книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Неизмеряемые потоки

Классификация потоков. Эта классификация проводится с учетом упомянутых выше свойств потоков. Правила классификации раз­ работаны для одного неизмеряемого потока, параметр которого находится, например, для потока с индексом s = р. Аналогичная процедура может быть применена ко всем исследуемым неизмеряемым потокам.

Умножим каждое s-oe уравнение системы уравнений (Ѵ,23) на коэффициент gs, а каждое к-ое уравнение системы уравнений (Ѵ,24) на коэффициент gK и сложим полученные выражения:

Теперь определим коэффициенты gs и gK таким образом, чтобы параметр т„ можно было выразить в явном виде линейной функции hg, г £ R. Преобразуем левую часть уравнения (Ѵ,39) так, чтобы можно было вынести за скобки Ьк и ms. Приравняем все коэффи­ циенты при Ьк и ms нулю, а коэффициент, стоящий при тр, единице. Тогда получим к + s линейных уравнений, содержащих то же самое число неизвестных gK и gs. Если существует решение этих уравнений и если подставить его в уравнение (Ѵ,39), то параметр тр может быть

Теперь можно провести те же самые вычисления, что были опи­ саны ранее (см. стр. 233)-:

а) Пусть р есть внешний поток, инцидентный вершине к. Тогда, как следует из уравнения (Ѵ,40), для потока р, входящего в эту

б) Пусть р* есть внутренний поток, выходящий из вершины к*

238

в) Из уравнений (Ѵ,40) можно непосредственно определить также и остальные значения gK. Аналогично

когда внутренний неизмеряемый поток s’, s ф р соединяет вершины

к* и I*.

Спомощью уравнений (V,42)—(У,46) можно рассчитать простые

соотношения и даже вычислить некоторые значения gK. Следует, однако, отметить, что решение системы уравнений (Ѵ,40) может привести к противоречивым результатам. Чтобы избежать этого,

г) Пусть р ' есть индекс внешнего потока р', инцидентного вер­ шине к'. Рассмотрим псевдовершину и', которая образуется в ре­ зультате совмещения вершин, связанных друг с другом и с верши­ ной к' неизмеряемыми потоками. Тогда псевдовершина и' не должна быть инцидентна ни одному ни другому неизмеряемому потоку, за исключением потока р' (рис. Ѵ-15).

д) Пусть р* есть внутренний поток, выходящий из вершины к* и входящий в вершину/*. Допустим, что псевдовершина и* образо­ вана совмещением вершин, связанных друг с другом и с вершиной

239

к* неизмеряемыми потоками s; s =j=р*. Точно так же, как и в слу­ чае псевдовершины и*, будем считать, что псевдовершина ш* обра­ зована в результате совмещения вершин, инцидентных вершине I*. Затем примем, что ни одна другая из вершин, относящихся к перво­ начальному потоковому графу, не должна входить в обе псевдовер­ шины и* и со* и только одна из этих псевдовершин может совпадать с внешними измеряемыми потоками s; s £ S (рис. Ѵ-16; псевдовер­ шины обозначены пунктиром).

Если для описываемого неизмеряемого потока р не выполняется условие «г» или условие «д», то нельзя найти единственного значе­

Определение параметров потоков. Предположим, что для потока р выполняется условие «г» или условие «д». Вместо уравнения (Ѵ,41) получим более удобную зависимость между тр и hr; г £ R. Введем

Согласно уравнению (Ѵ,26) можно записать, что для одного неиз­ меряемого потока р в данной схеме выполняется равенство

Следовательно, уравнения (Ѵ,32) и (Ѵ,33) остаются без изменений. Однако систему уравнений (Ѵ,34) необходимо дополнить соотно­ шением

Умножим каждое уравнение системы уравнений (У,34) и (Ѵ,49) на коэффициенты gx, . . ., gu+1 и сложим полученные выражения. После элементарных преобразований находим:

240

Коэффициенты gx, . . ., gu+1 можно вычислить из уравнений

Поскольку из уравнений (Ѵ,52) следует, что

в соответствии с уравнением (Ѵ,51) можно написать:

и

и=1

и в матричной форме:

Как и в предыдущем случае, когда рассматривались измеряемые потоки, так и теперь, когда мы имеем дело с неизмеряемыми пото­ ками, важную роль играет наличие матрицы [Qwu]. При выполне­ нии условия ее неособенности

Поэтому уравнения (Ѵ,38) и (Ѵ,57) могут быть использованы для вычисления значений теу-, которые определяются с помощью вели­ чин hr, полученных в результате измерений в нескольких точках.

