как запаздывание объекта управления, завися щее от конструкции технологического агрегата, в ос новном является неуправляемым параметром системы.
Ограничения, накладываемые на величину запазды вания и выводимые из условия обеспечения скользяще го движения, аналогичны запаздываниям как в пере ключающих устройствах, так и в самом объекте управле ния. Определение граничного значения запаздывания дает возможность оценить размеры сектора или гипер сектора, в которых система является адаптивной. При ведем соотношения, характеризующие систему с пере менной структурой, которая в главном контуре имеет запаздывание.
Рассмотрим систему, движение которой описывает ся дифференциальными уравнениями:
х = |
(*і> |
>Хп)у |
f = |
(А> ••• >fп)> fi = xi+1f 1.......п |
||
Ф = |
( ф х, . . . , ф „ ) ; |
f a |
= — Л Ф , * / |
— |
X а , (/) Х [ , |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
£=1 |
і^е |
хи |
хп— координаты |
системы; |
|||
|
аі, |
.... я,,— переменные во времени коэффициенты, |
||||
|
|
|
|
меняющиеся |
в |
диапазоне а,-ппп^ |
Яг (т) sSj а і max;
аітіп. Я; max— ПОСТОЯННЫе ВеЛИЧИНЫ.
Коэффициенты фь ..., ф„_і — скачкообразно меняю щиеся параметры управляющего устройства, измене ния которых подчинены некоторому логическому закону, зависимому от состояния системы, что равнозначно ха рактеру движения и местонахождению изображающей точки в фазовом пространстве.
Предполагается, |
что система Имеет |
запаздывание |
/ = / і + / 2, где 1\ и |
/2— запаздывания в |
объекте управ |
ления и в переключающем устройстве. |
Поскольку за |
|
паздывание объекта управления можно отмести к запаз дыванию в переключающих устройствах, в дальнейшем под запаздыванием будем подразумевать суммарное запаздывание системы (хотя запаздыванием в переклю чающих устройствах можно было бы пренебречь, так как h ^ la ) .
Для систем с запаздыванием закон изменения коэф
фициентов фі, ..., ф„_і имеет вид |
|
|||
со,- |
при xt S (т— I) > |
0; |
(ІИ-22) |
|
Л,- |
При Xi S (x — I) < |
0; |
||
|
||||
П |
|
|
|
|
S = 2с;х; |
|
|
||
где со,-, к — постоянные для данного |
случая величины; |
|||
с,- (т)— параметр, изменением которого осуществля |
||||
|
ется поиск оптимального положения гипер |
|||
|
плоскости переключения |
для данных значе |
||
ний аі, .... а„, асп= 1.
Очевидно, что надлежащим выбором с* обеспечива ются требуемые характеристики движения системы в ре жиме переключений.
При наличии запаздывания движение изображаю щей точки происходит не по границе разрыва 5, а в не которой ее окрестности, определяемой величиной запаз-
При больших значениях запаздывания, превышаю щих граничное значение /о, размах хода изображаю щей точки вокруг гиперплоскости переключения выво дит ее из области возможных режимов с переключени ями, что, в конечном итоге, является причиной потери системой асимптотической устойчивости. На запаздывав ние системы I накладывается некоторое ограничение, а именно: запаздывание должно быть меньше некоторой величины Іо, в противном случае изображающая точка будет совершать колебательное движение к началу ко ординат с переключением управления на осях произ водных.
В системе адаптации, в которой происходит поиск оп тимального по быстродействию и допустимого по запа су устойчивости режима переключения коэффициента сь
диапазон адаптации, т. е. {с*}, можно характеризовать отношением {/g//}; чем больше это отношение, тем болы
ше множество {с*}, удовлетворяющее условиям квазииде алы-юго скользящего режима.
Граничное значение запаздывания |
рассчитывают для |
|
случаев когда |
имеет величину, |
не исключающую |
возникновение асимптотического движения изображаю щей точки к началу координат.
Движение такой системы в окрестности гиперплоско сти можно описать системой дифференциальных уравне ний с переменными коэффициентами вида
d xn - \ |
П—1 |
(Ш-23) |
|
2[Cl + |
АсI (т)1 Xi |
||
dt |
|||
i = |
1, 2, ..., /г — 2. |
|
Поскольку рассматриваемая система, по допущению, обладает асимптотической устойчивостью, для нее всег да найдется такое L > 0, при котором
л-1
£IАс,- (т)| < L.
