книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

я'х1’ как функций WW и заданных внешних входов yJ( \ а затем под­ становка этих значений в уравнение (VI,22) и поиск максимума результирующей функции переменной PF<n>. Число таких перемен­ ных определяется соотношением

Поэтому при поиске максимума следует учитывать одновремен­ ные изменения ѵ4 переменных. Это весьма затруднительно, если ѵ4 достаточно велико. Используемое в данном случае приближение является классическим методом поиска стационарного значения Р по отношению к бесконечно малым независимым изменениям соста­ вляющих векторов И7!”), если допустить, что максимальное значение

Рможет быть принято равным указанному стационарному значению.

Всвязи с этим приближением возникают две трудности. Во-пер­ вых, Р может принимать наибольшее значение скорее на границе допустимой области, чем в стационарной точке, если изменения

параметров ограничены. Во-вторых, Р может иметь несколько стационарных точек различных типов, причем только одна из них соответствует наибольшему значению Р. Первая трудность скорее практическая, поскольку в принципе ограничения можно всегда «сгладить», так что максимальное значение Р будет действительно находиться в стационарной точке. Вторая трудность принципиальная и может быть преодолена только при исследовании значений Р в каж­ дой стационарной точке, когда их несколько, и при нахождении

дифференцированием (?<”) по отношению JV<n>. Аналогично дифферен­

3 0 8

Индексы р, q и г относятся к отдельным составляющим векторов F f \ y f ' и W(nl Каждый элемент обеих матриц, как уже отмеча­ лось, является функцией переменных yW и И^п>.

Уравнения (VI,25), (VI,26) и (VI,27) представляют собой си­ стему совместных линейных уравнений (v4 -f- v2 + ѵ3) переменных dxW, dyjm> и могут быть решены относительно любой из этих пере­ менных. В частности можно написать:

пI

Здесь Ь У т — матрица порядка (Z?<11) X /Дп>), которая является рациональной функцией матриц MW, а ее вид определяется техноло­

riP= 2 | 2 cLii <rXV<n>—

Необходимые и достаточные условия стационарности значения целевой функции Р будут:

Дальнейшим шагом для нахождения этого стационарного значе­

и L ^ l ш в виде функций параметров ІѴ<П>. Далее решают уравнения

аналогию прямого приближения к максимуму и также включает совместные изменения ѵ4 переменных, в данном случае для удовлет­ ворения условий уравнений (VI,31).

При рассмотрении задачи последовательной оптимизации метод динамического программирования позволяет разбить ее на несколько отдельных задач с меньшим числом переменных, что весьма облегчает вычисления в процессе решения. В частности, если ХТС имеет только последовательные технологические связи, задача совместной макси­

мизации 2ІѴ<П>параметров может быть сведена к максимизации W(u

П

параметров, связанных с первой установкой, к максимизации Ww параметров, связанных со второй установкой, и т. д. Это упрощение требует дополнительных затрат, поскольку выделенные отдельные задачи можно решить только включением их в большую группу задач, решаемых одновременно.

3 0 9

В уравнениях (VI,31) матрицы LQ т являются функциями пере­

Предположим, что произвольно заданы значения составляющих всех векторов cL$ т и г/)п), т. е. внутренних переменных ХТС, за исключением тех у, значения которых определяют из уравнения (VI, 19). Общее число переменных, имеющих произвольные значения, равно

нения будут решены, определяемые таким путем значения векторов

векторов Jjjy, которые могут сравниваться с первоначально приня­ тыми значениями. В конечном счете осуществляется последовательное приближение, в котором первоначально принятые значения меняются до тех пор, пока не будут соответствовать окончательно рассчитан­ ным значениям. Процесс итерации и составляет затраты, необходи­ мые при декомпозиции задачи на ряд отдельных задач с меньшим чис­ лом переменных.

