книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Пример II-10. Определить число степеней свободы ХТС, изображенных на рис. П-10, а—в. Элементы систем находятся в условиях термодинамического равновесия, химические и физические превращения внутри элементов не проис­ ходят, в физические потоки являются гомогенными и состоят из с компонентов. Рассматриваемые ХТС представляют собой определенную совокупность типовых элементов трех видов: простого элемента, имеющего один входной и один вы­ ходной физические потоки (рис. П-10, а); элемента разделения с одним входным и двумя выходными потоками (рис. П-10, б); элемента смешения, имеющего два входных и один выходной физические потоки (рис. П-10, в). Состояние каждого физического потока характеризуется с -j- 2 информационными переменными

е

Выше было показано, что число степеней свободы простого элемента в соответ­ ствии с правилом Гиббса F = с + 2. Определим числа степеней свободы элемен­

68

Э л е м е н т с м е ш е н и я . И м еем :

Информационные переменные

Таким образом, для однозначного описания элемента разделения ( I) к с + 2 свободным ИП, характеризующим массовый расход, покомпонентный состав, температуру и давление входного физического потока, необходимо добавить еще одну свободную ИП. Этой свободной переменной может оказаться, например, массовый расход одного из выходных потоков элемента (экстенсивная величина), либо коэффициент соотношения массовых расходов двух любых физических потоков (безразмерная интенсивная величина). При рассмотрении элемента смешения (II) очевидно, что поток массы и физическое состояние двух потоков определяют однозначно поток массы в том же агрегатном состоянии и физическое

т. е. из тех же элементов, из которых образована ХТС с байпасным физическим потоком (рис. П-10, б), но иначе расположенных. Порядок расположения эле­ ментов не оказывает влияние на общее число локальных степеней свободы эле­ ментов и на число их точек соприкосновения. Поэтому число степеней свободы системы с обратным потоком, как и для ХТС с байпасным потоком, F = с + 3.

69

Информационные потоки ХТС и их структура. В процессе функци­ онирования ХТС преобразует параметры физических потоков сырья в параметры физических потоков готовых продуктов, промежуточ­ ных продуктов и отходов производства. Каждый элемент (подсистема) ХТС трансформирует параметры входных физических потоков в па­ раметры выходных физических потоков в соответствии с заданным направлением технологических связей системы.

Свойства каждого физического потока ХТС характеризуют на­ бором параметров, или информационных переменных. Если каждую ИП полагать некоторым информационным потоком, то при матема­ тическом моделировании системы одному физическому потоку ХТС будет соответствовать совокупность информационных потоков. На­

правление каждого из этих потоков при

информационные потоки каждого отдельного элемента соответст­ вуют его свободным ИП, а выходные информационные потоки — ба­ зисным ИП. Считают, что входные информационные потоки ХТС или элементов выходят из определенных независимых источников информации, а выходные связаны с некоторыми приемниками ин­ формации.

При решении задач проектирования оптимальных ХТС для каждого отдельного элемента (подсистемы) свободные и базисные ИП могут в общем случае отвечать как информа­ ционным переменным входных, так и выходных физических по­ токов элементов. Поэтому направление информационных потоков, отображающих параметры некоторого физического потока, может совпадать и (или) не совпадать с направлением этого потока системы.

На рис. П-11 представлена структура информационных потоков для теплообменника ХТС, на входы которого поступают физические

70

Пример II-11. Пусть качество функционирования экстракционной подси­ стемы ХТС (рис. 11-12, а) определяется целевой функцией

V ^ C e Q ( x 1 - x 0) - C w W

где Q — массовый расход первичного растворителя смеси компонентов; W —

массовый расход вторичного растворителя (экстрагента); ац — начальная кон­ центрация экстрагируемого компонента в смеси; х 0 — концентрация экстраги­ руемого компонента в рафинате; С е ( C w ) — стоимость единицы массы экстраги­

руемого компонента (экстрагента). Необходимо определить массовый расход W и тип s экстрагента, при которых V* =m ax 'P, и представить структуру ин­ формационных потоков, соответствующую решению задачи оптимизации про­ ектируемой подсистемы.

По технологическим условиям функционирования экстракционной подси­ стемы в ХТС найдены значения Q = Q * и х 1 — х 1г а также указано, что экстр­ агент может быть двух типов: А или В .

Рис. П-12. Операторная схема (а) и структура информационных потоков (б) подсистемы экстракции некоторой ХТС.

