книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

им целевые функции, но каждая выполняет это при неточной или неполной информации об оптимизирующей управляемой переменной, контролируемой другой, то информационная потеря эффективности составит:

тельно, от технологической топологии. Это подтверждает известный факт, что некоторые системы чувствительны к помехам в передаче информации более, чем другие, именно из-за различий в технологиче­ ской топологии.

Наконец, третий фактор, вызывающий потерю глобальной эф­ фективности, — это неточность оптимизации или управления, об­ условленная неточностью или невозможностью оптимизации или вы­ бора решения. Эта величина определяется выражением

в котором через max* и min* обозначаются результаты неточной оптимизации.

Из изложенного следует, что все три фактора взаимосвязаны, но первичным фактором все же является технологическая топология.

Поэтому в теории оптимизации сложных ХТС важное значение имеет разработка методов проектирования оптимальной технологиче­ ской топологии по заданным целевым и соответствующим им весовым функциям, или функциям полезности.

Если технологическая топология системы так или иначе выбрана, возникает проблема централизованного управления или оптимиза­ ции при заданной структуре технологических связей между элемен­ тами. Один из возможных подходов к ее решению заключается в сле­ дующем. Пусть глобальная целевая функция ХТС является функ­

где через Xj обозначена совокупность переменных состояний, отно­ сящихся к /-ой подсистеме.

298

ее достигнуть, нужно найти локальные целевые функции для под­ систем, удовлетворяющие таким условиям:

Gi — extr [Ei (»г)]

(**, vi) £Rt£R

Возможны два метода отыскания этих функций. Один метод заключается в изменении параметров и (или ) переменных, входящих в каждую локальную целевую функцию. Другой метод состоит в модификации области Rt Cl R, представляющей собой доступную для каждой подсистемы область в пространстве управляющих пере­

менных у.

Другими словами, каждый из указанных методов направлен на то, чтобы косвенно обеспечить результаты глобальных решений при помощи подчиненной им оптимизации локальных целевых функций подсистемы.

Этапы оптимизации химико-технологических систем

В задаче оптимизации ХТС на стадии проектирования можно выделить следующие основные этапы:

1.Общий анализ задачи оптимизации.

2.Определение критерия оптимизации.

3.Выбор оптимизирующих или управляемых переменных и ана­ лиз их влияния на критерий оптимизации.

4.Составление математической модели ХТС.

5.Выбор оптимальной стратегии исследования ХТС.

6.Выбор метода оптимизации и оптимальный расчет. Приведенная последовательность этапов в какой-то мере условна.

Возможна параллельная работа по нескольким этапам, возвращение к уже пройденным с целью их корректировки и т. д.

Этап 1 предполагает предварительный общий анализ задачи оптимизации: анализ возможных вариантов технологической топо­ логии ХТС, выяснение типа задачи оптимизации (статическая или квазистатическая) и т. п. В случае, если ставится задача опти­ мального выбора технологической схемы ХТС, последующие этапы должны рассматриваться применительно к каждому из альтернатив­ ных вариантов схемы.

Этап 2 чрезвычайно важен, так как выбором глобального крите­ рия оптимизации определяется основная цель функционирования ХТС. При определении критерия оптимизации нужно учитывать связи данной системы с другими ХТС, выступающими по отношению к данной системе в роли поставщиков или потребителей, а также во многих случаях с ХТС, выпускающими аналогичную продукцию. Существенными вопросами, возникающими на этом этапе, являются вопросы возможности введения локальных критериев оптимизации

299

для отдельных элементов и подсистем, их связи с глобальным кри­ терием оптимизации и зависящие от них вопросы подоптимизации.

Этап 3 требует тщательного анализа и выявления возможного качественного влияния оптимизирующих или управляемых пере­ менных на критерий оптимизации. Здесь важно, с одной стороны, учесть все существенные для оптимизации переменные, а с другой стороны, исклю чить из рассмотрения несущественные переменные, мало влияющие на критерий оптимизации, так как сложность реше­ ния задачи в значительной степени определяется числом перемен­ ных, по которым производится оптимизация. Без выполнения послед­ него условия задача во многих случаях оказалась бы столь громозд­ кой, что вряд ли могла быть решена с помощью современных ЦВМ.

При выборе оптимизирующих проектных переменных необходимо учитывать, что во всех реальных вариантах на перемепные рас­ сматриваемой ХТС накладываются различные ограничения. Пра­ вильный учет всех требуемых ограничений на переменные ХТС обя­ зателен, поскольку, как показывает опыт решения задач оптимиза­ ции, по некоторым переменным оптимум часто находится на ограни­ чении. Кроме того, при помощи проведенного анализа важно по­ стараться исключить все ограничения, которые заведомо не будут достигаться в оптимальном режиме.

Этап 4 предназачен для установления в математической форме связи критерия оптимизации с управляемыми переменными, а также математической трактовки всех имеющихся ограничений. Ипыми словами, цель этого этапа — получение математической формули­ ровки задачи оптимизации.