Оптимальный выбор метода измерений отдельных потоков

Постановка этой задачи оправдана только для потоков с индек­ сом і, параметры которых могут быть найдены по результатам изме­ рений в нескольких точках. Ограничимся оптимизацией выбора изме­ рений для одного потока при заданном значении ошибки.

Пусть

есть относительная ошибка r-го измерения. Параметры ѵг и ег явля­ ются случайными величинами. Математическое ожидание квадратов этих величин записывается в виде

представляет собой соотношение для определения средней относи­ тельной ошибки измерения г-го потока. Тогда

Величины hr статистически не зависят друг от друга, поэтом у согласно уравнению (Ѵ,58), имеем:

Целевую функцию ф можно найти из очень простого соотноше­ ния, например:

г=Ь

в котором фг — вклад отдельных измеряемых потоков. Действительные соотношения зависят от реальной ситуации

и их изучение выходит за пределы данного исследования. По-види­ мому, вполне естественно, если оптимальное значение целевой функ­ ции ф минимально, что с уменьшением средней оптимальной ошибки измерения яг увеличивается значение целевой функции фг

Сложность проведения общего анализа зависит от возможности использования различных методов измерений и имеющихся в нали­ чии контрольно-измерительных приборов. Функциональная зависи­ мость qr от хг (или hr) также в какой-то степени затрудняет анализ, поскольку в этом случае необходимо заранее оценить параметры потока.3

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ХТС С ПРИМЕНЕНИЕМ СТРУКТУРНЫХ

И СИГНАЛЬНЫХ ГРАФОВ

Элементы rtj матриц преобразования [R] гидродинамических и тепловых процессов ХТС являются функциями коэффициентов передачи или комплексных проводимостей системных компонентов (см. стр. 137) и отражают связь между полюсными переменными этих компонентов. Элементы матриц преобразования ХТС могут быть получены из сигнального графа, построенного непосредственно по

242

топологии структурного графа системы. Благодаря специальной форме, принимаемой для сигнального графа, тоцология его иден­ тична топологии структурного графа ХТС. В этих сигнальных графах в качестве переменных сигналов вершин используют узло­ вые значения параллельных переменных структурного графа сис­ темы.

В каждой к-ой вершине структурного графа ХТС справедливо «уравнение вершин» для последовательных переменных системных компонентов, полюсные графы которых инцидентны этой вершине. Указанное уравнение можно записать в следующем виде:

где укр— переменное значение р-го компонента-источника последовательных переменных; хк (хѵ) — узловые значения параллельных переменных в к-ой (г-ой) вершине структурного графа; | к0 — комплексная проводимость ветви структурного графа, инцидентной к-ой и базовой вершинам графа; %кѵ — комплексная проводимость ветви, инцидентной к-ой и ѵ-ой вершинам структур­ ного графа; (хк — хкѵ) — значение параллельной переменной ветви, инцидентной к-ой и г-ой вершинам графа.

Решая уравнение (Ѵ,66) относительно узлового значения парал­ лельной переменной хк, получаем выражение

мость между к-ой и к-ой вершинами графа.

Составляя уравнения (Ѵ,66) для всех п вершин структурного графа (исключая базовую вершину) и преобразуя их в соответствии с выражением (Ѵ,67), находим матричное уравнение для узловых

матрица обратных значений собственных проводимостей вершин структурного графа, общий элемент которой равен 1/ %ц при і = / или 0 при і ф /; [ |ь] —

нормализованная матрица проводимостей вершин структурного графа, общий

На основе матричного уравнения узловых значений параллель­

следующий порядок непосредственного построения сигнального графа по топологии структурного графа ХТС:

значениям параллельных переменных структурного графа; пи — число вершин графа, равное числу полюсных графов компонентовисточников последовательных переменных структурного графа.

2. В сигнальном графе каждую ветвь ij пассивного компонента структурного графа заменяют контуром из двух направленных

3.Если ветвь 01 пассивного компонента инцидентна базовой вершине, то эту ветвь в сигнальном графе не рисуют.

4.Каждую ветвь пт компонента-источника последовательных переменных заменяют источником последовательной переменной, соединенной с вершиной N (М ) сигнального графа ветвью, коэффи­

инцидентную базовой вершине структурного графа, заменяют üf-ьш источником параллельной переменной сигнального графа.

Если ветвь компонента-источника параллельных переменных не инцидентна базовой вершине, то перед построением сигнального графа эту ветвь заменяют ветвью эквивалентного компонента-источ­ ника последовательных переменных структурного графа.

