книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

ТАБЛИЦА II-4

Сравнительная оценка возможных наборов оптимизирующих информационных переменных

соответствуют заданным технологическим условиям функционирования экстрак­ ционной подсистемы. Например, выбор произвольных численных значений от­ носительной концентрации экстрагируемого компонента в рафинате хй и массо­ вого расхода экстрагента W приводит к необходимости устанавливать вид урав­ нения равновесия и тип экстрагента. Последний, однако, по технологическим условиям ограничен только двумя типами (А или В), а использование экстраген­ тов других типов в данной подсистеме не предусмотрено.

При заданном наборе свободных ИП или при отсутствии степеней свободы химико-технологической системы сложность и трудоемкость решения системы уравнений математической модели XTG для каждого уравнения определяются выбором выходных переменных, который обусловливает взаимосвязь всех урав­ нений модели. Число возможных вариантов набора выходных переменных урав­ нений системы, состоящей из N уравнений с N неизвестными, Р г — N!, а число возможных алгоритмов решения этой системы уравнений Р г = (N!)2.

В примере П-11 число возможных вариантов набора выходных переменных равно 2, а трудоемкость четырех алгоритмов решения системы уравнений математической модели экстракционной под­ системы можно сравнить путем простого «ручного» перебора. Пред­ положим, однако, что математическая модель ХТС состоит из систе­ мы N ІО2 уравнений, которые должны быть разрешены относи­ тельно N Sa ІО2 информационных переменных. В этом случае число возможных алгоритмов решения системы уравнений модели соста­ вляет уже более ІО300. Применение для выбора оптимального алго­ ритма решения такой системы уравнений даже ЦВМ без разработки специальных формализованных алгоритмов существенно не облегчит трудоемкость вычислительных процедур.

Для отыскания оптимальных алгоритмов решения многоразмер­ ных систем уравнений математических моделей ХТС нужно исполь­ зовать специальные формализованные алгоритмы поиска оптимальной стратегии решения этих систем уравнений, которые можно легко реализовать с помощью ЦВМ. Формализация алгоритмов поиска указанной стратегии или стратегии оптимизации ХТС основана на применении топологического метода анализа, рассматриваемого в главах IV и V.

78

8. ОБЩАЯ МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ БАЛАНСОВ ХТС

Для расчета материальных и тепловых нагрузок на элементы ХТС необходимо выполнить следующие операции:

1.Изучить физико-химическую сущность технологических про­ цессов ХТС, а также принципы функционирования системы и ее элементов при заданных технологических условиях, технологиче­ ской топологии и входных переменных системы.

2.Составить подробную спецификацию величин, отображающих переменные и параметры ХТС, заданные технологические условия

иконстанты, характеризующие физико-химические свойства и со­ стояния веществ, участвующих в технологических процессах. Ввести удобные символы для обозначения этих величин. Перевести единицы измерения всех величин в одну систему.

3.Выразить функциональные связи между переменными и пара­ метрами ХТС в виде уравнений материальных и тепловых балансов (или уравнений балансов обобщенных потоков) и уравнений функ­ циональных связей. Каждая функциональная взаимосвязь предста­ вляет собой в общем случае неявную функцию билинейных форм

4. Установить независимость неявных функций билинейных форм переменных и параметров ХТС:

^ l(xpi Vq\ xpyq\ . . .; ^ңхр\ $iyq)= О

Fn(xp; yq; xpyq\ . . .; ß/rp; ß/y?) = 0 •

путем определения ранга функциональной матрицы Якоби [J]nxmРанг г;- этой матрицы равен числу независимых неявных функций, совокупность которых образует систему уравнений.

5. Выделить из множества неизвестных, входящих в систему уравнений балансов, в соответствии с технологическими условиями

ифизико-химической сущностью технологических процессов под­ множества независимых (свободных) и зависимых (базисных) пере­ менных. Математически указанная операция выделения свободных

ибазисных переменных совпадает с операцией установления неза­ висимых неявных функций. Неизвестные, для которых функциональ­ ный определитель Якоби [J] порядка г;- отличен от нуля, образует один из возможных наборов базисных переменных. Однако этот набор прежде всего должен отражать заданные режимы и сущность процессов, а не только обеспечивать возможность формального мате­ матического решения системы уравнений балансов.

79

6.Определить, согласно технологическим условиям и физико­ химической сущности технологических процессов, численные зна­ чения свободных переменных.

7.Представить с помощью специальных допущений и преобразова­ ний (11,4) систему уравнений балансов как совокупность линейных уравнений. Составить программу решения системы уравнений на ЭВМ.

8.Оценить порядок ошибок и результаты решения системы урав­ нений балансов на ЭВМ.

Информацию о параметрах потоков и о нагрузках на элементы системы, полученную в результате расчета систем уравнений балан­ сов, представляют следующим образом: а) сводной таблицей мате­ риального и теплового балансов; б) структурной схемой с таблицами покомпонентного состава физических потоков; в) структурной схемой с покомпонентным составом физических потоков; г) диаграммой ба­ лансов.

