книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Запишем выражения для определителя Д и его миноров Äj и A2 данного сигнального графа:

А і= 1 —L i ~ 1 —h

Определение с помощью топологической формулы коэффициента передачи для сигнального графа, изображенного на рис. ІѴ-76, б, поясняют следующие соотношения:

вода. Для пояснения ее структуры рассмотрим вначале некоторые новые понятия теории сигнальных графов: контурную передачу узла, обратную разность и контурную передачу ветви.

К о н т у р н о й п е р е д а ч е й у з л а L называют отноше­ ние сигнала, возвращающегося к этому узлу, к сигналу, который вы­ ходит из данного узла при отсутствии сигнала на входе всей системы.

Для нахождения контурной передачи а-го узла с петлей обратной связи необходимо расщепить этот узел на узлы а и а', выразить приходящий к узлу а узловой сигнал (т. е. ха) через сигнал а'-го

198

узла (т. е. через х а’ ) и найти отношение хаІх'а. Так, для схемы, при­ веденной на рис. ІѴ-77, а, б, имеем:

торый параметр «к», разбирается обратная разность относительно этого параметра.

Рис. ІѴ-77. Определение контурной передачи узла в сигнальных графах (а, б и в, г).

Обратная разность относительно параметра «в» для сигнального графа, показанного на рис. ІѴ-78, а, находится следующим образом: в ветви с передачей «к» между вспомогательными узлами а и а ' делается разрыв (рис. ІѴ-78, б) так, чтобы ветвь, приходящая в а , имела передачу, равную единице. Из а' посылается единичный сиг­ нал и определяется сигнал, возвращающийся в а (при этом сигнал на входе графа полагают равным нулю). Разность между посланным единичным сигналом и возвратившимся сигналом и является об­ ратной разностью.

Значение возвратившегося сигнала может быть найдено через передаточную функцию контура по отношению к элементу «к». Эта

199

Отсюда получаем формулу для расчета обратной разности FK относительно параметра «к»:

образом:

1. На этой ветви ставят точку, образуя дополнительный или внутренний узел и именуют его (скажем, узел а). Значения передач

Рис. ІѴ-78. Определение обратной разности с помощью сигнального графа:

а — исходный граф; б — граф с разорванной ветвью.

передач было равно передаче ветви до разделения ее на две части.

2. Расщепляют внутренний узел а на узлы а и а ' и из узла а' посылают сигнал, равный единице, при отсутствии сигнала на входе всего графа (xt = 0).

Отношение сигнала, возвращающегося к узлу а, отнесенное к сигналу, который выходит из узла а ', представляет собой контур­ ную передачу ветви.

Таким образом, контурная передача ветви является контурной передачей относительно вновь образованного узла в этой ветви. Так, для графа, показанного на рис. ІѴ-77, в, контурную передачу относительно ветви к находим, образуя дополнительный узел 3. Расщепляем его на узлы 3' и 3 и получаем отношение сигнала, воз­ вращающегося к узлу 3, к сигналу х 3>= 1, который выходит из узла 3' (рис. ІѴ-79).

Принимаем, что разделенная на две части ветвь к имеет передачи

к и 1 (к-1 = к):

1с к

Следовательно,

200

Обратная разность FKотносительно данного параметра (элемента) «к» есть количественная мера обратной связи вокруг этого элемента (параметра). Например, в одноконтурном сигнальном графе ХТС, показанном на рис. ІѴ-80, обратной разностью относительно пара­ метра «к» является величина FK= 1 — к ß. Как количественная мера обратной связи, обратная разность FKне только характеризует

влияние обратной связи на коэффициент передачи и чувствительность ХТС, но также служит основой для анализа устойчивости системы.

Рассмотрим понятие н у л е в о й о б р а т н о й р а з н о ­ с т и . Нулевой будем считать обратную разность, определенную при

Рис. ІѴ-81. Определение нулевой обратной разности с помощью сигнального графа:

а — исходный граф; б — этапы преобразования графа.

такой установке входного сигнала, которая обеспечивает нулевой выходной сигнал. Так, в графе, приведенном на рис. ІѴ-81, а, нулевая обратная разность относительно параметра «к» находится следующим образом (см. рис. ІѴ-81, б). При посылке из а ' единич­ ного сигнала хь — кі. При этом необходимо, согласно определению нулевой обратной разности, иметь:

То—хЬ^Ь0 1' —0—

Следовательно

Нулевая обратная разность выразится соотношением:

201

Поясним структуру универсальной топологической формулы, ис­ пользуя понятие обратной разности.

Положим, что некоторый граф содержит 1,2, . . ., п узлов. Уда­ лим из него все узлы номеров (т + 1), (т + 2), . . ., п вместе с при­ надлежащими им ветвями. В оставшемся графе будет т узлов. Пу­ тем последовательных преобразований сведем его к остаточному гра­ фу с узлами (т — 1) и т (рис. ІѴ-82). В этом графе ветви а, Ь, с и d выражают результирующие связи между узлами (т — 1) и т исходного графа. Истоки и стоки исходного графа при этом не учи­ тываются, так как остаточный граф будет служить лишь для подсчета обратной разности.

Найдем частичную обратную разность D'Kкак обратную разность для узла к. При определении ее примем во внимание только первые

Он может быть выражен в виде произведения частичных обратных разностей для всех узлов графа, подсчитанных при игнорировании узлов более высоких номеров. Поскольку каждая частичная об­ ратная разность D'K по структуре такова, что состоит из 1 минус контурная передача к-узла, то определитель графа Д равен 1 плюс алгебраическая сумма произведений передач различных ветвей.