Упрощенная математическая модель исследуемой подсистемы имеет вид: материальный баланс по экстрагируемому компоненту

Q (хі — х0)— \Ѵуа = 0

условие равновесия фаз экстракта и рафината для каждого типа экстр­ агента

Ф (*о, Уо, «)= 0

где у 0 — относительная концентрация экстрагируемого компонента в экстракте. Согласно условиям задачи очевидно, что общее число ИП подсистемы т = 6, число регламентированных ИП подсистемы F p = 2, число информационных свя­ зей математической модели п = 2. Следовательно, число оптимизирующих ИП

F о = F — F p = fn— п —F p = 2

Таким образом, если мы выбираем в качестве оптимизирующих переменных тип экстрагента (s = А или В) и его массовый расход (W), то для определения максимального значения целевой функции Y и численных значений базисных ИП нужно одновременно решать два уравнения математической модели подси­ стемы. По методу Гаусса, число вычислительных операций при решении двух уравнений математической модели ѵ = и® = 8. Величина ѵ определяет трудоем­ кость вычислительных процедур решения задачи оптимизации.

Постановка задачи оптимизации экстракционной подсистемы при s и W , выбранных в качестве оптимизирующих ИП, математически записывается сле­ дующим образом:

¥* = max Y = max [C t Q (*i —x 0) ~ C w W \

71

п ри у сл о в и и , что

Структура информационных потоков, соответствующая решению ] ассмотренной задачи оптимизации экстракционной подсистемы, представлена на рис. 11-12, б.

Если определенная совокупность элементов образует некоторую ХТС, то информационные операторы этих элементов связаны между собой информационными потоками, структура которых обусловли­ вает степень свободы системы. При взаимосвязи информационных операторов степень свободы каждого элемента остается величиной постоянной, равной числу входных информационных потоков эле­ мента.

Входные информационные потоки ХТС соответствуют свободным ИП системы, а выходные и промежуточные между информационными операторами элементов информационные потоки — базисным ИП системы. При этом каждому набору свободных и базисных ин­ формационных переменных системы отвечает вполне определенное направление информационных потоков ХТС. Если информацион­ ные потоки между информационными операторами образуют замкну­ тый контур, то для определения базисных ИП математические мо­ дели соответствующих элементов необходимо решать совместно. Наличие замкнутых контуров, образованных информационными потоками, обусловливает трудоемкость вычислительных операций при решении задачи оптимизации ХТС. С целью оптимизации вычи­ слительных операций можно изменять набор свободных ИП, т. е. осуществлять инверсию направления информационных потоков и об­ разовывать новые источники и стоки информации таким образом, чтобы полностью исключить или сократить число и размеры инфор­ мационных контуров.

7. СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ХТС

Математические модели современных ХТС, как было отмечено выше, имеют большую размерность. Так, например, система уравнений материальных и тепловых балансов ХТС производства карбамида по схеме с полным жидкостным рециклом состоит из N S sl,0 -1 0 2 входных и М 2&1,5-102 выходных уравнений. Математическая модель ХТС производства серной кислоты обра­ зована совокупностью около 5 -ІО2 информационных связей, из кото­ рых более половины имеют нелинейный характер, с 10-ІО2 информа­ ционными переменными, отображающими параметры физических потоков и технологических режимов, и с 2 -ІО2 информационными переменными в виде параметров аппаратов, машин и вспомогатель­

ного оборудования.

Рассмотрим особенности методов решения систем уравнений математических моделей ХТС на ЦВМ.

72

Применение для решения ЦВМ системы линейных или линеари­ зованных уравнений математических моделей ХТС при N ^ ІО2 метода последовательного исключения Гаусса, основанного на пре­ образовании полной матрицы системы размера N X N, связано со следующими трудностями.

ЦВМ с оперативной памятью 32 • ІО3 кодов ограничивают число N примерно 1,5-ІО2, поскольку обычно несколько тысяч кодов тре­ буется для оставшихся в памяти машины программ и подпрограмм алгоритмизации процесса решения. Если N2 (размер матрицы си­ стемы уравнений математической модели ХТС) больше, чем объем оперативного запоминающего устройства (ОЗУ) машины, то необ­ ходимо использовать внешнее запоминающее устройство (ВЗУ) — барабаны, ленты, диски и др. При этом возникают существенные проблемы организации обмена информацией между ОЗУ и ВЗУ, связанные с разделением времени обмена, накоплением информа­ ции на буферных каскадах и т. п. При применении ВЗУ можно решать задачи с плотными матрицами до N -- ІО3.