Рис. И-14. Операторная схема (а) и диаграмма материального баланса (б) про­ стой контурной ХТС:

образом, чтобы в левой ее половине были перечислены и просумми­ рованы все статьи прихода, а в правой — все статьи расхода. Важ­ ным преимуществом этой табличной формы представления балансов является простота и наглядность суммирования, а также возможность непосредственного контроля полученных результатов. Однако в свод­

к о м б и н и р о в а н и я н а б о р а т а б л и ц и с т р у к т у р ­ н о й с х е м ы ХТС. В центре чертежного листа располагают структурную схему, слева в форме таблиц выписывают количества поступающих, а справа — количества расходуемых веществ и тепла.

Третья форма представления балансов состоит в свободном нане­ сении непосредственно на структурную схему ХТС (в некоторых случаях на технологическую схему) или в форме таблиц, или в виде

возможность быстрого обозрения, но имеет существенный недоста­ ток: суммирование количеств веществ и тепла и контроль получен­ ных результатов чрезвычайно затруднены по сравнению с аналогич­ ными операциями в случае отдельных сводных таблиц.

80

Д и а г р а м м ы б а л а н с о в (рис. П-14, я, б) составляют на мил­ лиметровой бумаге, строго соблюдая масштабы и размеры полос, отве­ чающих массовым или тепловым расходам физических потоков ХТС. В центре листа бумаги изображают ствол (общее количество веществ или тепла), разветвленный влево и вправо на полосы входящих и выхо­ дящих потоков (каждую из них вычерчивают в соответствующем мас­ штабе). Диаграммы балансов дают наглядное представление о матери­ альных и тепловых потоках данного элемента или небольшой под-

системы. Однако использовать диаграммы балансов для пред­ ставления всей совокупности результатов расчета балансов ХТС в целом весьма сложно.

и сепаратор вторичной конденсации.

В качестве иллюстрации возможных форм представления резуль­ татов расчета балансов в табл. II-5 и на рис. П-15 показаны резуль­ таты расчета материального баланса продукционной башни ХТС производства серной кислоты нитрозным способом.

На рис. П-16 изображена диаграмма балансов для подсистемы синтеза в ХТС производства аммиака.

Г Л А В А III

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ.

МАТРИЧНЫЙ И ДЕТЕРМИНАНТНЫЙ МЕТОДЫ АНАЛИЗА {ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В общем случае символическая математическая модель каждого т е х н о л о г и ч е с к о г о о п е р а т о р а (ТО) химико-техноло­ гической системы представляет собой систему нелинейных алгебраи­ ческих или дифференциальных уравнений большой размерности, решение которой на ЦВМ требует значительного времени. В этом случае расчет математической модели ХТС, образованной совокуп­ ностью математических моделей, входящих в систему технологиче­ ских операторов, связан с принципиальными трудностями, которые обусловлены ограниченным объемом оперативной памяти и малым быстродействием современных ЦВМ. На начальных этапах проекти­ рования ХТС создаются более простые математические модели ТО, обеспечивающие сохранение желаемого уровня гомоморфизма сущ­ ности физико-химических процессов, происходящих в элементе. На завершающих этапах проектирования необходимо применять более точные и сложные математические модели ТО, которые могли бы полнее учитывать кинетические характеристики технологических процессов и наиболее реально отражать влияние параметров тех­ нологических режимов и параметров элементов на функциониро­ вание ХТС в целом.

Для получения упрощенных математических моделей ТО особенно широко используются методы линеаризации, теории приближений функций, методы планирования эксперимента, а также методы аппро­ ксимации непрерывных элементов с распределенными параметрами дискретными элементами с сосредоточенными параметрами.

При решении задач анализа и синтеза ХТС этап разработки мате­ матических моделей ТО, входящих в систему, является одним из наименее формализованных и наиболее трудоемких. Так, например, в общем бюджете времени на математическое моделирование и опти­ мизацию ХТС производства серной кислоты затраты времени на разработку математических моделей ТО системы и проверку их адекватности составляют около 55%.

82

1. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИМВОЛИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ХТС

В случаях, когда данных о кинетических характеристиках про­ цессов функционирования элементов ХТС недостаточно или они полностью отсутствуют, символическую математическую модель каждого ТО можно представить в форме линейных уравнений с коэф­ фициентами функциональных связей в виде коэффициентов разделе­ ния (факторов разделения) или к. п. д. При использовании такой формы представления математических моделей ТО для элемента ХТС, в котором не происходит химического превращения (рис. ІІІ-1), математическую модель получают следующим образом.

