книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

приводить к снижению сложности графа, если он содержит несколько петель и не слишком много путей, параллельных инвертируемому пути.

х,а*х^с=хг

XgЬ d-х3

а

хг(/а)+х<,(~с/а)=х,

хз(/ь)+xs(~^/b)~хг

б

ZfQ^ Z^С= = Zg

X gb+ x3 d - x 3 - x 3

x3-xsd=x'g

X'UѴь) ~хг Xg ~X/fC=Xg

x'z(1/a)=x,

г

Рис. IV-57. Сравнение двух типов инверсии сигнального графа:

а — исходный граф; б — инверсия пути с сохранением узлов; в, г — инверсия пути с сохранением ветвей; 1—5, 2', 3', 2", 3" — номера узлов; здесь и да­ лее — xt , xz, . . ., xs, х '.ж ', зс^, ж" — сигналы в соответствующих узлах.

Если необходимо инвертировать путь, состоящий из нескольких ветвей, то, видимо, удобнее всего начинать инверсию со стороны старого источника, переходя от ветви к ветви в направлении старого стока.

Инверсия может быть несколько упрощена, если растянуть каж­ дый из узлов, не принадлежащих источнику в инвертируемом пути (рис. ІѴ-57). Чтобы растянуть у-ый узел, нужно расщепить его

178

на j-ый узел источника и j-ый узел стока и затем соединить расще­ пленные половины ветвью, которая имеет единичную передачу, направленную от )' к j.

Чтобы инвертировать путь (или контур), узлы которого растя­ нуты, необходимо изменить направление ветвей в этом пути, инвер­ тировать их передачи и просто изменить знаки передач других ветвей, концы которых касаются данного пути (или контура). Заме­

узловой сигнал х) равен х После инверсии значение сигнала х) должно быть обозначено по-другому, например х), так как оно уже не равно значению х;-.

Инверсии, показанные на рис. 1V-57, б, сохраняют соотношения, которые существуют между узловыми сигналами, но топология графа изменяется. Иверсии, изображенные на рис. 1V-57, г, сохраняют общую топологию графа, но узловые сигналы, которые помечены штрихами, изменяются. Соотношения между узловыми сигна­ лами, не помеченными штрихами, конечно, остаются неизмен­ ными.

Первый и второй типы инверсий можно назвать соответственно инверсиями, сохраняющими узлы и сохраняющими ветви. Инверсия, которая сохраняет узлы, сохраняет все узловые сигналы, тогда как инверсия, сохраняющая ветви, сохраняет расположение всех ветвей (но изменяет направления ряда ветвей). Для некоторых гра­ фов нет необходимости растягивать узлы, чтобы произвести инвер­ сию, сохраняющую ветви. В частности, если каждый узел имеет не более одной входящей и не более одной выходящей ветви, то граф уже обладает топологией, которая непосредственно пригодна для инверсии, сохраняющей ветви.

Структурные блок-схемы ХТС и систем автоматического регули­ рования химико-технологическими процессами обычно составляются в такой форме с операторами смешения, или с «точками суммиро­ вания» (где сходится некоторое число ветвей, но выходит только одна ветвь), и с операторами разделения, или с «точками разветвле­ ния» (где одна входящая ветвь разделяется на два или большее число выходящих путей). Сигнал, связанный с оператором смешения, или с «точкой суммирования», изменяется при инверсии, которая сохраняет ветви.

На рис. ІѴ-58 сравниваются два типа инверсии. На рис. ІѴ-58, а представлен первоначальный сигнальный граф, в котором путь аЪс нужно инвертировать. Инверсия, сохраняющая узлы этого пути, дает новый граф (рис. ІѴ-58, б), передача которого от источника да стока есть инверсия передачи (рис. ІѴ-58, а). Отношение узловых сигналов х г и х4 одинаково для инвертированного и исходного гра­ фов. Передача инвертируется в графе на рис. ІѴ-58, б просто потому, что роли источника и стока взаимно заменены. Граф на рис. ІѴ-58, в показывает результат инверсии, сохраняющей ветви, которая вы­ полнена после растяжения второго и третьего узлов.

Рис. ІѴ-58. Сравнение двух типов инверсии сигнального графа:

G исходный граф; б — инверсия пути с сохранением узлов; в — инверсия пути с сохране­ нием ветвей; г — граф с растянутыми (блокированными) узлами; д — инверсия контура bghd графа.

180

На рис. ІѴ-58, г представлен исходный граф с растянутыми вто­ рым, третьим и пятым узлами, что необходимо для инверсии контура bghd. Шестой узел имеет только одну входящую ветвь и поэтому не может быть растянут. На рис. ІѴ-58, д контур инвертируется, и передача от источника до стока вычислена для сравнения с преды­ дущими случаями.

