книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Г Л А В А II

РАСЧЕТ МАТЕРИАЛЬНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ БАЛАНСОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕН СВОБОДЫ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основу современного проектирования новых и анализа функцио­

системы уравнений балансов; 2) решение системы уравнений балансов. С и с т е м а у р а в н е н и й б а л а н с о в ХТС образуется совокупностью независимых уравнений, входящих в системы урав­ нений материальных и тепловых балансов и в систему уравнений

функциональных связей.

В результате решения системы уравнений балансов на стадии проектирования ХТС определяют количественные характеристики функционирования системы, которыми являются материальные и те­ пловые нагрузки и производительность элементов системы в виде массовых расходов и составов сырья, конечных и промежуточных продуктов; массовых расходов сточных вод и выбросов вредных газов в атмосферу; массовых расходов греющего пара и охлаждающей воды; количества тепла и электроэнергии. Материальные и тепловые на­ грузки и производительность элементов ХТС представляют собой исходную информацию для расчета технологических моделей отдель­ ных элементов, а также для технологического и конструкционного расчетов элементов системы.

Зная материальные и тепловые нагрузки на элементы ХТС, определяют как на стадии проектирования, так и в условиях эксплу­ атации расходные нормы по сырью, греющему пару, охлажда­ ющей воде и коэффициенты использования энергии, которые являются технологическими показателями эффективности функционирования системы.

В условиях промышленной эксплуатации ХТС на основе расчета систем уравнений балансов выявляют неучтенные потери вещества и тепла, определяют для регуляторов систем автоматического управле­ ния величины таких воздействий, которые в ХТС не измеряются авто­ матически, что повышает качество регулирования технологических

37

процессов; оценивают влияние ошибок в измерениях контроли­ руемых параметров на значения рассчитываемых параметров физи­ ческих потоков.

1. ОБЩИЙ ВИД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ БАЛАНСОВ

При составлении системы уравнений балансов ХТС предпола­ гают, что система находится в стационарном технологическом режиме, а взаимодействие между ее элементами, между данной системой и окружающей средой происходит через определенное число мате­ риальных и энергетических физических потоков. В ХТС выделяют физические потоки двух видов: технологические и условные. Т е х ­ н о л о г и ч е с к и е п о т о к и обеспечивают взаимосвязь эле­ ментов между собой, взаимодействие между системой и окружающей средой и, следовательно, целенаправленное функционирование ХТС. У с л о в н ы е п о т о к и отображают рассеивание (потери) ве­ щества или энергии ХТС в окружающую среду и различные мате­ риальные и энергетические возмущающие воздействия внешней среды на функционирование ХТС.

где m/— общий массовый расход вещества; хік — доля к-го химического компо­ нента; ti — температура; Рі — давление; Ні — расход тепла.

При исследовании процессов функционирования ХТС рассмат­ ривают внешние и внутренние источники {стоки) вещества или энер­ гии системы. В н е ш н и е и с т о ч н и к и вещества или энергии ХТС соответствуют материальным и энергетическим физическим по­ токам, которые поступают в систему на переработку или химическое преобразование (превращение) и обеспечивают функционирование системы. В н е ш н и е с т о к и вещества или энергии ХТС отве­ чают материальным и энергетическим физическим потокам, образу­ ющимся в результате функционирования системы.

В н у т р е н н и е и с т о ч н и к и (стоки) вносят качественные изменения в процесс функционирования ХТС и отображают эффекты химических и физических превращений, происходящих внутри эле­ ментов системы. В н у т р е н н и й м а т е р и а л ь н ы й и с ­ т о ч н и к ( с т о к ) соответствует количеству компонента, вступив­ шего в химическую реакцию, или количеству компонента, образовав­ шегося в результате химического превращения. В н у т р е н н и й т е п л о в о й и с т о ч н и к ( с т о к ) отвечает количеству тепла, выделяющемуся или поглощающемуся в результате протекания внутри элементов ХТС химических и физических превращений.

Каждому внутреннему источнику (стоку) вещества соответствует ф и к т и в н ы й м а т е р и а л ь н ы й п о т о к , а каждому внут­ реннему источнику (стоку) тепла — ф и к т и в н ы й т е п л о в о й п о т о к .

38

Для каждого элемента (подсистемы) ХТС на основе законов со­ хранения массы и энергии можно составить систему уравнений ма­ териальных и тепловых балансов, включающих следующие неза­ висимые уравнения:

а) м а т е р и а л ь н о г о б а л а н с а п о о б щ е м у м а с ­ с о в о м у р а с х о д у в е щ е с т в а ф и з и ч е с к и х п о т о ­ к о в

‘ р а с х о д у к о м п о н е н т о в ( х и м и ч е с к и х э л е м е н ­ т ов ) физических и фиктивных материальных потоков

п V

в) т е п л о в о г о б а л а н с а п о р а с х о д у т е п л а фи ­

И Л И

пV

где для у-го физического потока ту — общий массовый расход вещества; хц — доля г-го компонента в единице общего расхода вещества; Ау — энтальпия;

су — средняя удельная теплоемкость; tj — температура; Ge — массовый расход е-го материального фиктивного потока; Qe — расход тепла е-го теплового фик­ тивного потока.