Итак, алгоритм нахождения стационарного значения целевой функции Р заключается в следующем. Произвольно принимаются значения составляющих всех векторов cLl$ (п) и р)п>, связанных с системой, за исключением тех y(J }, значения которых определяются из уравнения (VI,28). Применяя принятые значения, получают, что первая часть га-го уравнения (VI,32) зависит только от вектора JF<n> для того же значения п, так что уравнения (VI,32) распадаются на Way уравнений для составляющих вектора Way и т. д. Находимые таким образом значения векторов можно использовать в уравнениях (VI,22), (VI,23) и (VI,24) для решения их относительно всех перемен­ ных и г/'/'0. Последние, в свою очередь, задают матрицы Mty, L\у <п) и векторы yljm , которые могут сравниваться с первоначально принятыми значениями. В конце концов приходят к последователь­ ному приближению, в котором первоначально принятые значения изменяются до тех пор, пока не совпадут с окончательно вычислен­ ными.

3 1 0

Основное преимущество рассмотренного метода по сравнению с методом динамического программирования состоит в том, что при вычислительном процессе не требуется «запоминания» в ЦВМ про­ межуточных результатов счета на каждом шаге итерационного про­ цесса. Однако динамическое программирование неизбежно обеспечи­ вает определение глобального экстремума, в то время как описанный метод позволяет находить лишь стационарное значение функции це­ ли. Если же эта функция имеет не один экстремум, решение с по­ мощью данного метода значительно усложняется, поскольку при­ ходится исследовать всю область, где определен критерий оптимиза­ ции, для нахождения глобального экстремального значения. К тому же вид уравнений (VI,32)

определяет безусловный экстремум функции цели, что не характерно для ре­ альных ХТС, в которых всегда существуют ограниче­ ния технологического ха­ рактера.

Покажем применение рас­ смотренного метода к реше­ нию задачи оптимизации про­ стой контурной ХТС (рис. ѴІ-7). Как отмечалось ра­

нее (см. стр. 307), установки 2 и 6 данной ХТС сами могут состоять, из простой цепи подустаиовок, однако сначала решим задачу, пола­ гая их одиночными установками. Тогда справедливы следующиевыражения:

Теперь можно выписать уравнения для векторов ИЯ") в их типичной форме (VI,31):

(1)cT<i><i)Vii) + cL < i)(ir ya) _ g(i) = 0

(2)СІф1’ <2)у<2>_£(2>= 0

(4)cL[u(iKX(U —g(*> = 0

(5)cL'D —g<e>=0

ЗШ

Матрицы Llt f m задаются в форме ikf-матриц путем сравнения уравнения (VI,36) с другой его формой (VI,30):

dx\1)= 2 j 2 L i7 (nW!n>dW'n>

п І

Далее невозможно последовательно решать уравнения (VI,38)

Сначала необходимо выбрать значения составляющих вектора ш (cL^lш уже известен) и выходного вектора Затем можно выразить х(2) через х)1’ и Wa>, используя уравнения для установки 1, и, следовательно, выразить левую часть уравнения (ѴІ,38)(1) в виде функции Wa \ После этого можно решить уравнения и определить х(2>. Не нужно выбирать значения составляющих вектора cL[U{2\ так как он находится как линейная комбинация cLQ (1) и с£(112) (1)-:

сДі) <2)= cL'i) + СІ& Ч'Л/'і) ; (VI ,30)

поскольку М (2) находится при решении уравнения для установки 2. Однако, чтобы решить уравнение (ѴІ,38)(3) относительно W VJ),

брать значения составляющих одного из двух векторов хш или х(6). Зададимся значением хш , тогда уравнение для установки 3 может

бранные) величины. Оно может быть поэтому решено относительно W(3), что определяет хш.

Теперь мы подошли к уравнению (ѴІ,38)(5), которое можно ре­ шить без задания значений каких-либо других величии, поскольку c L ^ (в> находится из cL[^ <3) в соответствии с

а матрица М^І известна из решения уравнения для установки 3. Левая часть уравнения (VI,38) может быть поэтому выражена как функция Ww \ следовательно, уравнение можно решить относи­ тельно х2и . Однако можно также рассчитать х2П по уже определен­ ным значениям xw и Wn\ причем, как правило, значения векто­ ров, вычисленных этими двумя различными способами, не совпа­ дают.

