книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

расположения вдоль технологических потоков с использованием рассчитанных значений параметров выходных потоков предшеству­ ющих элементов в качестве известных значений параметров входных потоков последующих элементов.

Если ХТС является замкнутой системой, то простой последова­ тельный расчет математических моделей элементов невозможен, так как параметры обратных технологических потоков поступают с вы­ хода последующего элемента на вход предыдущего и при расчете этого элемента они должны быть известны.

Один из методов расчета замкнутых многоконтурных систем ( м е т о д р а з р ы в а о б р а т н ы х т е х н о л о г и ч е с к и х с в я з е й ) заключается в следующем. Замкнутую систему преобра­ зовывают в эквивалентную разомкнутую систему путем разделения каждого вектора параметров обратных технологических потоков между элементами і и j системы Y ц на вектор параметров выходного потока г-го элемента (предыдущего по направлению обратного потока) V* и вектор параметров входного потока j-то элемента(по­ следующего по направлению обратного потока) U*j таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Это обусловлено также необходимостью проводить итерацион­ ные процедуры на основе предварительной оценки значений перемен­ ных векторов обратных технологических потоков, чтобы свести рас­ чет замкнутой многоконтурной системы к расчету эквивалентной разомкнутой системы, для которой справедливо соотношение (Ѵ,76).

Математически метод разрыва обратных технологических связей сводится к определению вектора Uік на основе решения системы нелинейных уравнений

где i = 1, tK— число параметров входных потоков к-го элемента; к — еъ ет —

число элементов ХТС, по отношению к которым разрываемый обратный техно­ логический поток является выходным.

Порядок системы нелинейных уравнений (Ѵ,77) равен:

К = в і

Систему уравнений (Ѵ,77) решают либо методом простой итера­ ции, либо более эффективными методами, обеспечивающими быструю сходимость результатов расчета. Трудоемкость вычислительных процедур по решению системы нелинейных уравнений (Ѵ,77) для замкнутых многоконтурных систем зависит от порядка п данной системы уравнений. При этом селективное влияние переменных разрываемых обратных технологических потоков на вид нелинейных уравнений указанной системы, что, в общем случае* может вызвать

278

появление дополнительных трудностей в реализации вычислитель­ ных процедур, не учитывают.

Преобразование замкнутой мпогоконтурной ХТС в эквивалент­ ную разомкнутую систему может быть проведено не только путем разрыва одной обратной технологической связи в каждой взаимо­ связанной простой замкнутой подсистеме. Поэтодіу необходимо найти такие о с о б ы е технологические потоки ХТС, чтобы зна­ чение п было минимальным и замкнутая система при их разрыве превращалась в эквивалентную разомкнутую систему. Отметим, что особыми потоками могут являться только потоки, которые одновре­ менно входят более чем в одну простую замкнутую подсистему.

Алгоритм анализа многоконтурной ХТС, содержащей т простых замкнутых или контурных подсистем, которые образованы Ъ одина­

последовательность расчета математических моделей аппаратов дан­ ной ХТС, при которой существует некоторое множество особых технологических потоков Q = (q1, g2, . . ., qb) с мощностью | Q | = = п, разрывающих все простые контурные подсистемы, и не суще­ ствует другого множества Q1 cz Q, обладающего тем же свойством преобразования замкнутой ХТС в эквивалентную разомкнутую систедіу.

Следовательно, оптимальнодіу алгоритму анализа ХТС с одина­ ковой параметричностыо всех технологических потоков соответ­ ствует условие:

Если параметричность потоков ХТС не одинакова, технологи­ ческие потоки не равноценны с точки зрения и выбора в качестве особых потоков. В этом случае задача разработки оптимального алгоритдіа анализа діногоконтурной ХТС состоит в отыскании такого множества особых технологических потоков Q = (дгх, q2, . . qn), чтобы общая парадіетричность технологических потоков множества Q была минимальной, т. е.

где я і — параметричность технологического потока <ц; п — число особых тех­ нологических потоков; HQ — общая параметричность технологических потоков множества Q.

Необходимость применения діетода последовательного расчета математических моделей элементов разомкнутых систеді и діетода расчета дшогоконтурных систем путем их преобразования в эквива­ лентные разомкнутые обусловлена многомерностью матедіатических моделей современных ХТС, которые представляют собой совокуп­ ность уравнений. В результате этого приходится заменять одновредіенное решение математической дюдели ХТС в целоді последователыіыді

279

тур. Если же Ь[] = 0, то в графе отсутствует либо путь 1и , либо путь Іц и, следовательно, вершины і и / не принадлежат ни одному элементарному контуру графа.

Матрица [В] позволяет выделить строго соподчиненные замкну­ тые контурные подграфы параметрического потокового графа, т. е.

281

элемента, и группы, которые содержат единичный элемент, охваченный рециклом, являются строго соподчиненными контурными подсистемами.

В самом деле, для вершин і' и /' имеется путь

1(’І> — I] ч “Ь hj~\~

Последнее утверждение теоремы вытекает из принадлежности вершин V и различным строго соподчиненным подсистемам.

Отношение порядка между строго соподчиненными подсистемами показы­ вает, в какой последовательности должен производиться расчет строго соподчи­ ненных контурных подсистем: если Кі <; Kj, то подсистема К і должна быть рассчитана раньше подсистемы Kj. Если последовательность подсистем /£),, . . ., Kj^ такая, что при і <[ / величина сі.;{ = 0, то сложная ХТС может быть рас­

считана в соответствии с данной последовательностью строго соподчиненных контурных подсистем.