В общем случае каждое из уравнений (11,2) и (II, 3) представляет собой билинейную форму неизвестных параметров физических пото­ ков ХТС, а система уравнений балансов является системой нелиней­ ных уравнений. Однако с помощью следующих специальных допу­ щений любую систему уравнений балансов можно представить в ли­ нейной форме (Н,4):

а) если ту заданы, то система уравнений балансов линейна относительно переменных хц и Ау (или tj)

б) если х/i и (или) Ау заданы, то система уравнений линейна относительно переменных ту

Когда члены уравнений системы уравнений балансов являются билинейными формами неизвестных параметров физических потоков, а допущения (1,4) применить невозможно, систему уравнений при­ водят к линейному виду, используя понятие обобщенных потоков ХТС. Обобщенные потоки представляют собой материальный расход или расход тепла, соответствующий р-му параметру г-го физического потока или параметру фиктивного потока ХТС. Выделяют следу­ ющие три типа обобщенных потоков ХТС:

39

О б о б щ е н н.ы й м а т е р и а л ь н ы й п о т о к W lt, от­ вечающий общему массовому расходу физических потоков системы

ветствующий массовому расходу химического компонента (химиче­ ского элемента) физического потока системы и фиктивному матери­ альному потоку ХТС

расходу тепла физического потока и фиктивному тепловому потоку

В общем виде выражения для обобщенных потоков W 2\ и W3i записывают как

у-ый обобщенный поток, соответствующий некоторому параметру физического потока, входящего в г'-ый элемент; Wfi — у-ый обобщенный поток, отвечающий параметру фиктивного потока, имеющего источник в г-ом элементе; W-j — у'-ый обобщенный поток, соответствующий некоторому параметру выходящего из г-го элемента физического потока; W*f — у-ый обобщенный поток, который отвечает параметру фиктивного потока, имеющего сток внутри г-го элемента ХТС.

40

Здесь [Al — [af/-] — матрица системы уравнений, элементы кото­ рой

источников (стоков) химических компонентов, соответствующих реак­ ции; величины источников (стоков) тепла, соответствующих физико­ химическим превращениям; учитывают взаимосвязь между пото­ ками при известных коэффициентах функциональных связей или к. п. д. элементов; зависимость величин потоков от заданных пара­

струкционные и технологические параметры элементов ХТС; D — параметры технологических режимов ХТС.

Предположим, что ХТС содержит элементы, в которых проходит химическое превращение по стехиометрическому уравнению

аА+ЪВ-\- . . . + p P = cC + d D + . . . + r R

в котором а, Ъ, . . ., р, с, . . ., г — известные стехиометрические коэффициенты; А, В, . . ., Р, С, . . ., В — химические формулы компонентов, участвующих в реакции.

По технологическому режиму данной ХТС заданы мольные соот­ ношения компонентов (аа , а в , . . ., ар), к. п. д. (р) и производи­ тельность (тс) элемента по продукту реакции С. В этом случае уравнения функциональных связей имеют следующий вид:

уравнения покомпонентного состава физических потоков

41

уравнения расхода компонентов, участвующих в реакции (т^)

уравнения расхода коімпонентов, соответствующих фиктивным потокам (пг*п)

"Ч?п—ßi"*c/ = О

Заметим, что каждое из уравнений функциональных связей (11,15) — (11,17) является частным случаем общей формы уравне­ ния функциональной связи ХТС:

Fі (mf, тц; mi2, . . ., тц\ ß,-; ß*; p; mcj)= 0

где m.j — общий массовый расход; xCj — доля компонента С в /-ом потоке;

Таким образом, для любой ХТС система уравнений балансов как совокупность линейных независимых уравнений имеет следу­ ющий общий матричный вид:

по массовым расходам компонентов (химических элементов или свободных ра­ дикалов); к2 — число уравнений балансов обобщенных потоков по расходам тепла; кя—число уравнений функциональных связей; е} — число обобщенных по­ токов по общим массовым расходам вещества; е2 — число обобщенных пото­ ков по массовым расходам компонентов (химических элементов или свободных радикалов); е3 — число обобщенных потоков по расходам тепла.

42

В общем случае с и с т е м о й у р а в н е н и й м а т е м а т и ­ ч е с к о г о о п и с а н и я ХТС называют как систему уравнений балансов, так и систему уравнений математической модели ХТС. Последняя образована совокупностью систем уравнений балансов и систем уравнений математических моделей элементов ХТС, отра­ жающих кинетику химических превращений, массо- и теплопередачи, а также гидродинамические особенности структуры потоков внутри элементов системы. Матричная форма системы уравнений математи­ ческого описания ХТС будет

цехам или производствам химических предприятий:

1.Большая размерность матрицы, а именно: число строк N = г

ичисло столбцов М по величине превосходят значение ІО2.

