книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

На рис. ѴІ-9 гиперплоскость Н является опорной плоскостью для множества R в точке / (х*). Множество не имеет опорной плоскости в точке Р.

Теперь сформулируем условия, при которых максимизация функ­ ции Лагранжа для соответствующих значений множителей X дает решение основной задачи. Это условие нужно дополнить, если много­ уровневый алгоритм должен сойтись к оптимуму полной задачи.

Теорема 1. Решение основной задачи х* также решает лагранжеву задачу, если (и только если) множество R имеет опорную плоскость в точке

![/(**). gl (ж*)і &>!(**).......... ftn(**)]

Следствие 1. Решение задачи Лагранжа для соответствующего Я также решает основную задачу, если опорная плоскость в х* соприкасается с мно­ жеством R только в точке

[/ (**). gl (X*), . ■., gm (**)]

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1

1. Если R имеет опорную плоскость в х*, то, согласно определению опорной плоскости

2. Если X * максимизирует функцию Лагранжа и решает основную задачу,

то в соответствии со следующими рассуждениями множество R имеет опорную плоскость, уравнение которой

/(*)-/(**) = W (*)

Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я 1

Доказано уже, что х* максимизирует L (х, Я0). Если дополнительно потребо­ вать, чтобы X * было единственным, то следствие вытекает немедленно. Несколько

более общим способом высказывания того же самого является требование, чтобы опорная плоскость в точке [/ (х*), G (х*)] касалась множества R только в [/ (х*),

318

G (а:*)]. Это все еще допускает кратные значения для х*, но тогда максимум L (X, Я0) должен быть

/ (х*), а G (х*) = 0

Многоуровневый алгоритм требует, чтобы функция Лагранжа была макси­ мизирована для последовательности множителей Я, поскольку оптимальный множитель Я0 пе известен априори.

Для того чтобы выяснить, что произойдет, если Я Ф Я0, рассмотрим следу­ ющую теорему.

Теорема 2. Если х* максимизирует функцию Лагранжа L (х, Ях) для некото­ рого вектора множителей Ях, то это решает следующую задачу:

Правая часть уравнения (VI,57) является функцией Лагранжа для задачи (VI,55). Кроме того, х = х* решает уравнение (VI,55).

Теорема 2 говорит, что посредством максимизации функции Лагранжа решается задача, которая подобна первоначальной основной задаче, причем разница заключается в том, что G (хJ) ф 0. Однако более важно то, что эта теорема приводит к формулируемому ниже следствию.

Следствие 2а■ Максимум функции Лагранжа L (х*(Я), Я) дает верхнюю гра­ ницу целевой функции основной задачи.

Доказательство: уравнение (VI,56) справедливо для любого Яі и любого х. Если заменить Ях на Я и взять х = х*, то уравнение (VI,56) принимает вид

так как G (х*) = 0.

Если в X* имеется опорная плоскость, то в соответствии с теоремой 1

Следствие 26. Множитель Я0 минимизирует функцию Лагранжа. Согласно уравнениям (VI,58) и (VI,59)

L ( X * (Я), Я) Sä L ( X * (Яо), Яо)

Рис. ѴІ-10 иллюстрирует положение для Яі ф Я0. Опорная плоскость касается границы множества R в (/ (х* (Я!)), G (х* (Ях)). Отрезок плоскости с осью G (х) = 0 дает значение двойственной функции

у(Ях), [у(Ях) = L(** (Яі), Яі)]

Теперь посмотрим, что произойдет, если множество R не имеет опорной плоскости в X = X* (рис. ѴІ-11). Многоуровневый алгоритм требует, чтобы были выполнены следующие операции:

Начало в первой точке (Я = Я!) дает у (Я!) как максимум функции) Ла­ гранжа L (х, Ях) для всех х. Уменьшение Я доЯ2 дает следующее значение у (Я2) и т . д., пока при Я = Я. двойственная функция не станет минимумом. Любое дальнейшее уменьшение Я, скажем до Я4, приводит, как показано, к возрастанию двойственной функции. Минимум этой функции в данном случае, однако, не

319

отвечает решению основной задачи, поскольку g (х) Ф 0. Скорее при (Я3) имеем решение двух других основных задач:

вариант, когда многоуровневый алгоритм может не иметь успеха, состоит в том, что алгоритм согласования не будет в состоянии снизить у (к) и g (х) все еще не

будет равно нулю.

'Множество R, приведенное на рис. ѴІ-11, можно преобразовать посред­ ством преобразования ограничений множества S. Путем сокращения S соответ­ ствующим образом правая граница его может быть сдвинута до положения,

показанного пунктирной линией. Тогда задача, связанная с этим новым мно­ жеством, будет иметь опорную плоскость в оптимуме, и решение ее можно найти при помощи многоуровневых методов.

В заключение рассмотрим некоторые свойства двойственной функции.

а) Если множество R имеет плавно вращающуюся опорную плоскость, то градиент ду (Я)/<Э Я существует и его находят из выражения

4 ^ = - * < *•< «

З а м е ч а н и е : в строго линейных задачах граница R не вращается плавно. Это осуществляют пересечениями гиперплоскостей.

