книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Рис. Ѵ-47. Блок-схема оптимального алгоритма анализа функционирования замкнутых подсистем при одинаковой параметричности всех технологических потоков ХТС.

Ре

Рис. Ѵ-48. Параметрический потоковый граф ХТС с разно­ параметрическими потоками.

Удаляемый таким путем поток называют и з б ы т о ч н ы м . Пусть в матрице контуров параметрического потокового графа столбец к или набор столбцов 1, . . ., т геометрически содержит

Во время работы на ЦВМ по указанному алгоритму двоичные элементы матрицы контуров не изменяются и не переписываются, что, например, казалось бы нужно сделать для потока, который оказался избыточным. Вместо этого контроль осуществляется по­ средством записи соответствующей информации в р я д ы с т а т у ­ с ов , связанные с каждой строкой и столбцом.

Потоки (дуги) могут находиться в одном из четырех состояний, которые отображаются с т а т у с о м п о т о к о в ; контуры, име­ ющие только два состояния, — с т а т у с о м к о н т у р о в :

Снова возвращаясь к рис. Ѵ-48 и к матрице [К0], можно отметить,

ранг контура строки 1 будет равен единице. Последнее означает, что Кі также имеет ранг контура, равный единице. Это, в свою очередь, указывает на то, что К і может быть разорван только в том случае, если в качестве итерационного выбрать поток, содержащий оставший­ ся ненулевой элемент (р 2). Если поток р 2 нужно принять за итера­ ционный, любой контур, который проходит по р 2, окажется разо­ рванным, а его статус должен быть установлен нулевым. Когда все

рим специальную операцию для того случая, когда в процессе ана­ лиза сталкиваются с предпочтительными потоками. Их предвари­ тельно отмечает инженер-технолог, так как первоначальные прибли­ женные значения параметров этих потоков наиболее известны из физико-химической сущности технологических процессов. Предпоч­ тительные потоки обычно относятся к одному из трех указанных ниже

классов.

В качестве предпочтительного можно назначить такой поток, кото­ рый в любом случае стал бы итерационным. Естественно, что при

этом не требуется проведения никакой специальной операции (соот­ ветствует варианту, когда на рис. Ѵ-48 предпочтительнее поток р г).

Во-вторых, предпочтительным может быть поток, который пред­ ставляет собой минор другого предпочтительного потока. На рис. Ѵ-48.

Рис. Ѵ-49. Блок-схема оптимального алгоритма анализа функцио­ нирования замкнутых подсистем при различной параметричности технологических потоков ХТС.

это могло произойти, если бы предпочтительными оказались потоки р 2 и р"3. Тогда просто исключается минор, но в отличие от случая исключения простого потока фиксируется информация о вычерки­ вании.

290

Третий вариант возникает, когда обнаруживается, что текущий поток строго содержит предпочтительный поток. Решение относи­ тельно того, что следует делать в данном случае, произвольно. Простейшее действие заключалось бы в пренебрежении статусом предпочтения и удалении предпочтительного потока обычным спосо­ бом. Однако вместо этого пытаются отыскать другой поток или по­ токи, которые совместно с предпочтительным потоком геометрически содержат первоначальный текущий поток, а значит, могут заменить его. В зависимости от характера задачи, вероятно, можно отыскать такой набор, но стоимость расчетов при повышенном числе задавае­ мых переменных может оказаться весьма высокой.

Пусть, например, на рис. Ѵ-48 предпочтительным потоком явля­ ется только поток р 3. Как отмечалось выше, р3 есть минор р 2, однако

а для р 2 Яу = 3. Аналогично р"3 и р 4 геометрически содержат р 2, но сумма их параметричностей Яу = 8.

Чтобы упорядочить поиск возможного заменяющего набора, об­ условливают максимум того, насколько может быть превышено чи­ сленное значение лу первоначального потока. Предлагаемое условие можно выразить в виде неравенства

в котором с — сумма значений Яу в наборе, а ст1п — число, связанное с первоначальным текущим потоком. Произвольный параметр х представляет собой положительную постоянную, которая задается до того, как приступают к анализу.

Все наборы потоков, геометрически содержащие первоначальный поток и удовлетворяющие неравенству (Ѵ,81), выписывают с учетом сведений относительно дополнительных расходов на вычисления, обусловленные задаваемыми переменными. Если инженер все-таки выбирает первоначальный поток, все его миноры, включая предпоч­ тительный поток (потоки), выводят из системы обычным способом. Если инженер остановит свой выбор на любой из предложенных ему комбинаций, будет исключен первоначальный текущий поток.

