книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

При составлении уравнений материального баланса системы за основу для расчетов принимаем 1 моль С 02 в физическом потоке Ь г. Число молей инертных газов / в физическом потоке Ь2 равно:

0.02= j , откуда / = 0,082

Элементный баланс углерода между точками С жВ дает теперь состав пото­ ков в точках В, С, D (табл. II-2).

Т А Б Л И Ц А II-2

Состав физических потоков XT С

Заметим, что концентрация инертных газов увеличивается от 2% в точке В до 4,87% в точке D. Это еще раз показывает, почему необходима продувка в ХТС с обратными потоками.

Баланс в точке А дает требуемую информацию о потоках Ь 1 и Ь 2.

Общий мольный баланс (свежее питание плюс рециркулируемый поток) будет:

F + R = 4,082

Мольный баланс инертных газов:

0,005F + 0,0487/? = 0,082

Решая эти два уравнения с двумя неизвестными, находим, что

R = 1,41 моль и F = 2,67 моль.

Соотношение количеств (в молях) рециркулируемых компонентов

икомпонентов свежего питания будет:

В: / ’=1,41 : 2,67 = 0,528

Общее количество компонентов (в молях) в потоке Ьр составляет:

Le~ R = 1,682-1,41 = 0,272

Соотношение количеств (в молях) компонентов в потоке Lp и свежем питании:

Lp : / ’ = 0,272 : 2,67 = 0,102

4. ПОНЯТИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ХТС

Для решения задач проектирования и эксплуатации ХТС необ­ ходимо иметь математическую модель системы в виде совокупности независимых функциональных соотношений между переменными

58

и параметрами ХТС. Математическая модель системы отражает ту информацию, которую имеет исследователь о функционировании системы в соответствии с современным уровнем научных знаний

офизико-химической сущности технологических процессов. Переменные и параметры ХТС, входящие в математическую мо­

дель системы, называют информационными переменными. Функцио­ нальные’ соотношения математической модели ХТС, или информа­ ционные связи, представляют собой систему п независимых неявных функций т информационных переменных:

где / = (/х, / 2, — п-размерный вектор-функция от m-раз­ мерного вектора информационных переменных Z (z1, z2, . . ., zm).

Каждая неявная функция F{, входящая в вектор-функцию /, зави­ сит от к-размерного вектора информационных переменных (ИП)

Zj = (zlt z2, . . ., zK), а именно

Рассуждения, которые будут далее проведены, не зависят от природы этих объек­ тов: последние могут быть количественными характеристиками функционирова­ ния ХТС, передаточными функциями ее элементов, информационными перемен­

держащее элементов и обозначаемое символом 0 . Иногда множество А опреде­ ляется не перечислением его элементов, а указанием характеризующего их свой­ ства. Например, множество простых чисел можно записать так: А = {х/х — простое).

М о щ н о с т ь ю множества А называют число элементов п, образующих данное множество, и обозначают через | А \ — п.

Если свойство (1) влечет за собой свойство (2), то мы пишем (1) =>- (2); когда

эти два свойства равносильны, мы пишем (1) <==>- (2). Пусть А и В — два дан­ ных множества. Будем пользоваться следующими обозначениями: а £ А : а есть элемент множества А; а (£ А : а не является элементом множества А.

А d В : А содержится в В или А есть п о д м н о ж е с т в о множества В (все элементы множества А являются элементами множества В).

А = В: А совпадает с В (А d В и В d А).

А1J Б: о б ъ е д и н е н и е А и В (множество элементов, принадлежащих

или А, или В, или обоим этим множествам).

Ар| В: п е р е с е ч е н и е А жВ (множество элементов, принадлежащих

как А, так и В).

А/ В: д о п о л н е н и е м н о ж е с т в а — множество элементов, при­ надлежащих А, но не принадлежащих В (рис. П-8).

59

Апд

г

Рис. II-8. Обобщенные иконографические модели, поясняющие операции над множествами А и В -.

а — пересечение множеств; б — объединение множеств; в — дополнение множества; г — декартово произведение; d, с — элементы множеств А и В.

Число информационных переменных, характеризующих функцио­ нирование некоторого одного элемента или подсистемы, всегда мень­ ше числа ИП, входящих в математическую модель ХТС, поэтому для неявной функции /г справедливо соотношение к < т . Вследст­ вие того, что число основных физических и химических законов природы, определяющих процесс функционирования ХТС, меньше числа переменных и параметров системы, а число элементов сложных ХТС всегда меньше числа технологических связей, для любой систе­ мы справедливо соотношение п ^ т.