б) Функция у (Я) не является выпуклой над любым выпуклым подмноже­ ством своей области. Доказательство: выберем такое а, чтобы 0 <; а <; 1. Тогда

у (аЯ1-)-(1 — а) Я2) = m a x [/(х ) + а Яі g (x) + (l —а) Яog (x)] =

Второе равенство следует потому, что L (х, Я) линейно относительно Я. Если область Я является целым пространством, что и сделано посредством вы­ бора ограничений множества S, то у (Я) выпукла для всех Я.

Пример ѴІ-2. Применить метод многоуровневой оптимизации к ХТС ката­ литического крекинг-процесса «термофор». Данная ХТС позволяет получать высококачественный бензин при повышенном выходе дистиллятных фракций нефтяного топлива; количество нефтяных остатков невелико.

Технологическая схема системы представлена на рис. ѴІ-12. Нефть, посту­ пающую в ХТС, предварительно подогревают и смешивают с потоком рецикла

320

перед нагревом в печи с целью доведения температуры смеси почти до температур

в которой разделяются и распределяются крекинг-продукты.

Катализатор стекает в нижнюю часть реакционного слоя и самотеком про­ ходит через паровой поток, распределительные решетки паров и зону очистки. Затем очищенный отработанный ка­ тализатор самотеком поступает

вкатализаторную печь, в которой из него выжигают кокс. Далее реге­ нерированный катализатор проходит через охладители, где отдает излиш­ нее тепло, и стекает в нижний бун­ кер катализаторного пневмоподъем­ ника. Отсюда катализатор подается

всепаратор, в котором отделяется

целевой функции и выводят на печать результаты расчетов.

Задача оптимизации заключается в том, чтобы максимизировать текущую прибыль ХТС. Прибыль является явной функцией следующих переменных: стоимости продукта, стоимости перерабатываемой нефти и стоимости перера­

Ограничения на зависимые переменные ХТС имеют следующий вид: выход

ками (ТКЗ) sg 691 ~ С; мольная доля 0 2 в газе нижней зоны регенератора (Х 0 2) ^ ^ 0,05; массовая доля остаточного кокса или катализатора (ХКК) ^ 0,01;

Температура катализатора в сепараторе........................Х12; Z22

Декомпозиция ХТС каталитического крекинг-процесса на две подсистемы (реактор и печь регенератора) осуществлена посредством разрыва потоков между

Рис. ѴІ-13. Декомпозиция задачи оптимизации ХТС каталитического крекинга.

реактором и печью, печью и нижним бункером катализаторного пневмоподъем­ ника (рис. ѴІ-13). Фактически этой декомпозицией достигнуто немного: исходная полная задача имеет восемь, а подзадачи I и II — пять и семь оптимизирующих переменных соответственно (рис. ѴІ-13). Таким образом, размерность задачи уменьшается незначительно.

Большое преимущество декомпозиции обычно заключается в том, что избе­ гают расчета рецикла. Однако в данном случае это преимущество не было ис­ пользовано, так как примененная для исследования описываемой ХТС регрес­ сионная модель уже включала расчет рецикла.

Две подзадачи оптимизации, связанные с двумя подсистемами, будут:

322

Решение этих подзадач составляет первую ступень двухуровневого алго­ ритма, являющегося результатом декомпозиции. Вторая ступень предназначена для согласования решений подзадач с целью решения полной задачи оптимиза­ ции ХТС.

Задача согласования заключается в минимизации двойственной функции, которая дана выражением

Y =/? + /; + Pi ( Z U ~ *Й) + Рг (ZUXU) +

+ Рз (zb-xU)+P4 (ZU-XU)

Верхние индексы «звездочка» у переменных указывают оптимальные зна­ чения, полученные в подзадачах. Задачей согласования*является изменение Pj, Р 2, Р3 и Р4 для минимизации у. Градиенты двойственной функции определяются следующим образом:

ду

дР1 — zu - X;

21*

Г Л А В А VII

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассмотренные ранее принципы математического моделирования и алгоритмы оптимизации стратегии исследования ХТС являются теоретической базой для разработки специальных программ мате­ матического моделирования их с помощью ЦВМ.

1. ПРИН СПЕЦИАЛЬНЫХ ПРОГРАММ МОДЕЛИРОВАНИЯ ХТС

Возможная блок-схема организации решения задачи математи­ ческого моделирования ХТС представлена на рис. ѴІІ-1.

Первый этап решения задачи состоит в изучении целей и условий функционирования системы, формулировании задачи исследования и выборе метода ее решения.

Этап организации работы научных и инженерно-технических кадров включает разработку принципов организации деятельности научно-исследовательских групп; установление формы отчетности о результатах испытаний; составление подробных сетевых графов, регламентирующих сроки выполнения заданий.

Этап сбора и обработки информации предусматривает сбор дан­ ных о промышленной эксплуатации ХТС; изучение научно-техниче­ ской литературы; сбор данных о физических свойствах сырья, про­ межуточных и готовых продуктов, получаемых в результате функци­ онирования ХТС.