Блок-схема оптимального алгоритма анализа функционирования замкнутых подсистем ХТС при различной параметричности техноло­ гических потоков показана на рис. Ѵ-49.

Разработка оптимальной стратегии анализа замкнутых подсистем ХТС на основе применения теории множеств и параметрических потоковых графов

Пусть

Ks= (J Li s = l , • • •, R

КІО

= 1, 2, . . R) могут быть построены с помощью следующей ре­ курсивной процедуры. Строим множество М х, элементами которого являются дуги графа, входящие в элементарный контур Lp.

М 1= {(?!,). • • •- (**«,)}• ®£,. • • •• <ha,

Пусть теперь

множеством.

Примечание 1. Легко видеть, что при образовании множеств М s (s = 1, . . ., R) достаточно ограничиться рассмотрением дуг графа, входящих более чем в один элементарный контур.

Проанализируем замкнутую многоконтурную подсистему ХТС, параметрический потоковый граф которой представлен на рис. Ѵ-50. Элементарные контуры, входящие в подсистему К, образованы сово­ купностью следующих дуг графа:

Li=(qa, Sio, Зп, 9іг)

■ ^2 = (S4, ?8, S9, 9l0> S il, Sl3> S14)

L 3 = ( Q S ’ S4, S5> 96, S7)

При этом более чем в один элементарный контур графа входят дуги д4 и qg — qlv Исключая в соответствии с примечанием 1 осталь­ ные дуги из рассмотрения, получим:

L p = L p , L'2 — ( q i , <7 9 , gm, дц); L'a — (g4)

2 9 2

Применение описанного алгоритма дает следующие множества;

Любое из подмножеств, входящих в множество М 3, может быть выбрано в качестве оптимально разрывающего множества.

До сих пор предполагалось, что все дуги графа имеют одинаковую параметричность. Если это условие не выполняется, дуги не рав­ ноправны с точки зрения их выбора для разрыва элементарных кон­ туров графа.

Примечание 2. Для сложной ХТС, в графе которой дуги имеют различную параметричность, также можно применить процедуру

ность т2, а все остальные дуги qjp исключить из рассмотрения. Пусть qjp (р — I) входит в множество дуг, образующих разрыв всех элементарных контуров для многоконтурной подсистемы К. Очевидно, что при замене в этом множестве дуги qpj дугой q.f с параметричностыо тх (случай тх т 2) или дугой qn (случай т х > т 2) полученное множество по-прежнему будет разрывать все элементар­ ные контуры; при этом общая параметричность всех разрываемых

дуг может только уменьшиться.

Примечание 3. Описанная процедура позволяет выделить одно оптимальное множество. Если оптимальных множеств несколько и требуется определить их все, процедура в соответствии с примеча­ нием 2 немного видоизменяется. Дуги q/p исключают из анализа, если т х <; т 2, и оставляют все дуги qtl, имеющие параметричность

Сходимость итерационных вычислений при анализе ХТС

Пусть дана замкнутая ХТС, операторная схема которой изобра­ жена на рис. Ѵ-51. Простейшую математическую модель ХТС можно представить в виде следующей системы уравнений:

А3=0,5^2

А3 =Ara

^42='4і + і4б

Аі = 1000

293

Здесь А х — масса свежего питания в системе (в кг/ч); A t — мас­ совый расход химического потока; 0,5 — степень конверсий в реак­ торе.

зать важность выбора надлежащей стратегии расчета для обеспече­ ния сходимости вычислений.

Рис. Ѵ-52. Информационные графы (а, б), соответствующие двум

возможным стратегиям решения некоторой системы уравнений мате­ матической модели ХТС.

Рассмотрим две возможные стратегии решения системы уравнений в виде информационных графов, показанные на рис. Ѵ-52. Оба гра­ фа предполагают разрыв рециклического потока (А2).

Рис. Ѵ-53 иллюстрирует результаты расчета на основе этих двух

Рис. Ѵ-53. График сходимости реше­

Г Л А В А VI

ПРИНЦИПЫ ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В настоящее время разработаны два основных пути оптимизации сложных ХТС. Первый путь не учитывает особенности их топологи­ ческих моделей и основан на применении для отыскания глобальной целевой функции ХТС как прямых методов (методов линейного и не­ линейного программирования), так и непрямых методов определе­ ния оптимальных решений с помощью необходимых условий суще­ ствования экстремума.

