книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

_ х^(і) = <рхг (і/

a

Рис. IV-68. Операторная схема XTC (а), соответствующий ей нормализованный сигнальный граф (б) и этапы преобразования этого графа (в — д).

превращения протекает реакция первого порядка с константой скорости к; коэффициент функциональной связи оператора разделения ф = x j x 2.

Составим систему уравнений материального баланса данной ХТС:

абсорбционной колонны с помощью эквивалентных преобразований сигпальпого графа этого аппарата. Чтобы полностью описать динамические режимы колонны, необходимо иметь четыре уравнения, выражающие зависимость состава газа

функционирования абсорбционной колонны используем следующие допущения: 1) количество газа над тарелкой мало по сравнению с количеством находящейся на ней жидкости; 2) эффективность тарелки 100%; 3) соотношение между равновесными составами газа и жидкости выражается уравнением Y n = mXn + + 6; 4) количества жидкости на всех тарелках одинаковы; 5) тепловым эф­ фектом процесса абсорбции пренебрегаем.

В случае неустановившегося режима материальный баланс переносимого" компонента для n-ой тарелки может быть записан следующим образом:

„SQn . , dQn

18»

где g a l — отклонения расходов газа и жидкости от установившихся значений;

Из выведенного уравнения могут быть получены четыре уравнения, связы­ вающие регулируемую величину Yn с одной из независимых переменных g, I, уі и хі, смотря по тому, какая из них фактически изменяется. Когда g = I =

Уп S

лонны газа и составом поступающего в нее газа. Уравнение (4) превращается в уравнение (рис. ІѴ-69):

* = Gyn-i~\-LxnJrl— Gyn^L x n (5)

Положим, что начальные условия при t = 0 будут: хп = уп = 0, а соотно­ шение между составами газа и жидкости представляет собой линейную зави­ симость. Следовательно

dYn

Уп=—^ - х п=тхп

Преобразуем уравнение (5) и подставим в него соотношение, соответствующее равновесному состоянию

Введем обозначения: Gm/L = X и hjL = а. Затем преобразуем уравнение <6), используя принятые начальные условия:

Ул+і— (1 + X-j-as) уп-\- Хул-і=0

Пусть (1 -f- X + as) = с, тогда справедливо уравнение:

Ул+і = сУп"г Хул-і= О

Для верхней тарелки колонны имеем следующее уравнение материального

баланса:

dxt

190

Подставляя значения xD = у\, уі — тхх и D = G — L в уравнение (7), получаем:

газа равен y t) в вершине у 2 имеем, что у 2 = — Уі Н---- у3. После эквивалентных

Рис. ІѴ-70. Преобразование сигнального графа, соответствующего урав­ нениям материального баланса на верхней тарелке абсорбционной колонны:

а — исходный граф; б—г — этапы преобразования графа.

Теперь выведем уравнения, связывающие состав выходящего газа с изме­ няющимися расходами. Можно предположить, что изменение расхода мгновенно проходит через колонну. Тогда ац, уі и I равны нулю, и уравнение (4) превра­ щается в следующее выражение:

Это уравнение после введения в него величин а, Я и с и преобразования Лапласа принимает вид:

-JJ (Y/i-i— Yn) éf+2/n+i+ Я?/п-і= суп

Из условия установившегося состояния вытекает соотношение

^ -(У „ -1- У я)= Я » -^ (У / - У 1)

Примем, что m/L (Y і — Y x) = ß, тогда

19*

Уравнение (И) может быть представлено в виде сигнального графа, изображен­ ного на рис. ІѴ-71, а. Точки уп характеризуют состав газа, уходящего с ге-ой тарелки.

Сигнальный граф (рис. ІѴ-71, а) изображает процесс распространения сигналов для трехтарельчатой колонны. Изучение этого рисунка показывает, что с увеличением числа тарелок представленный граф расширяется простым добавлением подобных контуров.

эквивалентного преобразования сигнального графа, построенного по структур­ ной блок-схеме системы.

Технологическая схема ХТС (рис. ІѴ-72, а) содержит два основных эле­ мента: абсорбер и регенератор, связанные между собой контуром циркуляции абсорбента, и ряд вспомогательных аппаратов (теплообменники, скруббер-ох­ ладитель и т. д.), которые обеспечивают непрерывное и более экономичное ве­ дение процесса.