Матричное уравнение для узловых значений параллельных пере­ менных структурного графа (Ѵ,68) записано в канонической форме, когда независимыми задающими источниками являются только компоненты-источники последовательных переменных. Однако в ряде случаев задающими источниками служат компоненты-источ­ ники параллельных переменных, т. е. структурный граф ХТС не отвечает канонической форме уравнений (Ѵ,68).

Эквивалентное преобразование компонента-источника парал­ лельных переменных в компонент-источник последовательных пере­ менных можно осуществить при любом числе источников параллель­ ных переменных и любом их включении. После такого преобразо­ вания задача сводится к анализу канонической формы уравнений

(Ѵ,68).

Рассмотрим структурный граф ХТС, показанный на рис. Ѵ-17, а. Предположим, что компонент-источник параллельной переменной с резистивным компонентом, обладающим комплексной проводи­ мостью Ік = Івс, содержится между вершинами А и С структур­ ного графа. Необходимо построить структурный граф, который был бы эквивалентен данному исходному структурному графу (см. рис. Ѵ-17, а) в отношении процессов функционирования на полюсах

244

Из рис. Ѵ-17, а видно, что

Очевидно, что если два структурных графа должны дать идентич­ ные величины для всех данных пар Х 0 и Y 0, т. е. выражения (Ѵ,69)

Рис. Ѵ-17. Исходный (а) и эквивалентный (б) структурные графы некоторой ХТС.

и (Ѵ,71) должны быть эквивалентными, то необходимо выполнение условия

ёк —

(V,72)

Таким образом, в структурном графе, изображенном на рис. Ѵ-17, б, последовательное соединение компонента-источника Хк и резистивного компонента, обладающего комплексной проводи­ мостью Ік, заменяется параллельным соединением компонентаисточника Y K= ЪКХК и резистивного компонента с проводимостью, равной Ік.

Пример Ѵ-3. Для исходного структурного графа ХТС (рис. Ѵ-18, а) тре­ буется найти эквивалентный источник последовательной переменной, питающий

2 4 5

Находим суммарное значение последовательной переменной эквивалентного

Рис. Ѵ-18. Исходный структурный граф (а), определение эквивалентного источ­ ника последовательной переменной между полюсами И и Л (б) и эквивалентный структурный граф (в).

Значения элементов rtj матриц преобразования гидродинамиче­ ских и тепловых процессов ХТС получают из сигнального графа, построенного непосредственно по топологии структурного графа, применяя для решения сигнального графа универсальную топологи­ ческую формулу. При определении элементов матрицы преобразо­ вания ХТС в качестве стока сигнального графа может быть рас­ смотрена любая промежуточная вершина сигнального графа. Кроме того, можно образовывать новые вершины-стоки графа с учетом полюсных уравнений системных компонентов и соотношений, выве­ денных для полюсных переменных из структурного графа ХТС.

В соответствии с изложенным сформулируем основные этапы алгоритма нахождения матриц преобразования гидродинамических

итепловых процессов ХТС:

1.Выделяем системные компоненты с известными коэффициен­ тами передачи, которые зависят от конструкционных и технологи­ ческих параметров элементов системы.

2.Строим топологическую модель в виде структурного графа, представляющего собой совокупность полюсных графов системных компонентов данной системы.

246

3. Непосредственно по топологии структурного графа строим сигнальный граф, вершины которого соответствуют узловым значе­ ниям параллельных переменных структурного графа системы.

4. Путем решения сигнального графа находим значения элемен­ тов матриц преобразования.

Покажем применение предложенного алгоритма для определения матриц преобразования гидродинамических и тепловых процессов.

Пример Ѵ-4. Найти матрицу преобразования гидродинамических процес­

сов ХТС, структурный граф которой (см. рис. ІѴ-21, в) был построен в примере

ІѴ-4.

Используя метод непосредственного построения сигнального графа по топологии структурного графа системы (см. рис. ІѴ-21, в), получают сигнальный граф, изображенный на рис. Ѵ-19, а. Чтобы установить причинно-следственные

Рис. Ѵ-19. Сигнальные графы для определения элементов матрицы преобразования гидродинамических процессов ХТС.

связи между всеми полюсными переменными системы, исходя из указанного сигнального графа строят сигнальный граф (рис. Ѵ-19, б), который учитывает полюсные уравнения компонентов и дополнительные связи между полюсными переменными структурного графа:

Р4 (s) = hi (s) —h2(s), Ръ (*) = h2 (s) — h3 (s)

где P i (s) и Р ъ (s) — перепады давлений в трубопроводах системы.

Элементы матриц преобразования гидродинамических процессов в системе определяют из исходного сигнального графа (см. рис. Ѵ-19, о), применяя топо­ логическую формулу (IV,39). Матрица преобразований гидродинамических

247