Этап 5 для сложной ХТС весьма важен, так как при оптимизации полный расчет или анализ функционирования ХТС (определение значения глобального критерия и значений функций, отвечающих ограничениям) приходится производить многократно. Отсюда ясно, какое значение приобретают проблемы, связанные с разработкой оптимальной стратегии исследования ХТС, подробно рассмотренные

в главе V.

Этап 6 представляет собой математическую задачу нахождения экстремума глобального критерия Q в области изменений управляе­ мых переменных, определяемой ограничениями системы. Сложность этого этапа обусловливается сложностью математических моделей отдельных элементов системы, сложностью ее технологической топо­ логии и числом управляемых переменных.

Задача оптимального управления действующей ХТС по сравне­ нию с задачей оптимального проектирования обладает рядом осо­ бенностей. При протекании в системе химико-технологических про­ цессов, как правило, имеются изменяющиеся во времени неуправля­ емые переменные, которые можно учесть в математической модели только с помощью ее коэффициентов, находимых по результатам работы данной ХТС. Поэтому при оптимизации ХТС на стадии экс­ плуатации существенную роль приобретают вопросы п о д с т р о й - к и математической модели ХТС.

3 0 0

Подстройка должна производиться всякий раз, когда изменяются значения неуправляемых переменных, если изменения происходят достаточно медленно (незначительные возмущения). Для высоко­ частотных возмущений вообще нет возможности подстраивать модель ХТС под каждое их мгновенное значение. В таком случае модель подстраивается под среднее значение этих возмущений, а сами воз­ мущения носят характер шума, сильно затрудняющего задачу со­ ставления математической модели ХТС.

В задаче оптимального управления наряду с моделями, основан­ ными на физико-химических закономерностях, большое распростра­ нение получили эмпирические модели, а также модели смешанного типа.

2. ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ХТС

Разработка оптимальной ХТС, удовлетворяющей требуемому качеству функционирования, сводится к решению задачи оптимиза­ ции некоторой глобальной целевой функции

при выполнении ограничений двух типов, которые налагаются на информационные переменные системы:

а) ограничений типа равенств в виде функциональных соотно­ шений, образующих полную математическую модель системы

б) ограничений типа неравенств, соответствующих требованиямс технического задания на проектирование ХТС или технологических условий ее функционирования

При оптимизации ХТС возникают две основные проблемы: про­ блема корректности постановки собственно задачи оптимизации и проблема выбора оптимальной организации вычислительных про­ цедур, обусловленных решением задачи оптимизации системы.

Проблема корректности постановки собственно задачи оптимиза­ ции ХТС, рассмотренная ранее (см. стр. 65), связана с формулиро­ ванием целевой функции, которая характеризует качество функцио­ нирования системы, а также с правильным составлением ее полной математической модели и удачным выбором регламентированных и оптимизирующих информационных переменных на основе глубокого

301

понимания физико-химической сущности процессов функциониро­ вания ХТС.

Разработка оптимальной организации вычислительных процедур при решении задач оптимизации основана на использовании тополо­ гических моделей ХТС в виде информационно-потоковых мультигра­ фов, параметрических информационных и сигнальных графов, т. е. на применении оптимальных алгоритмов стратегии исследования ХТС (см. гл. V).

Оптимальная организация вычислительных процедур при опти­ мизации ХТС предусматривает декомпозицию многомерной сложной задачи на ряд более простых подзадач гораздо меньшей размерности и выбор соответствующих методов расчета систем уравнений мате­ матических моделей ХТС и вычислительных методов определения экстремальных значений целевых функций.

Необходимо, чтобы указанные методы обеспечивали быстродей­ ствующие решения задач оптимизации, т. е. минимальные затраты машинного времени, обладали высокой степенью формализации и характеризовались быстротой сходимости итерационных процессов при вычислительных операциях.

Пример VI-1. Рассмотрим разработку оптимальной организации вычисли­ тельных процедур при решении задачи оптимизации трехступенчатой подсистемы охлаждения некоторой ХТС (рис. ѴІ-2). Каждая ступень включает теплообмен­ ник, в который входит поток горячего теплоносителя; внутри теплообменника кипит хладоагент, удельная теплоемкость которого ср = 1ккал/(кг-°С). Тем­ пература кипения хладоагента известна для каждой ступени, и, следовательно, скорость теплопередачи определяется только поверхностью теплообмена и вход­ ной температурой горячей жидкости при заданном расходе потока. Нужно найти оптимальные поверхности трех теплообменников для охлаждения F = = 4535,9 кг/ч горячей жидкости от + 10 до —56,7 °С в условиях, представленных в табл. ѴІ-1.