Степенью свободы F химико-технологической системы называют разность между числом информационных переменных т, которое необходимо для составления полной математической модели системы, и числом информационных связей п (или условий), которые сущест­ вуют между информационными переменными (ИП), т. е.

F = т —п

60

В этом случае неявная н-размерная вектор-функция / может быть представлена в виде явной гс-размерной вектор-функции базисных (зависимых) переменных системы от (т — и)-размерного вектора сво­ бодных (независимых) ИП системы:

Таким образом, степень свободы F представляет собой число свободных (независимых) ИП, которые необходимы и достаточны для однозначного представления процесса функционирования ХТС. Все свободные ИП системы должны быть независимыми между собой. Число степеней свободы соответствует числу управляемых перемен­ ных и определяет число регуляторов или систем автоматического управления, необходимых для обеспечения заданного качества про­ цесса функционирования системы или подсистемы.

В выборе свободных ИП и их численных значений проектировщик ХТС имеет определенную свободу действий, что, однако, не должно нарушать требований проектного задания и технологических режи­ мов. Свобода действий при выборе свободных ИП и определении их численных значений в некотором допустимом технологическими условиями диапазоне значений создает принципиальную возможность оптимизации качества функционирования ХТС.

Если при составлении математической модели некоторой ХТС или подсистемы оказывается, что число информационных связей больше числа ИП, т. е. п > т , то задача исследования функциони­ рования системы с математической и (или) физико-химической точки зрения сформулирована некорректно или неправильно. В этом слу­ чае невозможно найти значения всех ИП, которые удовлетворяют информационным связям ХТС. В правильно поставленной задаче исследования системы при п = т не существует никакой свободы действий в нахождении численных значений информационных пере­ менных: только вполне определенные численные значения ИП удо­ влетворяют информационным связям системы.

Пример II-8. Необходимо определить число степеней свободы н выбрать свободные информационные переменные для смесителя потоков двух компонентов А и В некоторой ХТС. Простейшая математическая модель рассматриваемого элемента системы может быть представлена в следующем виде.

Случай I

а) Материальный баланс по общим расходам физических потоков:

61

Смеситель является элементом ХТС, поэтому его’ИП должны удовлетворять некоторым условиям:

переменной В, которое удовлетворяло бы всем информационным связям, найти невозможно, так как задача сформулирована неправильно.

Случай II

Математическая модель смесителя представлена совокупностью четырех информационных связей (п = 4):

а) А + В - С = О

б ) s - A

в) А = А*

г) S = S*

Поскольку т = п, а но условиям взаимосвязи смесителя с другими элемен­ тами ХТС заданы лишь две ИП (А и S), то оставшиеся ИП (В и С) определяются однозначно.

В рассмотренных выше случаях задача оптимизации процесса функциони­ рования элемента ХТС отсутствует, так как нет каких-либо варьируемых усло­ вий и значения ИП строго фиксированы.

Случай III

Если из математической модели смесителя (случай II) устранить информа­ ционную связь, определяющую степень соотношения компонентов S, то остав­ шееся число информационных связей будет равно п = 3, а число ИП сохраняется (т = 4). Появляется одна степень свободы, т. е. для однозначного описания процесса функционирования смесителя из трех ИП (В, С, S) одну можно выбрать как свободную (независимую) переменную. Изменяя ее численное значение, получают несколько значений ИП (В, С и S), которые удовлетворяют заданным информационным связям элемента ХТС. Эта степень свободы может быть ис­ пользована для решения задачи оптимизации процесса функционирования сме­ сителя в соответствии с некоторым критерием качества.

Выражение для числа степеней свободы F системы идентично правилу Гиббса, устанавливающему число и характер свободных ИП. которые необходимы и достаточны для однозначного определе­ ния всех свойств равновесной гетерогенной термодинамической подсистемы, состоящей из ф фаз и к компонентов. Математическая модель такой подсистемы ХТС представляет собой совокупность ф уравнений Гиббса — Дюгема для каждой фазы:

к

в каждой фазе; Net — число молей; Vе и Se — объем и энтропия данной фазы под­

системы; Т — температура, Р — давление и \ц — химический потенциал, кото­ рые вследствие равновесного состояния подсистемы одинаковы в каждой фазе.

62

Таким образом, число ИП в равновесной термодинамической под­ системе т = к + 2 , число информационных связей п = ф . По Гиббсу число степеней свободы равновесной термодинамической подсистемы выражается в следующем виде:

Нужно отметить, что и при отсутствии равновесия число ин­ формационных связей в подсистеме также будет равно ф, а число информационных переменных т = к + 2. Число степеней свободы многофазной термодинамической подсистемы, не находящейся в рав­ новесии, выразится также уравнением (11,48).