Два типа инверсии сигнального графа отвечают всем возможным системам алгебраических уравнений ХТС, написанных в форме «при­ чина — следствие». Как только задача исследования ХТС сформу­ лирована в виде сигнального графа в соответствии с принципом «причина — следствие», любые другие формулировки этой задачи, выполненные на основе того же принципа (использующие такое же

і

6 6

Рис. ІѴ-59. Исходный сигнальный граф (а), ненаправленный циклический сигнальный граф (6) и его деревья (в, г).

число переменных), получаются непосредственно с помощью про­ цесса топологической инверсии данного графа.

Нормирование передач ветвей сигнального графа. Так как передача сигнального графа зависит только от передач путей или контуров, очевидно, что передачи ветвей могут быть" нормированы любым способом, поскольку такое нормирование не изменяет значений передач путей или контуров.

Нормирование позволяет характеризовать структуру передачи минимальным числом независимых параметров.

Для того, чтобы выяснить, какие ветви можно нормировать без изменения выражения общей передачи, нужно объединить все стоки и все источники в одну базовую вершину и пренебречь направлени­ ями всех ветвей, изображенных на рис. ІѴ-59, а. Другими сло­ вами, необходимо построить ненаправленный циклический граф (рис. ІѴ-59, б), соответствующий исходному сигнальному графу. Теперь построим произвольное дерево данного ненаправленного

(или к любому другому желательному значению), после чего передачи

181

остающихся ветвей всегда можно изменить так, чтобы восстановить первоначальные значения общих передач всех путей и контуров сиг­ нального графа.

Справедливость этой операции можно доказать на основе следу­ ющих рассуждений. Любая замкнутая цепь в графе, например xghi на рис. ІѴ-59, а, или уже представляет собой контур обратной связи, или может быть преобразована в контур обратной связи с по­ мощью инверсий (сохраняющих ветви) определенных путей или контуров графа. Ясно, что нормирование всех ветвей в контуре об­ ратной связи неизбежно изменяет его передачу. Одна из ветвей в контуре должна оставаться изменяемой, для того чтобы компенси­ ровать передачу первоначального контура, откуда вытекает требо­ вание, что нормированные ветви должны образовать дерево. Построе­ ние циклического графа гарантирует в том, что по крайней мере одна

bcdi

ветвь в каждом пути от источника до стока будет изменяться так, что можно сохранить первоначальные значения общих передач путей.

На рис. ІѴ-59, а показан граф, а на рис. ІѴ-60, а, б — два из многих возможных способов, которыми определенные передачи ветвей исходного графа можно нормировать к единице без изменения выражения общей передачи от источника до стока.

Изменение направления сигнального графа. Выше было показано,

что инверсия пути от источника до стока дает новый граф, передача которого равна обратному значению передачи первоначального графа. Изменение направления сигнального графа представляет собой другое преобразование, которое можно применять, чтобы получить новый граф, имеющий такую яш передачу, как и заданный граф. Указанная операция выполняется с помощью изменения на­ правлений всех ветвей в графе. При этом каждая ветвь tJKзаменяется новой ветвью t]K и t'Kj = tjK. Для сигнального графа с одним источ­ ником и одним стоком изменение направления дает новый граф, передача которого от источника до стока равна передаче исходного графа. Инвариантность передачи от источника до стока очевидна, так как изменение направления приводит к новому графу, имеющему такие же топологические характеристики, как и исходный граф.

На рис. ІѴ-61, а показан первоначальный граф, а на рис. ІѴ-61, б — граф с измененным направлением. Отсюда видно, что, хотя передача

182

от источника до стока не изменилась после изменения направления, соотношения между сигналами в промежуточных узлах вообще пол­ ностью меняются после изменения направления.

Изменение направления сигнального графа эквивалентно транспо­ нированию матрицы его ветвей (t'Kj = tjK). Следовательно, матрица передачи сигнального графа также транспонируется путем изменения направления графа. Иначе говоря, [Т^;] = [Т;к].

Расщепление узла. Операция расщепления (блокировки) узла применима к смешанным узлам и заключается в разложении такого

Рис. IV-61. Изменение направления сигнального графа:

а — исходный граф; б — преобразованный граф.

узла на два, один из которых является источником, а другой — сто­ ком. В новый сток собираются все входящие в первоначальный узел ветви, из нового источника исходят все исходящие ветви. Поскольку переменная в каждом узле определяется только входящими ветвями и передачи ветвей не зависят от переменных, операция расщепления узла всегда допустима. Расщепление узла с петлей соответствует общему правилу.