'312

Наконец, приступим к решению уравнения (ѴІ,38)(4). Нет необходимости выбирать значение с£(11И4), поскольку оно находится

через эти матрицы, можно вычислить составляющие данного вектора. В общем случае-найденное таким образом значение не совпадает с первоначально выбранным, которое использовалось для получения решения. Поэтому нужно произвольно выбрать значения трех век­ торов, а именно: х(1), х<4) и cIS^ (s), и, следовательно, прийти к реше­ нию с указанными тремя несовпадающими значениями. Выбранные значения должны затем меняться до тех пор, пока это неравенство не будет ликвидировано.

Если каждая из установок 2 и 6 представляет собой сложную ус­ тановку, состоящую из большого числа последовательно соединенных

на ряд матриц для каждой отдельной подустановки, которые могут быть последовательно вычислены.

4. МНОГОУРОВНЕВЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ХТС

Метод многоуровневой оптимизации позволяет провести декомпо­ зицию большой задачи оптимизации на последовательность более мелких задач оптимизации. В основном метод осуществляется на двух уровнях. На первом уровне подсистемы (элементы) ХТС опти­ мизируют независимо друг от друга. Второй уровень служит для согласования первых уровней оптимизации с целью достижения об­ щего оптимума системы. Если оптимизация подсистемы ХТС сама выполняется посредством двухуровневого алгоритма, полный алго­ ритм оптимизации имеет многоуровневую иерархическую дерево­ видную структуру.

Одно из важных достоинств метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно значительно уменьшить время решения и (или) требуемый объем памяти оперативного запо­ минающего устройства ЭВМ. Время решения может быть значительно сокращено благодаря одновременной оптимизации подсистемы (эле­ ментов) ХТС на цифровой вычислительной машине или на несколь­ ких машинах, которые выполняют параллельные операции. Требуе­ мый объем машинной памяти может быть уменьшен, так как задачи оптимизации подсистем (элементов) ХТС имеют меньшие размеры, чем первоначальная задача.

313

Многоуровневый алгоритм осуществляет последовательность ите­ раций по информационным переменным, которые не удовлетворяют ограничениям взаимных связей ХТС до тех пор, пока не достигнут глобальный оптимум.

Сущность метода многоуровневой оптимизации поясним на при­ мере оптимизации ХТС, состоящей из двух элементов, которые охва­ чены рециклом (рис. ѴІ-8, а). Предполагают, что выходы элементов У1 , У2) zi и z 2 являются непрерывными функциями входов М х и М г.

а б

Рис. ѴІ-8. Пояснение сущности метода многоуровневой оптимиза­ ции (о) и декомпозиция задачи полной оптимизации (б) простой контурной ХТС.

Задача оптимизации заключается в определении М г и М 2, так чтобы максимизировать функцию прибыли обеих подсистем, т. е. максимизировать

где fi, /2 — прибыли, связанные с эксплуатацией обеих подсистем; S — мно­ жество возможных входов.

Приведенная задача оптимизации далее называется о с н о в н о й или з а д а ч е й п о л н о й о п т и м и з а ц и и . Принимают, что

максимум существует и находится в точках М, X, где М иХ удовлет­ воряют условиям (VI,43), т. е. максимум

{fi (Ми хі)+fz (М2, **)} = /і(АГі, ч )+h (Мъ,ч)

Декомпозицию задачи полной оптимизации на две более мелкие задачи осуществляют путем разрыва потоков, соединяющих две под­ системы, как показано на рис. ѴІ-8, б. Каждому из разрываемых потоков приписывают некоторые цены Р г и Р 2 (цены некоторых входного и выходного продуктов подсистемы). Первую подсистему поэтому оптимизируют посредством выбора М х и х ѵ Формально имеем:

314

П о д з а д а ч а 1. Максимизировать

{fi (Мъ хі) + РіЧ {Мх, *і) — iV l}

Mi, хх£ .S’l

П о д з а д а ч а II. Максимизировать

{/2 (ЛГ2, *г) + Т2г2 {M2, <л 2)—P xx2]

M%, %2(z $2

где S = S i U S 2.

Ограниченные множества S x и S 2 заключают оптимизирующие переменные в реальные физические пределы и тем самым гаранти­ руют, что максимумы подзадач существуют для любого множества цен Р.