Возможная организация работы научно-исследовательского кол­ лектива, занимающегося решением задачи математического модели­ рования ХТС, приведена на рис. ѴІІ-2.

В обобщенную специальную программу моделирования ХТС входят: подпрограмма ввода исходной информации; подпрограмма математических моделей элементов системы; основная исполнитель­ ная подпрограмма; подпрограмма массива информации о физико-хи­ мических константах и физических свойствах компонентов и смесей; подпрограмма оптимизации и прогнозирования возможных техноло­ гических режимов; подпрограмма обеспечения сходимости вычисли­ тельных операций; подпрограмма вывода результатов.

324

Подпрограмма ввода исходной информации содержит: информацию о технологической и информационной топологии системы в виде технологической схемы, а также в виде параметрического потокового графа или информационно-потокового мультиграфа; информацию о производительности системы, составе и физических свойствах сырья, промежуточных и готовых продуктов; информацию о техно­ логических и конструкционных параметрах элементов и параметрах технологических режимов системы; информацию о требуемой точ­ ности результатов моделирования.

Исходную информацию вводят в ЦВМ либо с помощью специаль­ ных карт, либо посредством свободного формата. Оба метода имеют достоинства и недостатки.

Применение специальных карт означает, что инженер должен только написать исходные цифры; кроме этого, число документов, вводимых в машину, невелико. При заполнении карт инженер должен знать соответствующий программный язык.

В случае использования свободного формата инженеру необхо­ димо помнить лишь несколько простых правил, чтобы уметь подго­ товить и записать исходные данные, которым присваивают любые условные наименования. Ввод данных с помощью свободного форма­ та более гибок, однако он требует от инженера написания не только цифр, но и слов, что может привести к большим затратам вре­ мени.

Для описания информации о технологической и информационной топологии ХТС в некоторых программах применяют параметрический потоковый граф с систематической нумерацией всех ветвей и вершин, в соответствии с которой рассчитываются математические модели элементов ХТС. Данная система довольно негибка при необходимо­ сти изучить влияние на функционирование ХТС изменения струк­ туры технологических связей между элементами. Более совершенен такой метод описания технологической топологии, когда в парамет­ рическом потоковом графе системы отдельно нумеруют входные и выходные потоки каждого элемента, а технологические связи за­ дают посредством специальной топологической матрицы ХТС.

В топологической матрице каждой г-ой вершине параметриче­ ского потокового графа соответствует г'-ая строка, элементы которой имеют следующие значения: іі — номер вершины графа; і2 — наи­ менование отвечающего этой вершине графа типа элемента; /3+ -f- і/г — номера ветвей графа, соответствующих входным технологи­ ческим потокам данного элемента, со знаком плюс; г (п -f- 1) -f- іт— номера ветвей графа, отвечающих выходным технологическим пото­ кам данного элемента, со знаком минус.

Наиболее удобный и перспективный метод представления техно­ логической и информационной топологии ХТС состоит в примене­ нии информационно-потоковых мультиграфов. Информацию о топо­ логических характеристиках параметрического потокового графа или информационно-потокового мультиграфа представляют с по­ мощью матрицы ветвей графа [LL

326

Информацию о параметрах технологических потоков сырья и про­ дуктов XTG представляют в виде таблицы параметров технологиче­ ских потоков. Информацию о технологических и конструкционных параметрах каждого элемента ХТС представляют в форме таблицы параметров определенного типа элементов.

Подпрограмма математических моделей элементов ХТС строится по модульному принципу, сущность которого заключается в следу­ ющем. Математическую модель каждого элемента получают в виде совокупности математических моделей типовых технологических

Некоторые модули, используемые при моделировании ХТС, не соответствуют реально существующим элементам системы. К такого типа модулям относятся, например, модуль-калькулятор стоимости; модуль расчета материальных и тепловых балансов системы; модуль эквивалентного преобразования единиц измерения физико-химиче­ ских величин и др.

Как правило, один элемент ХТС может быть описан совокупно­ стью нескольких модулей. Так, многослойный контактный реактор при моделировании ХТС производства серной кислоты представляет­ ся математической моделью в виде совокупности нескольких модулей химического превращения, нагрева и смешения — разделения.

Некоторые элементы могут не рассматриваться при моделирова­ нии системы (например, буферные емкости, которые не изменяют параметров технологических потоков системы в установившемся тех­ нологическом режиме). Однако такие элементы должны быть учтены при моделировании, когда определяются капитальные затраты.

Какие именно модули выбираются для моделирования отдельных элементов, зависит от поставленных целей исследования системы, глубины понимания физико-химических основ технологических про­ цессов и точности исходных данных. Основой для разработки под­ программы математических моделей элементов ХТС по модульному принципу является библиотека стандартных программ математиче­ ских моделей типовых технологических операторов и операторная схема системы.

Общая стратегия разработки модулей включает следующие этапы: а) точность результатов моделирования ХТС в целом; б) точность индивидуальных модулей для каждого элемента; в) уровень стандар­

о точности модулей зависит от того, изучается отдельный элемент или система в целом. Например, можно получить точные результаты моделирования ХТС для стоимостных и экономических оценок при

327