Рис. ѴІ-2. Структурная схема трехступенчатой подсистемы охла­ ждения некоторой ХТС. *

Математическая модель процесса передачи тепла в г-ой ступени имеет следующий вид (см. пример П-9):

где Qi — количество тепла, передаваемого хладоагенту на г-ой ступени, ккал/ч; Аі — поверхность теплообменника г-ой ступени, мг; г,- — температура горячего теплоносителя.

3 0 2

Т А Б Л И Ц А V I-1

П(указатели работы подсистемы охлаждения некоторой X ТС

Экономический критерий задачи оптимизации состоит в минимизации общей стоимости охлаждения, которая для г'-ой ступени будет

сі = <ч {А і )Ч* + Ъі Ѵ?і

Первый член выражения сг- — это капитальные затраты, отнесенные к по­ верхности теплообмена, второй член — эксплуатационные затраты по перекачке хладоагента. Численные значения коэффициентов а п Ъданы в табл. ѴІ-1.

Матрица смежности неориентированного двудольного информационного графа системы уравнений математической модели первой и второй ступеней имеет следующий вид:

от результатов расчета предыдущей ступени. Таким образом, первая и вторая ступени имеют степень свободы F0 = И — 4 — 5 — 1 = 1.

Для разработки оптимальной организации вычислительных операций при решении задачи экономической оптимизации применим алгоритм выбора свободных переменных АСП-І (см. стр. 259). Отметим, что имеется несколько путей выбора оптимизирующих свободных переменных с помощью этого алго­ ритма (табл. ѴІ-2). Рассмотрим три возможных варианта выбора указанных переменных.

Вариант А: свободная переменная — массовый расход хладоагента И7,-. Эту величину нельзя предугадать без решения системы уравнений.

Вариант Б: свободная переменная — температура на выходе теплообмен­

303

Т А Б Л И Ц А VI-2

Различные варианты выбора свободных переменных подсистемы охлаждения некоторой XT С

Вариант В: свободная переменная — тепло Qi, отбираемое на каждой сту­ пени. Верхнюю границу тепла можно установить только составлением полного теплового баланса:

0 < ( ? і + і ? 2 < Ftp [10 —(—56,7)1 = 0,3 • 106 ккал/ч.

Однако Qx или Q%могут быть выбраны априорно исходя из требования, что температура выходящего теплоносителя будет ниже температуры хладоагента.

Таким образом, из трех вариантов, каждый из которых приводит к ацикли­ ческому информационному графу, окончательно останавливаемся на втором, выбирая в качестве свободной переменной t[, так как в данном случае возможные отклонения определяются наиболее точно.

На рис. ѴІ-3 представлен ациклический информационный граф системы уравнений для первой и второй ступеней подсистемы охлаждения.

Для третьей системы подсистемы охлаждения температура выходного по­ тока теплоносителя регламентирована (t3 = —56,7 9С); следовательно, степень свободы для этой ступени равна нулю. Матрица смежности двудольного инфор­ мационного графа системы уравнений для третьей ступени будет:

Qa Аз Д t Wa

(i) “1 1 1 0~

(2) 0 0 1 0

(3) 1 0 0 1

(4) _1 0 0 0_

304

3. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ХТС [НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Определение оптимальных условий функционирования сложной ХТС представляет значительные вычислительные трудности из-за

сколькими входами и выходами. Если установка имеет только один вход и один выход, индексы г и / обычно опускаются. Число соста­ вляющих векторов г/)л>, х\п) и W(n> в общем случае различно; со­ ставляющие векторов обозначают как Е(? \ D\n> и W(n> соответст-

306

венио. Понятию «установка» в том смысле, в котором используется этот термин, может отвечать совокупность нескольких идентичных подустановок ХТС.

Каждый выход однозначно определяется значениями входных

Символ F f ' представляет собой систему функций Б\п) для каж­ дой составляющей поэтому общее число уравнений типа (IV,16), характеризующих* функционирование ХТС, будет:

(VI,17)

п і

Технологическая топология ХТС может быть описана перечисле­ нием переменных, с помощью которых взаимосвязаны установки:

Выражение (VI,18) относится к входам, связанным с выходами других установок, а выражение (VI,19) — к величинам, являющимся входными для ХТС в целом, причем переменные ук(1) есть заданные векторы. Общее число уравнений (VI,18) и (VI,19) можно разделить на ѵ2 уравнений в форме (VI, 18)

пі

иѵз уравнений в форме (VI,19)

Рассматриваемая задача сводится к нахождению таких значений управляемых переменных установок, которые дают максимум (или минимум) целевой функции вида

Здесь с есть вектор составляющих Z)(11>, а G<n) являются данными скалярными функциями векторов W(n\ Обычно первый член харак­ теризует доход от продажи продукта, тогда как остальные члены — капитальные и эксплуатационные затраты, связанные с выбранными значениями управляемых переменных.

Наиболее точным приближением к данной задаче является ре­ шение системы уравнений (VI,16), (VI,18) и (VI,19) относительно