Определение коэффициентов разделения. Из уравнения материального баланса ка­ ждого химического компонента имеем:

П

Для представления математической модели химического реактора ХТС (рис. II1-2, а) в виде линейного уравнения с коэффициентами разделения предполагают, что реактор состоит из совокупности двух последовательных элементов, в которых не происходит химическая реакция (рис. ІІІ-2, б). Элемент (і — 1) имеет две фазы на выходе. Первая фаза соответствует количеству к-го компонента (К1к — WK), вступившего в реакцию, вторая фаза — непрореагировавшему коли­ честву к-го компонента WK. Элемент (г — 2) имеет также две фазы на выходе — фазу свежего питания We, которая отображает количе­ ство компонента е, образовавшегося в реакторе, и фазу WK. В этом случае коэффициенты разделения для реактора находят следующим

в каждом элементе ХТС определяются природой химико-технологи­ ческого процесса, происходящего в элементе, параметрами элемента и зависят от параметров входных технологических потоков. Если значения коэффициентов разделения в элементе ХТС получают сов­ местным решением линеаризованных уравнений кинетики, фазового равновесия и материального баланса, то коэффициенты разделения

Выход

Вход

б

Рпс. ПІ-2. Операторная (а) и структурная (б) схемы химического

реактора:

волнистая линия — граница раздела фаз; пунктирная линия — граница технологического оператора.

представляют собой некоторые постоянные величины, не зависящие от параметров входных технологических потоков.

Рассмотрим выражения коэффициентов разделения для компо­ нентов в элементах ХТС, которые при соответствующих допущениях

Если коэффициент разделения для некоторого ключевого компо­ нента к в ректификационной колонне задан, а коэффициент аік не изменяется, то коэффициент разделения для компонента г является постоянной величиной и описывается выражением

I + W m+1- ! )ік

в котором N m — минимальное число стуненей разделения.

84

К. п. д. химического реактора можно оценить степенью превра­ щения некоторого і-го химического компонента. Степень превраще­ ния і-го компонента в гомогенном проточном реакторе зависит от типа аппарата. Для реактора полного смешения, когда происходит необратимая реакция первого порядка, степень превращения

При изменении состава питания в реакторе и постоянных значе­ ниях к( и Ѳ степень превращения і-то компонента не изменяется.

К. н. д., или эффективность, теплообменника равна отношению действительно переданного тепла к максимальному теплу, которое могло бы быть передано в бесконечно длинном теплообменнике:

Можно показать (при принятых допущениях), что эффективность теплообменника есть функция отношения термических емкостей теплоносителей

п _ (I^Omin

(III,16)

(Wc)max

и числа единиц переноса тепла

Эффективность зависит также от организации потока в тепло­ обменнике. Например, выражение эффективности для противоточного теплообменника будет:

С1 — ехр [—N T Q ) ( \ - R ) ]

.(ІП ,18)

i —R exp [—(NTQ) (1 —R)]

Для других типов теплообменников с помощью так называемого корректирующего фактора

-эффективность может быть найдена из выражения

1 —ехр [—У (NTQ) (1—Д)]

(111,20)

1 - Д ехр [-У(ЛГ7<?)(1 — Д)]

86

п холодного теплоносителей, а также их термодинамические температуры на входе в теплообменник и выходе из него; А — поверхность теплообмена; АТиСТ, АТСр — истинная и среднелогарифмнческая разность температур.

Посредством корректирующего фактора можно учесть также изменение коэффициента теплопередачи по длине аппарата и пере­ мешивание жидкостей. Фактор У всегда меньше единицы и обычно представлен графически как функция входных и выходных темпера­ тур и термических емкостей теплоносителей.

Использование понятия эффективности исключает проблему неиз­ вестных выходных температур и позволяет относительно легко анали­ зировать сложные теплообменные подсистемы ХТС.

Для абсорбционных аппаратов ХТС основным показателем тех­ нологической эффективности является к. п. д. в виде коэффициента извлечения, определяемого уравнением

в котором снг, скг — концентрации поглощаемого компонента в газе, поступающем в аппарат и выходящем из него; с* — концентрация поглощаемого компонента в газе, равновесная со среднеарифмети­ ческой концентрацией его в жидкости, т. е.

причем с*г, Скг — концентрации поглощаемого компонента в газе, равновесные с содержанием его в жидкости до и после аппарата.

Уравнение (111,21) и аналогичные ему выражения к. п. д. (напри­ мер, в единицах жидкой фазы) выводятся на основании материаль­ ного баланса абсорбции. К. п. д. десорбции находится из материаль­ ного баланса десорбции и рассчитывается обычно в единицах жид­ кой фазы:

Матрицы преобразования технологических операторов. Наиболее полное представление о технологическом процессе, протекающем в элементе ХТС, дает его математическая модель, которая основана на математическом описании физико-химических явлений, сопрово­ ждающих этот процесс.

Если для /-го технологического оператора ХТС в выражении (1,2) символической математической модели вектор-функция [Fmn] является линейной функцией от вектора параметров входных пото­

87