Идентификация простых контурных подсистем замкнутых ХТС

Для разработки оптимальных алгоритмов анализа замкнутых ХТС каждая простая контурная подсистема должна быть идентифи­ цирована совокупностью элементов и технологических потоков, об­ разующих эту подсистему. Каждой простой контурной подсистеме ХТС соответствует простой или элементарный контур параметриче­ ского потокового графа данной системы, который должен быть иден­ тифицирован совокупностью вершин (узлов) и дуг графа.

Простые контуры определяют путем построения по матрице смеж­ ности [Н] параметрического потокового графа ХТС прадерева с кор­ нем. Порядок идентификации простых контуров поясним на примере анализа графа, представленного на рис. Ѵ-44, а.

282

В качестве корня прадерева (рис. Ѵ-44, б) выбирают любую произвольную вершину графа, например вершину 1 (см. рис. Ѵ-44, а). Наличие в матрице

Рис. Ѵ-44. Параметрический потоковый граф XTG двупоточной моноэтаноламиновой очистки синтез-газа от двуокиси углерода (а) и прадерево (б) с корнем для выделения элементарных контуров графа.

Для каждой вершины / (/ = 1,2, . . ., 10) графа (см. рис. Ѵ-44, а) выявляют все вершины-потомки, отыскивая в каждом і-ом столбце (і — 1, 2, . . ., 10) /-ой строки матрицы [Н] элементы h,t = 1. Затем аналогично для каждой вершины і графа (см. рис. Ѵ-44, б) отыскиваются ее вершины-потомки и т. д. Далее эти вершины-

283

потомки соединяют дугой в прадереве (см. рис. Ѵ-44, б) и таким образом определяют все пути в графе (см. рис. Ѵ-44, а).

Висячей вершиной прадерева становится та вершина, номер которой совпадает с номером одной из вершин, принадлежащей

Р и с . Ѵ-45. Алгоритм декомпозиции сложных ХТС систем на строго

соподчиненные элементарные и контурные подсистемы.

любому пути прадерева. Каждая висячая вершина прадерева при­ надлежит простому, или элементарному, контуру параметрического потокового графа. Следовательно, соответствующий этой вершино графа элемент ХТС принадлежит некоторой простой контурной под­ системе.

284

Общее число висячих вершин прадерева всегда больше числа про­ стых контуров графа, так как разные висячие вершины прадерева могут отвечать одному и тому же простому контуру.

Прадерево выявляет следующие простые контуры в параметри­ ческом потоковом графе ХТС:

После определения по прадереву с корнем простых контуров со­ ставляют матрицу контуров параметрического потокового графа. При использовании ЦВМ для построения прадеревьев осуществля­ ются следующие операции:

1.Контролируется длина каждого пути прадерева Я, которая должна быть равна длине простого контура графа. Если из вершиныкорня прадерева начинается путь с числом вершин Я, то выявляется дуга, соединяющая последнюю висячую вершину этого пути с кор­ нем. Нахождение такой дуги фиксирует наличие контура размерно­ сти Я. В противном случае данная вершина прадерева не принадле­ жит простому контуру.

2.На каждом пути прадерева длиной меньше Я контролируется

совпадение вершин. Если вершины совпали, делается шаг назад в предыдущую вершину пути прадерева. Построение прадерева про­ должается по новой ветви, выходящей из этой вершины.

3.Контролируется переход к вершине, не принадлежащей дан­ ному многоконтурному подграфу. Если такой переход произошел, возвращаются в предыдущую вершину и продолжают построение прадерева в новом направлении.

4.Промежуточные вершины графа, имеющие одну входящую и одну выходящую ветви, в качестве корней прадерева не выбираются.

Алгоритм декомпозиции сложных ХТС на строго соподчиненные элементарные и контурные подсистемы представлен на рис. Ѵ-45.

Разработка оптимальной стратегии анализа замкнутых подсистем ХТС на основе применения параметрических потоковых графов

Алгоритм основан на рассмотрении р а с ш и р е н н о й м а т ­

285-

дополненную строкой контурных степеней дуг и столбцом рангов

с к и с о д е р ж и т д у г у р;-.

Очевидно, что выбор в качестве дуги, соответствующей особому технологическому потоку ХТС, дуги pt приведет к разрыву большего числа простых контуров в потоковом графе и получению системы нелинейных уравнений вида (Ѵ,77) меньшего порядка при решении задачи анализа ХТС, чем выбор дуги pf. Если эта дуга геометрически содержится в дуге pt, то столбцы pj и pt матрицы контуров зависимы. Исключение из [К] столбца p f не влияет на определение минималь­ ного числа дуг графа, соответствующих особым технологическим потокам ХТС. Вычеркивая из расширенной матрицы контуров [К*]

Так как в этой матрице все столбцы независимы и имеются строки только с одним единичным элементом кп = к34 = къ2 = 1, то дуги

286

Р4>Рь и Р12 выбирают как дуги, отвечающие особым технологическим потокам ХТС. Преобразуя матрицу [KJ], получают упрощенную матрицу

на примере рассмотрения параметрического потокового графа, изображенного на рис. Ѵ-48.

Расширенную матрицу контуров [К*] дополним строками пара-

этого, я 2 равно 3, тогда как я 3 равно 4. Таким образом, если в качестве исходного для итерации выбрать поток ps, то потребовалось бы отыс­ кать дополнительный поток, который разомкнет контур КЗ. Кроме того, намного возросло бы и общее число переменных, которыми необходимо задаться по сравнению со случаем выбора только потока

287