2.Прямоугольность матрицы, обусловленная наличием избытка числа неизвестных М над числом независимых строк: N — г; F =

=М - N > 0.

3.Неплотность, или резкость, матрицы. Из общего числа N 2

элементов матрицы лишь немногие элементы отличны от нуля, так как число неизвестных т, входящих в каждое /-ое уравнение системы, много меньше общего числа неизвестных М.

4. Низкое информационное содержание матрицы или сравни­ тельная простота представления ее в запоминающем устройстве ЦВМ, хранить в котором необходимо самое большее лишь ненуле­

Для каждой ХТС различают следующие виды систем уравнений материальных или тепловых балансов: а) одного элемента ХТС; б) одной подсистемы ХТС; в) производства или всей ХТС в целом.

Система уравнений материальных или тепловых балансов для элемента, подсистемы или ХТС в целом представляет собой систему неявных функций (т ф п):

43

если хотя бы одна из них представляет собой некоторую функцио­ нальную зависимость от остальных функций, т. е.

Если тождество (II,22а) для данного набора функций не выпол­ няется, то функции фX, ф2, . . ., фт называют н е з а в и с и м ы -

ми.

Вслучае когда каждая из неявных функций является линейной

Если функции линейно зависимы, то одна из функций может быть представлена как линейная комбинация остальных с некоторыми числовыми коэффициентами

При составлении системы независимых уравнений материального баланса необходимо учитывать, что баланс по общим массовым рас­ ходам равен сумме балансов по массовым расходам всех компонен­ тов. При отсутствии в ХТС химических превращений составление элементных балансов излишне, поскольку элементные балансы входят в покомпонентные балансы. Для каждого элемента, подси­ стемы или ХТС в целом в общем случае можно составить несколько вариантов систем независимых уравнений материальных балансов.

Пример II-1. Для технологического оператора разделения (рис. П-1) со­ ставить несколько возможных систем независимых уравнений материальных балансов.

Пусть F, D и W — мольные массовые расходы питания, дистиллята и кубо­ вого продукта. Физический поток F на входе технологического оператора харак­

потоки оператора D п W также содержат метан, этан и пропан. Для рассматри­ ваемого технологического оператора разделения можно записать уравнения материальных балансов всех трех типов.

Уравнение материального баланса по общим массовым расходам физических потоков:

Уравнения материальных балансов по массовым расходам компонентов физических потоков:

баланс по метану (А)

44

баланс по этану (В)

баланс по пропану (С)

Зависимость уравнений системы уравнений материальных балансов выте­ кает из следующих соотношений, которые справедливы для некоторых уравне­

Таким образом, система уравнений материального баланса оператора разделения содержит шесть независимых уравнений с двенадцатью неизвест­ ными.

Системы уравнений балансов (11,1) — (11,3) ХТС являются одно­ родными системами линейных или билинейных уравнений, поэтому

они всегда совместны, так как имеют очевидное нулевое или триви­ альное решение

х1= х 2 = хз = ■• ■= хп=-0

которое никакого практического интереса не представляет. Число уравнений т системы уравнений балансов ХТС всегда меньше числа переменных п, поэтому математически эти системы имеют бесконечно много ненулевых или нетривиальных решений. Вследствие того что каждая ХТС функционирует в соответствии с некоторыми строго определенными технологическими условиями, число ненулевых ре­ шений с технологической точки зрения всегда конечно.

Каждое ненулевое решение должно удовлетворять требованиям технического задания и технологических условий.

В вопросе определения независимости уравнений и совместности системы уравнений балансов важную роль играет рассмотрение функциональной матрицы Якоби [J], отвечающей данной системе уравнений. Каждый элемент этой матрицы равен

,<5<рк

1ке' ~ ^ 7

причем ер* — к-ое уравнение, а і , — е-ая переменная системы урав­ нений.

г} = г — т, то система уравнений балансов состоит из т независи­ мых уравнений и является совместной; если г3 = г < т, то система уравнений балансов включает г = ^независимых уравнений, а (т—г)

уравнений зависят от других г уравнений и система уравнений является совместной.

Ненулевые решения системы уравнений балансов определяют путем расчета г-го числа уравнений (с г неизвестными), для которых

Таким образом, при расчете этой системы уравнений г неизвест­ ных оказываются выраженными через (п — г) остальных переменных

технического задания и технологических условий функционирования ХТС.

Если система уравнений балансов линейна, то анализировать функциональную матрицу Якоби необязательно, поскольку в этом случае Якобиан совпадает с матрицей системы линейных уравнений, для определения совместности которых при ненулевых решениях используют известные из линейной алгебры теоремы.

46