В действительности практическое ограничение при работе на ЦВМ матрицами в большей степени обусловливается временем вы­ полнения операций, нежели временем обмена между ОЗУ и ВЗУ. Если магнитные ленты используют для обращения плотной матрицы порядка N — ІО3, то они за время выполнения операций изнаши­ ваются настолько, что становятся непригодными для считывания информации прежде, чем завершится операция обращения. Кроме того, необходимо отметить, что применение для решения линейных или линеаризованных систем уравнений математических моделей ХТС, имеющих редкие (неплотные) матрицы, метода последователь­ ного исключения Гаусса крайне нерационально и неудобно. Это объясняется тем, что многие нулевые элементы исходной матрицы системы переводятся в ненулевые, а простые нулевые элементы пере­ водятся в сложные, которые должны запоминаться в ОЗУ машины.

Таким образом, поскольку память ОЗУ вычислительных машин ограничена, требуемый объем памяти для решения системы уравнений математической модели ХТС и объем памяти метода оптимизации целевой функции должны быть в сумме меньше объема памяти, ис­ пользуемой ЦВМ.

Возможность разработки специальных методов вычислений для решения систем уравнений математических моделей ХТС, обеспе­ чивающих минимальные затраты машинного времени ЦВМ, а также значительное уменьшение объема памяти ОЗУ, требуемого для хра­ нения элементов матрицы ХТС и проведения итерационных проце­ дур, обусловлена характеристическими особенностями систем урав­ нений (функциональных соотношений или информационных связей) математических моделей ХТС (см. стр. 43). Помимо этого система уравнений математической модели любой ХТС обладает свойством разрешимости относительно информационных переменных. Это свой­

73

входящего в систему (11,21), можно при заданных zj, z\, . . . . z*_, к — 1 информационных переменных из к, входящих в это уравнение,

Следовательно, каждое fr ое уравнение математической модели ХТС, содержащее к информационных переменных, при фиксирован­ ных значениях к — 1 информационных переменных z*, z\, . . ., zj_i, входящих в данное уравнение, можно разрешить относительно информационной переменной z**, т. е. представить эту переменную как явную функцию к — 1 информационных переменных следующеі о уравнения:

« г= Ф /К . *;-х) (” -54)

Информационную переменную z**, относительно которой разре­ шают данное /,-ое уравнение, называют в ы х о д н о й п е р е м е н ­ н о й у р а в н е н и я . Информационные переменные, входящие в /г ое уравнение, при фиксированных значениях которых определяют

ных переменных изменяется выходная переменная уравнения. При заданном наборе свободных информационных переменных

ХТС любой набор выходных переменных системы уравнений мате­ матической модели химико-технологической системы должен удовлет­ ворять следующим условиям: а) каждое уравнение имеет только одну входную переменную; б) каждая базисная информационная переменная ХТС может быть выходной переменной только в одном уравнении.

Совокупность данного набора выходных переменных систем урав­ нений математической модели ХТС соответствует множеству (или вектору) ее базисных ИИ. Множество входных переменных системы уравнений состоит из подмножества всех свободных и подмноже­ ства некоторой части базисных информационных переменных ХТС, обусловливающих взаимосвязь уравнений.

При заданном или выбранном наборе свободных информацион­ ных переменных ХТС набор базисных ИП определяется взаимно однозначно. Однако этому набору отвечает целое подмножество на­ боров выходных переменных уравнений, которое для системы N уравнений с плотной матрицей равно (N!).

Набор выходных переменных уравнений определяет взаимосвязь уравнений и трудоемкость вычислительных процедур решения си­ стемы уравнений математической модели ХТС. Некоторый набор выходных переменных системы уравнений математической модели ХТС может осуществить декомпозицию всей системы уравнений на совокупность строго соподчиненных совместно замкнутых и совмест­ но разомкнутых подсистем уравнений.

74

Совместно замкнутую подсистему образуют такие уравнения,

численные значения выходных переменных которых можно опреде­ лить лишь в результате одновременного совместного их решения.

Совместно разомкнутую подсистему образуют такие уравнения,

численные значения выходных переменных которых можно найти в определенном последовательном порядке для каждого из уравне­ ний в отдельности.

Строго соподчиненными подсистемами уравнений называют та­ кие подсистемы, которые можно решить в отдельности в определен­ ном последовательном порядке. Эти подсистемы не содержат взаимо­ связанных уравнений, решаемых совместно друг с другом.

