книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Пример ІѴ-29. Дана некоторая ХТС (рис. ІѴ-88), образованная совокуп­ ностью трех технологических операторов разделения I—III (коэффициенты функциональных связей каждого і-го оператора ац заданы). При известных значениях массовых расходов потоков g10 и gso определить массовые расходы внутренних технологических потоков Я1( л2 и Х3, используя детерминантный метод анализа и методы теории сигнальных графов. Сравнить трудоемкость указанных методов.

Для применения детерминантного метода (см. стр. 109) по структурной блок-схеме ХТС составим следующую систему линейных уравнений балансов:

208

В ел и ч и н а Д о п р ед ел я ет ся сл едую щ и м обр азом :

и К3 необходимо составить определители Д, Дх, Д2 и Д3, а затем вычислить их значения.

а

Рис. ІѴ-88. Структурная блок-схема (а) и сигнальный граф (б) некоторой ХТС.

Таким образом, применение детерминантного метода для решения данной задачи связано с выполнением следующих 12 операций:

а) составить систему линейных уравнений балансов (одна операция);

.6) составить определители Д, Дх, Д2 и А3 (четыре операции); в) вычислить значения определителей А, Дх, Д2 и Д3 (четыре операции); г) найти величины Ях, К2 и Я3 (три операции).

Использование методов теории сигнальных графов для решения этой же задачи связано с реализацией лишь пяти операций:

1gl0«2l + g30^23

'Дсг

#10а 2Іа 32 + ё з 0 [1 — а 1 і]

Таким образом, данный пример иллюстрирует преимущества использования методов теории сигнальных графов для изучения сложных ХТС. По сравнению с детерминантным методом они не только дают наглядное отображение причинноследственных связей между всеми сигналами ХТС, но и обеспечивают мини­ мизацию вычислительных процедур. Помимо этого, все операции применения методов теории сигнальных графов строго формализованы, что в значительной степени гарантирует исследователя от субъективных ошибок.

Сигнальные графы других типов

В заключение настоящего раздела необходимо отметить, что наряду с рассмотренными сигнальными графами типа Мэзона для

Сигнальный граф типа Мэзона (нормализованный вид), отвеча­ ющий форме записи системы уравнений ХТС

представлен на рис. ІѴ-89, в.

На сигнальном нуль-графе нули правой части уравнений (IV, 4 3) изображаются так же, как переменные N {.

Сигнально-потоковые графы типа Коутса и сигнальные нульграфы целесообразно применять в тех случаях анализа ХТС, когда требуется исключать переменные. Характерная особенность этих графов заключается в том, что матрица передач ветвей графа [А*] отождествляется с матрицей [Б] коэффициентов системы линейных уравнений ХТС, т. е. [А*] = [В].Отсюда следует, что для графов типа Коутса и сигнальных нуль-графов основное равенство теории сигнальных графов Мэзона (IV, 24) не выполняется. Очевидно, что от одного типа сигнальных графов можно легко переходить к другому типу графов.

210

In)

а

Ьп1

Рис. ІѴ-89. Сигнально-потоковые графы типа Коутса (а), сигналь­ ные нуль-графы (б) и сигнальный граф типа Мэзона (в).

14*

Г Л А В А V

РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Проблема разработки оптимальной стратегии исследования ХТС обусловлена трудностями решения на ЦВМ больших систем нелинейных уравнений материальных и тепловых балансов сложных химико-технологических систем.

Анализ функционирования ХТС, для которой известны математи­ ческие модели отдельных элементов и технологическая топология, состоит в расчете полной математической модели для определения параметров выходных технологических потоков при заданных техно­ логических условиях и параметрах входных потоков системы. Сложные ХТС включают большое число элементов, описываемых многомерными дифференциальными и конечно-разностными уравне­ ниями. Поэтому даже простой однократный расчет математических моделей таких систем на современных ЦВМ занимает много времени и приводит к многочисленным трудностям как при программирова­ нии задач, так и при технической эксплуатации вычислительных машин. Указанные трудности обусловлены многомерностью решае­ мых задач, а также малым объемом памяти ОЗУ и низким быстродей­ ствием применяемых в настоящее время ЦВМ. Синтез оптимальных ХТС связан с неоднократным решением задач анализа их функциони­ рования или полного расчета.

Алгоритмы оптимальной стратегии решения задач исследования химико-технологических систем разрабатывают на основе математи­ ческих методов топологии, теории графов и теории множеств, исполь­ зуя различные классы топологических моделей, отражающих либо топологические особенности технологических схем, либо тополо­ гические особенности систем уравнений математических моде­ лей ХТС.