Однако произведение передач различных ветвей не может содер­ жать произведения передач соприкасающихся петель обратной связи. Это утверждение основывается на том, что определитель графа Д должен быть линейной функцией передачи любой ветви графа (граф эквивалентен системе уравнений, линейной относительно лю­ бого параметра).

Допущение, что в Д могут входить произведения передач сопри­ касающихся ветвей, противоречит тому, что передача любой ветви графа должна входить в Д в первой степени. Действительно, если

202

допустить, что в А могут входить произведения передач петель, каждая из которых проходит через ветвь к (это равносильно тому, что в одну петлю входит ветвь с передачей ка, а в другую петлю ветвь с передачей кЪ), то А зависело бы от квадрата передачи ветви к (т. е. от к), что невозможно. Но если в А не может быть произведений передач соприкасающихся петель обратной связи, то такие произве­ дения отсутствуют и в определителях подграфов Ак в числителе формулы (IV, 39), поскольку каждый член А есть член некоторого подграфа Лк.

Графы с несколькими источниками

Для решения сигнального графа при одном источнике в случае, когда необходимо найти передачу Tis между вершиной-источником і и вершиной-стоком s или источником и зависимым узлом графа, непосредственно пользуются топологической формулой, так как лю­ бой зависимый узел можно преобразовать в сток.

Рассмотрим теперь задачу определения передачи между двумя зависимыми узлами графа, когда непосредственное применение формулы (IV,39) невозможно. Передачу N pq между зависимыми уз­ лами сигнального графа р и q находим таким образом:

Вычисляя теперь по формуле (IV,39) передачи Тір и Тід, получим:

п

Топологическая формула (IV,39) справедлива для графа с одним источником, однако никаких принципиальных трудностей не возни­ кает в ее обобщении на графы с несколькими источниками.

Для решения сигнального графа с несколькими источниками воз­ можны два способа, причем первый целесообразно использовать в том случае, если требуется находить значения переменных, а вто­ рой — значения передач. По первому способу нужно применить топологическую формулу для каждого источника и результаты вы­ числений сложить. По второму способу надо преобразовать граф с несколькими источниками в граф с одним источником. Такое пре­ образование показано на рис. ІѴ-83.

Граф (рис. ІѴ-83, а) имеет два источника: х 1 и хъ. Необходимо найти, например, ТѴ41. После добавления ветви х г — хь с передачей 1/х1 (рис. ІѴ-83, б) получаем равносильный граф, который, однако, содержит лишь один источник. Используя правило объединения последовательных однонаправленных ветвей, находим граф, изо­ браженный на рис. ІѴ-83, в. Графы на рис. ІѴ-83, а и ІѴ-83, в

203

равносильны, поскольку составляющие переменной х 3 одинаковы. Совпадение переменных в других узлах очевидно, так как^сигналы в этих узлах не изменялись.

в

Рис. ІѴ-83. Эквивалентное преобразование сигнального графа с несколькими источниками (а) в граф с одним источником (б, в).

После получения графа с одним источником можно, применяя топологическую формулу, найти необходимую передачу. Если граф имеет более двух источников, указанную операцию следует проде­ лать по отношению ко всем источникам.

Пример ІѴ-27. Для сигнального графа, представленного на рис. ІѴ-84, а, определить передачу ТЬг.

Рис. ІѴ-84. Эквивалентное преобразование сигнального графа с не­ сколькими источниками (а) к сигнальному графу с одним источником (б).

Данный сигнальный граф сведем к графу с одним источником (рис. ІѴ-84, б) и используем топологическую формулу:

204

Пример ІѴ-28. Для ячеечной математической модели с застойными зо­ нами (п = 2), описывающей процесс функционирования насадочного абсорбера, с применением топологической формулы определить передаточные функции по

стойными зонами (ге-ая ячейка) для процесса абсорбции в на­ садочной колонне.

представлена на рис. ІѴ-85. Этой модели соответствует следующая система уравнений

L (хп+і — х п) + К у Н {y'n — m xn) = h LH - ^ -

Преобразуем систему уравнений (1) по Лапласу и определим передаточные функции, связывающие концентрации жидкости и газа на входе в ячейку и вы­ ходе из нее:

Из этого же уравнения получим:

К у Н у п = (hLH p + K Y H m + L ) хп

205

Из третьего уравнения системы (2) определим величину W3 (р) = y'Jxn:

KvHmxn^(h GHp+G + KvH)yn

Ку Hm

~ ^ W 3(p) = hqHp -f“ А VH -J~ G

При воздействии по расходам потоков газа и жидкости используем сле­

ческие выражения передаточных функций по каналам «концентрация газа на выходе — концентрация газа на входе» (Wy-y) и «концентрация газа на выходе — расход жидкости на входе» (Wy_jy.

для га= 1

2 0 6

Рассчитаем численные значения полученных передаточных функций для следующих значений параметров и переменных процесса абсорбции в насадочной

Рис. ІѴ-87. Сигнальный граф ячеечной модели с застойными зонами п = 2 (а) и п = 3 (б) для процесса абсорбции в насадочной колонне.

Подставляя эти значения параметров и переменных процесса в выражения для передаточных функций, получим:

для п— 1

207