Правило фаз Гиббса сформулировано с помощью и н т е н с и в ­

В соответствии с уравнением (11,50) можно сделать вывод, что для однозначного описания свойств однофазной термодинамической подсистемы с одним входным и одним выходным потоками необхо­ димо иметь численные значения к -f- 1 интенсивных величин (темпе­ ратура, давление, к — 1 мол. долей компонентов) и одной экстен­ сивной величины (поток массы).

5. РЕГЛАМЕНТИРОВАННЫЕ И ОПТИМИЗИРУЮЩИЕ ПРОЕКТНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ХТС

При исследовании ХТС часто обнаруживается неопределенность и возникают немалые сложности при выборе свободных ИП, имеющих первостепенное значение для однозначного математического предста­ вления процесса функционирования ХТС. Это обусловлено тем, что общую универсальную формулу для числа степеней свободы любой ХТС, указывающую, какие именно ИП системы должны быть

строго индивидуальна но характеру процессов функционирования. Однако можно указать некоторые основные рекомендации но выбору свободных переменных системы, которых следует придерживаться при решении задач проектирования и оптимизации ХТС.

Все информационные переменные, полностью характеризующие функционирование системы, подразделяют на проектные (заданные)

63

и расчетные (искомые) переменные. В качестве свободных ШІ си­ стемы из всего множества информационных переменных могут быть выбраны только лишь проектные переменные ХТС.

Проектные переменные — это такие ИИ, которые характеризуют основную цель функционирования ХТС, воздействие на систему или подсистему внешней окружающей среды, взаимосвязь данной системы с другими ХТС и возможность оптимизации процессов ее функциони­ рования в соответствии с некоторым критерием качества.

Расчетные (искомые) переменные — это ИП, определение которых представляет собой цель проектирования и исследования системы.

Среди проектных переменных выделяют регламентированные и оптимизирующие переменные ХТС.

Регламентированные переменные определяют основную цель функ­ ционирования ХТС, влияние внешней среды на систему, взаимодей­ ствие данной системы с другими системами. Большая часть этих переменных находится по данным проектного задания и требованиям

став, температуру и давление потоков сырья (например, для систем очистки технологических газов); массовый расход, состав и темпера­ туру готовых продуктов; параметры потоков теплоносителей па входе подсистем с химическими реакторами; тип и активность катализа­ торов химических превращений; параметры потоков теплоносителей или хладоагентов на входе и выходе подсистем с теплообменниками, а также параметры технологических режимов функционирования элементов или подсистем, которые обусловливают протекание тех­ нологических процессов в требуемом направлении.

Другую группу регламентированных переменных составляют к о н с т р у к ц и о н н ы е п а р а м е т р ы элементов или под­ систем: конструкционный тип аппаратов; высота реакционного объе­ ма; диаметр и высота слоя катализатора: конструкционные размеры аппарата и т. п.

Таким образом, некоторое число степеней свободы ХТС, согласно проектному заданию и технологическим условиям, расходуют на регламентированные переменные. Определив оставшееся неизрасхо­ дованным число степеней свободы, необходимо решить, какие именно ИП нужно выбрать дополнительно для однозначной характеристики процесса функционирования ХТС.

Оставшиеся степени свободы следует отнести к оптимизирующим переменным (см. ниже), варьирование численных значений которых при заданных регламентированных переменных обеспечивает опти­ мизацию процесса функционирования системы в соответствии с не­ которой целевой функцией. Как правило, данная функция имеет экономический характер. Это обусловлено тем, что многие варианты выбора свободных информационных переменных часто эквивалентны друг другу в технологическом отношении, но могут быть по-разному оценены с экономической точки зрения. Перед инженером стоит

64

задача из всех возможных вариантов наборов свободных ИП вы­ брать такой, который являлся бы экономически оптимальным.

Реальный процесс функционирования ХТС протекает при нали­ чии определенных ограничений на качества и количественные зна­ чения технологических и конструкционных переменных системы. Так, например, по условиям обеспечения взрывобезопасности функ­ ционирования ХТС для подсистем, в которых протекают окисли­ тельные процессы, начальные концентрации реагентов должны быть меньше предела взрываемости; температура физических потоков системы ограничена возможностями теплообменников и нагреватель­ ных устройств; максимально допустимое изменение давления обусло­ влено возможностями насосов или компрессоров; по условиям сохран­ ности катализатора иногда требуется, чтобы концентрации некото­ рых компонентов в реакторе не уменьшались ниже соответствующего уровня и т. д.

Конструкционные параметры ограничены требованиями ГОСТ, межведомственных и ведомственных нормалей на типы и геометри­ ческие размеры оборудования, а также соображениями механиче­ ской прочности и надежности оборудования. Ряд ограничений имеется также на информационные взаимодействия элементов или под­ систем.