При разработке оптимальной стратегии анализа химико-техноло­ гической системы путем использования топологических моделей, отражающих структурные особенности технологической схемы си­ стемы, основными исходными данными являются технологическая топология ХТС и математические модели каждого ее элемента, пред­ ставленные в виде уравнений функциональной связи (1,2).

212

В случае, когда известна общая символическая математическая модель ХТС, стратегия исследования основана на применении топо­ логических моделей, отражающих топологические особенности си­ стем уравнений математической модели. Эти особенности заключа­ ются в том, что несмотря на большие размеры указанных систем уравнений в каждое отдельное уравнение входит лишь относительно небольшое число переменных, которое много меньше общего числа переменных ХТС. Помимо этого, каждая система уравнений мате­ матической модели ХТС содержит избыток числа переменных по сравнению с числом уравнений, т. е. имеет свободные (независимые) переменные. При анализе математических моделей ХТС с большим числом варьируемых переменных эффективность и простота вычисли­ тельных процедур во многом зависят от выбора свободных перемен­ ных, которые должны быть заданы как известные параметры перед началом вычислений.

В определении оптимальной стратегии исследования сложных ХТС особое место занимает разработка методов решения многомер­ ных систем нелинейных уравнений и обеспечения сходимости итера­ ционных процессов вычислений. Поскольку эти вопросы предста­ вляют специальный интерес, в настоящей главе о них будут даны только некоторые основные понятия.

1. (РАСЧЕТ МАТЕРИАЛЬНЫХ И ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ ХТС НА ОСНОВЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ II ТЕПЛОВЫХ

ПОТОКОВЫХ ГРАФОВ

Для ХТС с числом элементов к < 3 не возникает трудностей при составлении системы уравнений балансов, выборе свободных инфор­ мационных переменных и решении матричного уравнения балансов (11,18) в соответствии с предложенной ранее методикой. Если же в ХТС число элементов к > 3, задача становится сложной и трудоем­ кой, что обусловлено необходимостью сделать «удачный выбор» набора свободных ИП. В противном случае для получения решения матрич­ ного уравнения балансов (11,18) приходится осуществлять большой число итераций и переборов возможных наборов свободных ИП.

На основе анализа топологических свойств циклических потоко­ вых графов покажем для любой ХТС алгоритм выбора определен­ ного числа свободных ИП (свободных потоков) и выражения базис­ ных информационных переменных (базисных потоков) через свобод­ ные информационные переменные. Информацию о топологических особенностях некоторого циклического потокового графа ХТС пред­ ставим в форме матрицы инциденций или в форме цикломатической

2 1 5

В этом уравнении имеется р = ѵ — 1 линейно независимых урав­ нений, которые эквивалентны уравнениям вершин для потоков по дугам графа (IV, 14) и, следовательно, эквивалентны уравнениям баланса одного типа обобщенных потоков ХТС (IV,12).

Для записи линейно независимых уравнений, входящих в выра­ жение (Ѵ,1), используют формальное дерево циклического потоко­ вого графа и м а т р и ц у о т с е ч е н и й [N].

Вершины любого графа можно произвольно разделить на две группы. Линия такого разделения пересекает дуги, вершины которых принадлежат различным группам. Пересеченные дуги связного графа образуют отделяюіцее множество.

з

связного графа G, удаление которых из графа понижает его ранг на единицу. При этом нн одно собственное подмножество данного отделяющего множества не понижает ранг графа G на единицу, когда это подмножество удаляется пз графа. Другими словами, отделяющее множество делит связный граф на два изолированных под.рафа. Так как ранг этого связного графа равен ѵ —Л , удаление дуг, принадлежащих отделяющему множеству, без их вершин из связного графа G дает несвязный граф (возможно с одной изолированной верши­ ной). Ранг нового несвязного графа равен ѵ — 2.

Примеры отделяющих множеств представлены на рис. Ѵ-1. Множества дуг связного графа (aige; bhige; chgfe) являются отделяющими множествами. Каждая пунктирная линия, соответствующая одному из отделяющих множеств, разделяет множество вершин данного исходного графа на два подмножества и показывает, как отделяющие множества делят связный граф на несвязные подграфы.

Отделяющее множество aige образовано совокупностью дуг, инцидентных одной вершине 1. Очевидно, что удаление всех дуг, инцидентных некоторой вершине, изолирует эту вершину.