Многоразмерные системы уравнений математических моделей, в частности системы уравнений балансов, целесообразно с точки зрения экономии машинного времени ЦВМ и минимального запол­ нения объема памяти ОЗУ машины решать на основе свойства раз­ решимости уравнений относительно информационных переменных с применением методов декомпозиции и разрывов, т. е. проведения итерационных процедур по некоторым выходным переменным для каждой совместно замкнутой подсистемы.

В дальнейшем алгоритмом решения системы уравнений матема­ тической модели ХТС будем называть порядок решения ее уравне­ ний на основе методов декомпозиции и разрывов при некотором определенном наборе выходных переменных системы уравнений.

Оптимальный алгоритм решения системы уравнений математи­ ческой модели ХТС определяется таким «удачным» выбором наборов свободных информационных переменных ХТС и выходных перемен­ ных системы уравнений, который соответствует заданным техноло­ гическим условиям функционирования ХТС и требованиям техни­ ческого задания на проектирование. Кроме того, этот «удачный» выбор обеспечивает оптимальную стратегию решения системы урав­ нений путем декомпозиции ее на несколько строго соподчиненных подсистем уравнений, среди которых имеются совместно замкнутые подсистемы, содержащие минимальное число взаимосвязанных урав­ нений.

Пример II-12. Для систем уравнений математических моделей некоторых ХТС выделить совместно замкнутые, совместно разомкнутые и строго соподчи­ ненные подсистемы, если набор свободных ИП уже задан по технологическим условиям:

Выделение указанных подсистем в системах уравнений математических мо­ делей типа А, В и С при некоторых наборах выходных переменных поясняет табл. П-3.

75

ТАБЛИЦА ІІ-З

Выделение совместно замкнутых, совместно разомкнутых и строго соподчиненных подсистем в системах уравнений математических моделей XT С

В общем случае выбор наборов свободных ИП и выходных пере­ менных системы уравнений модели ХТС, обусловливающих трудоем­ кость вычислительных процедур решения задачи оптимизации как с технологической, так и с математической точки зрения неодно­ значен.

Пример II-13. Для математической модели экстракционной подсистемы, рассмотренной в примере 11-11, показать возможность неоднозначного выбора набора свободных ИП; для каждого возможного набора построить структуру информационных потоков; выбрать «удачный» набор свободных ИП, соответст­ вующий технологическим условиям функционирования ХТС и обеспечивающий декомпозицию системы уравнений математической модели на строго соподчи­ ненные уравнения.

Для анализируемой экстракционной подсистемы имеем: N = 2 и М = 6; Q и i j — две регламентированные информационные переменные. Необходимо проанализировать все возможные наборы из двух оптимизирующих ИП. Общее число таких наборов оптимизирующих информационных переменных Р =

76

F>Yji массовый расход экстрагента W. Структура информационных потоков, от­ вечающая этим оптимизирующим переменным, представлена на рис. ІІ-13,_а. Как было показано, в этом случае при решении задачи отыскания экстремума функции цели 'Е и определении численных значений базисных ИП нужно одно­ временно решать два уравнения математической модели подсистемы. Каждому набору оптимизирующих информационных переменных ХТС при заданной целе­ вой функции W соответствует новая формулировка задачи оптимизации.

а — S и W\ б — S и I,; ( — S и у0; г — у0 и х0; д — W п х0; е — W и у„.

Если в качестве оптимизирующих переменных выбирают начальную кон­ центрацию экстрагируемого компонента х0 в исходной смеси и тип экстрагента s, то вычислительные процедуры намного упрощаются. По диаграммам равновесия для некоторого значения х0 определяют концентрацию экстрагируемого компо­ нента уо в экстракте, а затем по уравнению материального баланса для экстра­ гируемого компонента находят массовый расход экстрагента W. Изменение направления ветвей, отвечающих ИП, в структуре информационных потоков экстракционной подсистемы (рис. ІГ-13, б) обеспечило декомпозицию системы уравнений математической модели на два строго соподчиненных уравнения, кото­ рые решают последовательно одно за другим.

Сравнительная оценка следующих четырех наборов оптимизирующих пере­ менных дана в табл. I Г-4, а соответствующие им структуры информационных потоков экстракционной подсистемы показаны на рис. 11-13, в—е.

Согласно набору оптимизирующих информационных переменных s и х0 (или s и у), который обеспечивает минимальные трудности при реализации рас­

четов математической модели экстракционной подсистемы, математическую по­ становку задачи оптимизации в отличие от выражения, полученного в примере П-11, надо видоизменить следующим образом:

77