Второй путь оптимизации сложных ХТС использует как харак­ терные особенности их топологических моделей, так и принцип декомпозиции задачи глобальной оптимизации ХТС в целом на сово­ купность отдельных задач подоптимизации каждого элемента или подсистемы путем выбора дополнительных локальных целевых функций для этих элементов или подсистем.

Когда технологическая топология ХТС характеризуется совокуп­ ностью последовательных, параллельных или обводных техноло­ гических связей, эффективными методами второго пути оптимизации являются динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина и принцип декомпозиции Данцига — Вольфа.

В настоящее главе изложены некоторые принципы оптимизации сложных ХТС с произвольной технологической топологией на ос­ нове применения топологических моделей и принципа декомпозиции.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА И ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ХТС

Основной задачей теории оптимизации сложных ХТС является разработка методов оптимизации глобальной целевой функции каж­ дой системы в целом с учетом локальных целевых функций подси­ стем, позволяющих достигнуть наилучшей согласованности функ­ ционирования всей ХТС с точки зрения поставленной конечной цели.

Рассмотрим пример статической оптимизации ХТС, операторная схема которой приведена на рис. ѴІ-1, а. Результирующий выход данной ХТС образуется путем суммирования выходов двух парал-

295

дельно работающих подсистем. Несмотря на то что выходы подсистем А и В достигают максимума при соответственно разных значениях хта и хтЬ входных потоков, выход всей системы максимален при входе xmR, не равном ни хта, ни хтЪ(рис. ѴІ-1, б).

На примере этой простой ХТС становится очевидно, что одного знания локальных оптимумов составляющих подсистем и умения находить входные значения оптимизирующих переменных, отвеча­ ющие этим оптимумам, недостаточно для определения глобального оптимума всей ХТС в целом.

Особенности оптимизации ХТС обычно возникают не из-за самого факта существования нескольких локальных целей, а вследствие

Рис. ѴІ-1. Операторная схема (а) и связь между локальными и глобальными оптимумами целевых функций (б) ХТС.

некоординированного стремления к ним. Это может привести к не­ возможности оптимизировать всю систему в целом или даже под­ держивать допустимый уровень эффективности по отношению к глав­ ной цели.

Сложность, возникающая при стремлении к множественным це­ лям, объясняется их взаимодействием. Представим показатели эф­ фективности, соответствующие локальным целям, в виде

и напомним, что изменения по крайней мере некоторых оптими­ зирующих (управляющих) переменных yt ограничены допустимыми пределами изменения остальных у. Отсюда следует, что взаимодей­ ствие локальных целей можно выразить как зависимость между приращениями локальных показателей эффективности:

Здесь весовые функции Ф (Е ) зависят от достигнутых значений Е,. Если весовые функции Ф( считать частными производными от некоторой функции W(E), можно получить меру взаимодействия целей и основу для оптимального выбора технологической топологии

ХТС.

296

из этих факторов являются: технологическая топология, неполнота и неточность информации, неточность управления или оптимизации. Без особой потери общности цель всякой ХТС может быть опреде­ лена как максимизация функционала (G — L), где G — выигрыш, а L — потери.

Предположим для простоты рассуждений, что в системе можно контролировать изменения двух оптимизирующих управляющих переменных у х и у 2, причем

У і , У г

На первый взгляд кажется рациональным поручать одной под­ системе цель, состоящую в максимизации G, а другой подсистеме — цель, заключающуюся в минимизации L. Однако это далеко не всегда приводит к желаемой цели. Действительно, примем, что при оптими­ зации в одной подсистеме может изменяться у х, а в другой — у 2. Тогда в результате оптимизации будут найдены следующие значения локальных показателей эффективности:

Для того чтоЬы это неравенство превратилось в равенство, функ­ ция Е х должна зависеть только от у х, а функция Е 2 — только от у 2, что может быть лишь весьма редко.

В более общем случае можно предположить, что одной подсистеме поручена цель максимизации F x (ух, у 2), а другой — минимизации F 2 (ух, у 2), причем функционалы F x и F 2 соответствующим образом

Разность lS.Es = и — V может рассматриваться как мера тополо­ гической неэффективности ХТС. Она зависит лишь от технологиче­ ской топологии, так как возникает вследствие оптимизации локаль­ ных целевых функций и принятого способа децентрализации или декомпозиции задач оптимизации или .управления.

Вторым фактором, вызывающим понижение глобальной эффектив­ ности ХТС в целом, является несовершенство средств передачи инфор­ мации. Если принять, что подсистемы оптимизируют отвечающие

297