Наличие ограничений на информационные переменные ХТС вы­ зывает трудности, препятствующие достижению того оптимального решения, которое можно было бы получить без учета ограничений. Для обеспечения корректности постановки задачи исследования процессов функционирования ХТС и резкого сокращения объема вычислительных процедур по оптимизации данной системы в каче­ стве оптимизирующих проектных переменных необходимо прежде всего выбирать информационные переменные двух видов:

1) ИП, принимающие, согласно проектному заданию и техноло­ гическим условиям, дискретные значения (например, конструкцион­ ный тип аппаратов; стандартизированные или нормализованные геометрические размеры оборудования; допустимые типы катализа­ тора или растворителя и т. д.);

2) ИП, которые по требованиям проектного задания и техноло­ гических условий или вследствие взаимодействия элементов системы между собой имеют узко ограниченный диапазон возможных значе­

проектную переменную системы. Изменяя величину t в заданном диапазоне температур, отыскивают оптимальный технологический режим в реакторе. Если же эту информационную переменную t принять как базисную (зависимую) переменную, то ее численное значение можно определить только после решения системы инфор­ мационных связей математической модели и, следовательно, лишь

тогда убедиться, удовлетворяет ли полученный оптимальный тех­ нологический режим ограничению на температуру ь реакторе. Такое решение задачи оптимизации требует значительных затрат расчет­ ного времени.

Если число степеней свободы ХТС после выбора в качестве опти­ мизирующих проектных переменных указанных выше двух видов информационных переменных еще не полностью израсходовано, то оптимизирующими выбирают такие ИП, изменение значений которых в широком диапазоне при заданных регламентированных проектных переменных обесценивает оптимизацию системы.

Отметим, что деление проектных переменных ХТС на регламенти­ рованные и оптимизирующие несколько относительно, поскольку в зависимости от конкретных условий функционирования системы одни и те же информационные переменные могут быть либо оптими­ зирующими, либо регламентированными. Так, если поток исходной реакционной смеси поступает в реакторную подсистему из какой-либо другой подсистемы и его массовый расход, состав и давление нельзя изменять по некоторой желаемой программе или стабилизировать, то эти информационные переменные будут регламентированными, а в противном случае — оптимизирующими переменными системы.

При решении задач проектирования оптимальных ХТС оптими­ зирующими ИП являются как технологические, так и конструкцион­ ные параметры, при оптимизации действующих ХТС — только тех­ нологические параметры, обесценивающие наилучшие показатели функционирования.

Пример II-9. Определить число степеней свободы и выбрать регламентиро­ ванные и оптимизирующие свободные ИП для теплообменника ХТС (рис. П-9).

V

Теплообменник предназначен для охлаждения потока горячей жидкости (мас­

Функционирование теплообменника полностью характеризуется И инфор­ мационными переменными: W lt W 2 — массовые расходы горячего потока и хла­ доагента; К — конструкционный тип теплообменника (противоточный, прямо­

ская движущая сила теплопередачи; ty t2 и t3, — температуры горячего по­ тока и хладоагента на входе в теплообменник и на выходе из него.

66

Математическую модель теплообменника представляют в виде пяти инфор­ мационных связей:

основные уравнеппя теплопередачи

зирующих информационных переменных F0 = F — Ер = 2 . Оптимизирующими переменными выбираем конструкционный тип тепло­

обменника К и массовый расход хладоагента W2- Варьирование этих оптими­ зирующих переменных обеспечит оптимизацию функционирования теплообмен­ ника в ХТС. Численные значения базисных (искомых) информационных перемен­ ных {А; Q; h; Aі; Ц) получают после решения математической модели теплообмен­ ника.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ХТС

Ранее было показано, что степень свободы F системы находится как разность между числом информационных переменных и числом информационных связей. Теперь рассмотрим вопрос, как практи­

купности нескольких элементов или подсистем, зависит от числа степеней свободы каждого отдельного элемента (или отдельной под­ системы) и от структуры технологических связей между элементами (подсистемами) следующим образом:

i=i

где F3i — число степеней свободы каждого і-го отдельного элемента (подсистемы), или степень свободы каждого і-го элемента; Fj — число информационных пере­ менных, соответствующих каждой /-ой технологической связи (/-му физическому потоку) между соседними элементами (или /-ой точке соприкосновения элемен­ тов).

Как уже отмечалось, с точки зрения практических задач проекти­ рования и эксплуатации ХТС для числа степеней свободы системы справедливо соотношение

где Fn — общее число проектных переменных; Fp — число регламентированных проектных переменных; F0 — число оптимизирующих проектных переменных.