і=і
Вэтом случае в фазовом пространстве лц, ..., хп за дается область V, ограниченная гиперповерхностями Qі
и Q2, которые соответственно заданы уравнениями:
|
л—1 |
|
хп + |
£ с, xt + |xft| L = |
0; |
|
1=1 |
(Ш-24) |
|
П—1 |
|
|
|
|
*« + |
£ ci*i — N ^ = o , |
|
где |
і=і |
|
|
|
|
хк = |
maxlXjl; і = |
1 1 — 1. |
Гиперповерхности Qi и Q2 являются границами су ществования режимов, в которых изображающая точка движется с переключениями. Если |xft| L соответствует граничным значениям запаздывания, то они одновремен но задают некоторый гиперсектор, в котором происходит движение АСПС.
Для пояснения сути Способа построения АСПС по интегральной оценке характеристик квазиидеального скользящего режима рассмотрим СПС второго порядка:
dx± dx
dx„ |
|
|
|
(III-25) |
— ai xi — a2xa— u\ |
|
|||
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
a)j = a |
при |
xx S (%— /) > 0; |
(III-26) |
|
|
ß |
при |
x1S (x — l)< 0, |
|
где /> 0 — запаздывание в переключающем устройстве;
S = Ci Xi + х2; |
с > 0. |
|
|
Способ сводится к поиску оптимального по быстро |
|||
действию и допустимого, с точки зрения |
устойчивости |
||
квазиидеального скользящего движения, |
коэффициента |
||
угла |
наклона |
щ линии скольжения 5 = 0 из множества |
|
его |
значений |
{сД. Известно, что быстродействие систе |
|
мы тем больше, чем больше с,- в диапазоне существова ния квазиидеального скользящего режима. Поэтому на ибольший из возможных коэффициентов суопределяет
ся так, |
что после попадания изображающей точки на |
линию |
S „ = ;t2+ c nxi (где сп — наибольший из возмож |
ных коэффициентов в {с*}) эта точка при наличии запаз дывания может продолжать движение в определенном направлении до попадания на асимптоту ха—А,іХі= 0.
Выявим характерные свойства такого рода движений для дальнейшего их использования при синтезе АСПС.
Основой разработанного |
способа1 является доказа |
||
тельство |
(при некоторых |
допущениях) |
монотонности |
функции |
|
|
|
АJ = j x2Sdx; |
■ |
(III-27) |
|
xk |
|
|
|
S = x2 + |
c£xi; |
|
|
где (тй= 1,2,..., n)— момент ввода изображающей точки в квазиидеальный скользящий ре жим;
1 Б а у м б ер г И. Д.. К р у а ш в и л и |
3. È. и |
др. Авт. свид. |
№ 323765. — «Бюлл. изобр. и тов. знаков», |
1972, № |
1. |
т*— момент окончания ft-того интервала существования такого режима в за висимости от изменения сг- в диапа зоне C m in < C < C max (при СДеЛЭННЫХ
допущениях).
Выражение (Ш-27) можно представить в следующем виде:
ДJ = j х2 Sdr — J1х2 S + dr — |
(Ш-28) |
оо
Положительная составляющая (Ш-28) во втором квадранте и отрицательная составляющая в четвертом возрастают при нарушении условия квазиидеального скользящего режима.
Для устойчивой работы системы управления при лю бых [Со, Сп], которая не имеет статической ошибки, ин
теграл |
(III-28) возрастает до некоторого значения (так |
|
как в установившемся состоянии |
5 = 0), при котором |
|
после |
tv (время регулирования) |
прирост интеграла |
(Ш-28) равен нулю.
Так как в установившемся режиме 5 = 0, а время пе реходного процесса fp, как S и х,2, — ограниченные функ ции, то в переходном рёжиме интеграл (Ш-28) сверты вается. Следовательно, при нарушении условий аперио дичности квазиидеальных скользящих режимов ограни ченный интеграл (Ш-28) становится больше некоторого заданного А и неравенство
тп |
(ІИ-29) |
f х2 Sdx>A |
|
o' |
|
может быть использовано в качестве сигнала о возник новении колебательного устойчивого движения. В даль нейшем квазиидеальные скользящие режимы не возни кают, если не уменьшается значение сг-.
Расчеты по обоснованию монотонности интеграла (Ш-28) в квазиидеальном скользящем режиме в зави симости от параметра С проведены для системы второго порядка на цифровой вычислительной машине «Раз- дан-2» в ПКИ «Автоматпром». При расчетах рассматри вали систему (рис. 18), описываемую уравнениями (Ш-25), (Ш-26), (Ш-28).