Отделяющее множество, в которое входит только одна ветвь дерева, назы­ вают о т с е ч е н и е м гр. Формальное дерево однозначно определяет дуги, входящие в каждое отсечение щ. Например, для циклического потокового графа

.214

На данном рисунке отмечены также фундаментальные циклы щ , р2 и ИзМатрица отсечений [N] для циклического потокового графа имеет порядок

[р X е], а ее общий элемент:

—1, если дуга является хордой, которая имеет по отношению к линии отсечения ориентацию, противоположную /-ой ветви формального дерева

Строки матрицы [N] необходимо располагать в порядке возрастания номе­ ров ветвей формального дерева, а столбцы — так, чтобы сначала шли столбцы, соответствующие ветвям, а затем хордам (в порядке возрастания номеров).

Для рассмотренного графа (см. рис. Ѵ-2, а) при формальном дереве Г (см. рис. Ѵ-2, б) матрица отсечений имеет следующий вид:

В общем случае для любого циклического потокового графа мат­ рица отсечений может быть представлена так:

эквивалентные линейно независимым уравнениям вершин для пото­ ков графа из выражения (Ѵ,1) и уравнениям баланса одного типа обобщенных потоков ХТС:

Если выделить в матрице [Q] переменные потоки, отвечающие ветвям формального дерева Qb и хордам Qc, а также разбить матрицу [N ] на подматрицы с учетом выражения (Ѵ,4), то получим следующий вид уравнений отсечений:

Эти уравнения для потоков циклического графа ХТС линейно независимы, так как ранг матрицы отсечений [N], равный rN р, всегда равен числу уравнений отсечений. Записанные в матричной форме (Ѵ,6) уравнения отсечений приводят к выводу о том, что базисные переменные потоки ХТС, соответствующие потокам по ветвям формального дерева Qb циклического графа, всегда могут быть однозначно выражены через свободные переменные потоки си­ стемы, отвечающие потокам по хордам Qc графа, а именно:

21Ü

Выражение же [QJ через [Q6] предполагает нахождение обрат­ ной матрицы [D]"1, которая в общем случае может не существовать.

Рассмотрим при некотором выбранном формальном дереве цикли­ ческого потокового графа функциональную связь между матрицей

тация д0-ой хорды по отношению к линии т^-го отсечения противо­ положна ориентации £0-ой ветви, то элемент d1)lgo — 1. В этом слу­ чае в р х-ом фундаментальном цикле, образованном хордой д0, ориен­ тация £0-ой ветви формального дерева будет всегда совпадать с ориен­

Если д-ая хорда не входит в трое отсечение, образованное g-ой ветвью формального дерева, то д-ая хорда и g-ая ветвь никогда не образуют фундаментального цикла, т. е. справедливо соотношение

= fqß ~~

Проведенные рассуждения позволяют утверждать, что если мат­ рица отсечений [N] и цикломатическая матрица [С] составлены для

•одного и того же формального дерева циклического потокового

216

Так, например, для циклического потокового графа ХТС, при­ веденного на рис. Ѵ-2, а, при формальном дереве Т имеем {смвыражения для матрицы [С] (ІѴ-12) и матрицы [N] (Ѵ,3)}:

Ц и к л и ч е с к и м и п о т о к а м и ХТС называют потоки, значения и направления которых совпадают со значениями и напра­ влениями переменных потоков в хордах циклического потокового графа системы. Таким образом, базисные переменные потоки Qb определяются как алгебраическая сумма циклических потоков ХТС.

Соотношение (Ѵ,9) или (Ѵ,7) между базисными переменными пото­ ками и свободными циклическими потоками ХТС можно получить, читая по строкам цикломатическую матрицу С. Например, для циклического потокового графа, изображенного на рис. Ѵ-2, а, соотношения между базисными переменными потоками ХТС (qx\ q2', q5) и свободными переменными потоками (q3; g4; qe) находим путем чтения и суммирования элементов по строкам цикломатической матрицы:

На основании изложенного выше алгоритм расчета балансов одного типа обобщенных потоков сложной ХТС включает следу­ ющие операции:

а) В соответствии с методикой, предложенной ранее (см. стр. 135), строят потоковый граф для одного типа обобщенных потоков ХТС. В графе в порядке возрастания номеров обозначают дуги Wt и

в) В циклическом графе выбирают для анализа формальное де­ рево, содержащее число ветвей е8т = р. Дерево выбирают таким

217