Решение подзадач I и II дает решение основной задачи, если цены Р ± и Р 2 выбраны правильно. Выбор правильных цен является зада­ чей второго уровня алгоритма. Этот уровень выбирает цены так, чтобы свести разности (хг — z2) и (х 2 — zx) к нулю; тем самым удо­ влетворяется условие равенства одноименных технологических по­ токов ХТС.

Действительный алгоритм для подбора цен разрабатывают ис­ ходя из выражения функции Лагранжа для первоначальной задачи оптимизации:

L (М, X, Р) = fi (Mi, xi) + / 2 (AT* х2)-\-Рі [zi {Mi, хі)ш^х2]-\-

Р2 [ н { М 2, x2)—x i]= {/i + PiZi— P2xi] + {/2 + T2z2—Pix2) (VI,44)

где L — функция Лагранжа основной задачи; Рх и Р 2 множители Лагранжа (или цены).

Функцию Лагранжа обычно используют для того, чтобы устано­ вить условия стационарности, которые справедливы в оптимуме основной задачи. В следующем разделе, однако, показано, что при относительно умеренных ограничениях необходимым и достаточным условием для основной задачи, которая должна быть оптимизиро­ вана, является максимизация функции Лагранжа посредством под­ бора М ъ х х и М 2, х 2.

Задача оптимизации функции Лагранжа разлагается непосредст­ венно на подзадачи I и II, поскольку первый член в скобках уравне­

Так как максимум функции Лагранжа является функцией только множителя Р и эта функция играет главную роль в дальнейшем, ей дано специальное название — д в о й с т в е н н а я ф у н к - ц и я, которую обозначают через у (Р).

315

Нише выводятся следующие свойства двойственной функции:

женных в следующем разделе (стр. 318)- В нем говорится, что основ­ ной оптимум может быть достигнут посредством подбора цен Р так, чтобы максимизировать прибыль, достигаемую при оптимизации подзадач. Уравнение (VI,47) констатирует далее, что градиенты двойственной функции представляют собой просто разность между количеством товара, потребляемого одной подсистемой (например, х\ для первой подсистемы), и количеством товара (например, z*), которое другая подсистема решает поставить по существующей цене. Таким образом, градиенты двойственной функции имеются при условии выполнения небольших дополнительных вычислений, и задача подбора цены является просто задачей выпуклого програм­ мирования без ограничений. Оценку оптимальных цен можно по­ лучить, решая относительно Р г и Р 2 следующие линейные уравне­ ния:

в которых все члены оценивают в возможных рабочих точках.

Теоретические основы метода многоуровневой оптимизации ХТС

Метод многоуровневой оптимизации может быть гарантированно сведен к глобальному решению полной задачи оптимизации, если удовлетворяются определенные математические условия. Применен­ ные математические доводы основаны на простых понятиях теории множеств и топологии.

В методе многоуровневой оптимизации используется свойство функции Лагранжа для многих реальных систем распадаться на ряд независимых «подзадач». Теоретически, однако, разложение данной функции не представляет значительных трудностей. Действительно важным является то, что максимум функции Лагранжа существует и что он идентичен максимуму исходной задачи. Поэтому рассмотрим

316

следующую основную задачу, не принимая во внимание (что проще

вобозначениях), можно или нельзя разбить ее на подзадачи.

Ос н о в н а я з а д а ч а . Максимизировать / (х) при условии

где X — /i-мерный вектор; / (х) — скалярная функция цели; G (х) — тга-компо- нентная векторная функция х (т <; тг); S — любое компактное подмножество евклидова тг-мерного пространства.

причем к" означает транспонированный вектор.

Задача Лагранжа формулируется следующим образом: максими­ зировать L (X, к) при фиксированном к (х £ S ).

При соответствующем выборе множества S лагранжева задача имеет конечное решение для всех к в евклидовом тг-мерном прост­ ранстве. Поэтому с данного момента полагаем, что S было выбрано определенным образом. Знание х, которое максимизирует L (х , А,) для любого данного к, обозначим через х* (к) или, если это не при­

Для дальнейшего изложения необходимо ввести дополнительное понятие «опорная плоскость для множества». Гиперплоскость ff, данная уравнением к'х = а, является опорной гиперплоскостью для множества R, если оно полностью содержится в одной из половин пространства, образованного Н, и граница R имеет по крайней мере одну общую точку с //.

317