В технологической схеме ХТС абсорбер и регенератор через контур цирку­ ляции раствора связаны параметрически по каналам температуры t, расхода

192

X

б

Рис. ІѴ-72. Технологическая схема (а) и структурная блок-схема (б) ХТС одно­ поточной моноэтаноламиновой очистки синтез-газа от двуокиси углерода:

КГ — конвертированный газ; HP — насыщенный раствор; РР — регенерированный раствор; ПГС — парогазовая смесь; П •— пар; К — конденсат; Ф — флегма.

13 Заказ 4 13

раствора L и содержания двуокиси углерода х в растворе моноэтаноламина (МЭА). На основе связей параметров процесса в технологической схеме и принятых динамических моделей отдельных аппаратов на рис. ІѴ-72, б пред­ ставлена структурная блок-схема ХТС в целом.

Основные обозначения, приведенные на блок-схеме: L — расход раствора МЭА; G — расход неочищенного газа; Q — расход пара в кипятильнике; У — концентрация С02 в неочищенном газе; У0 — концентрация С02 в очищенном газе; X — концентрация С02 в растворе МЭА; t — температура раствора МЭА;

Из анализа технологической схемы и структурной блок-схемы ХТС следует, что: все параметры системы по характеру воздействия можно условно разделить на внутренние (X, t) и внешние (G, У, С, Т, L); в блок-схему входят перекре­ стные обратные связи; все параметры системы взаимосвязаны. Например, изме­ нение любого из внешних воздействий абсорбера даст реакцию на выходной параметр через передаточную функцию колонны и «последействие» через контуры внутренней обратной связи.

На рис. ІѴ-73, а представлен сигнальный граф, соответствующий структур­ ной блок-схеме ХТС. Источниками на исходном графе являются все параметры внешних воздействий (G, У, Q, Г и А), а стоками — переменные внутренних связей процесса и основной выходной параметр У0 (содержание двуокиси угле­

где обозначения приняты в соответствии с преобразованиями исходного графа

(см. рис. ІѴ-73).

Т о п о л о г и ч е с к а я ф о р м у л а д л я р е ш е н и я с и г н а л ь н ы х г р а ф о в ХТС

Как уже ранее отмечалось, сигнальные графы можно решать путем составления, а затем решения соответствующих данным гра­ фам систем линейных уравнений ХТС. Одной из привлекательных сторон теории сигнальных графов является возможность решения графов непосредственно, без составления систем уравнений. Эта возможность может быть реализована двумя методами.

Первый метод состоит в том, что исходный сигнальный граф с по­ мощью описанных ранее правил эквивалентных преобразований сводится к конечному графу (рис. ІѴ-74), который состоит из одного источника и одного стока. Однако указанный метод может оказаться

неудобным, так как для определения значений переменных во всех вершинах сигнального графа его необходимо столько раз приводить к конечному графу, сколько имеется зависимых вершин.

Второй метод открывает возможность непосредственно по топо­ логическим свойствам сигнального графа сразу составить выраже­ ния для его решения на основе применения универсальной тополо­ гической формулы. Прежде чем перейти к рассмотрению указанной формулы, еще раз уточним некоторые понятия (см. также стр. 117).

П р я м о й п у т ь Р{ — это путь вдоль ветвей графа от источ­ ника к стоку, при прохождении которого ни один из узлов не встре­ чается более одного раза. П е р е д а ч а прямого пути равна про­ изведению передач ветвей этого пути. Между источником и стоком

изведению передач ветвей, образующих этот контур или петлю. Каждую совокупность контуров и петель можно дополнительно характеризовать признаком, определяемым термином

Здесь р — комплексная частота (оператор Лапласа); Р{ — пере­ дача /-го прямого пути от источника і к стоку s; п — число прямых путей; Д — определитель сигнального графа, выражающийся в об щем виде формулой:

где 2А?»і — сумма передач всех контуров и петель обратной связи данного сигнального графа; Ьш — произведение передач т-ой воз­ можной комбинации передач из г несоприкасающихся контуров и петель обратной связи (г ^ 2); А/ — минор определителя сигналь­ ного графа, значение которого равно значению определителя А для подграфа, не касающегося /-го прямого пути.

196

Заметим, что предварительные выкладки, связанные с нахожде­ нием значений Р Ау и Д и предшествующие получению формулы (IV, 39), довольно трудоемки. Однако они систематизированы до такой степени, что превращаются в чисто формальные операции, в результате чего в значительной стенени уменьшается возможность субъективных ошибок.

Пример ІѴ-25. Выписать все контуры и пути, начинающиеся в источнике хг

сигнального графа, изображенного на рис. ІѴ-75. Проанализировать касание

изображенных на рис. ІѴ-76, а, б, с применением универсальной топологи­

ческой формулы.

197