Замечания к процессу эквивалентного преобразования сигнальных графов. Упрощение сигнального графа является средством, дающим возможность графически осуществлять логичную последовательность действий при решении совокупности совместных линейных уравнений, которые описывают поведение системы.

Сигнальные графы позволяют просто определить переменные ХТС (несущественные вершины или узлы), которые могут быть без боль­ ших затруднений исключены в начале анализа. На всем протяжении процесса упрощения инженер отчетливо представляет себе ту часть ХТС, с которой работает, а также соответствие между математиче­ скими действиями и реальной системой. Если первоначальный граф

183

наилучшим образом отвечает действительному прохождению сигна­ лов, то инженер хорошо понимает процесс функционирования ХТС.

Если ХТС, по существу, является последовательной комбинацией двух более простых подсистем, сигнальный граф может отметить ука­ занную эквивалентность и в тех случаях, когда это не отмечается системой совместных уравнений. Если сложному графу придается форма, которую можно разделить линией так, что все отрезки, пере­ секаемые ею, направлены слева направо, то ХТС может рассматри­ ваться как последовательная комбинация двух более простых под­ систем: одна слева от упомянутой линии, другая — справа. Это свойство графа, изображенного на рис. ІѴ-62, называется д е к о м ­ п о з и ц и е й сигнального графа.

Рис. ІѴ-62. Сигнальный граф двух последовательно соединенных подсистем ХТС.

Сточки зрения системы совместных уравнений сигнальный граф

вформе, допускающей декомпозицию, эквивалентен уравнениям такого вида, для которого определитель системы можно считать произведением определителей более низкого порядка.

Влюбом случае достоинства сигнальных графов, по существу, являются достоинствами графического способа изображения урав­ нений. Действия, которые не могут быть проделаны с сигнальными графами, нельзя выполнить и с уравнениями ХТС.

Граф на рис. ІѴ-63, б строится в результате учета передач путей от источни­ ков к стокам (см. рис. ІѴ-63, а) и последующего объединения расщепленных узлов. Этот же граф можно непосредственно получить из исходного (см. рис. ІѴ-63, а), заметив, что через устраняемые узлы 3 и 4 «проходят» следующие элементарные пути: от узла 2 к узлу 2 — efx2, от узла 2 к узлу 5 — edhx2\ от узла 5 к узлу 5 — ghxb.

Упрощения, показанные на рис. ІѴ-63, в пояснениях не нуждаются. Пример ІѴ-19. Осуществить операцию инверсии ветви с в сигнальных

графах, изображенных на рис. ІѴ-64, а, б.

Сигнальные графы с инвертированными ветвями с изображены на рис. ІѴ-64, в, г. В каждом случае необходимо инвертировать все ветви элементарного

имела ненулевые решения, необходимо выполнение следующих условий: 2h = 1

184

Рис. ІѴ-63. Упрощение сигнального графа расщеплением (блоки­ ровкой) узла:

а — исходный граф; б—а — этапы упрощения.

o-jcc

Рис. ІѴ-64. Инверсия ветви с в сигнальных графах:

а, б — исходные графы; в, г — преобразованные графы.

Рис. ІѴ-65. Приведение сигнального графа (а) к конечному (б).

и 4h~a= 1. Эти условия несовместимы, и, следовательно, система уравнений, представляемая графом, всегда имеет нулевые решения.

Рассмотренный граф приводит к конечному в виде замкнутого колтура (рис. ІѴ-65, б). Условие равенства единице передачи неустранимой петли выражается как

Только при выполнении указанного условия система, соответствующая данному графу, -имеет ненулевые решения.

Граф, изображенный на рис. ІѴ-66, а, можно упростить и привести к ко­ нечному. Переход от исходного графа к графу на рис. ІѴ-66, б сделан для исключения узла 2, от рис. ІѴ-66, б к рис. ІѴ-66, в — для исключения петель

Рис. ІѴ-66. Приведение сигнального графа к конечному:

а— исходный граф; б—9 — этапы приведения исходного графа к конечному.

вузлах 1 и 3, от рис. ІѴ-66, в к рис. ІѴ-66, г — для исключения узла 3 и,

наконец, от рис. ІѴ-66, г к рис. ІѴ-66, д — для исключения петель в узлах 1 и 4. Конечный граф представляет собой замкнутый контур с передачей, не равной единице, т. е. система, отвечающая графу, имеет только нулевые решения.

3. Исключаем сложный узел х 2. Пути хх — х5, хг — х4 и хі — хь должны быть преобразованы. Заметим, что путь из узла х4 в узел хь проходит не только

5.Преобразуем параллельные ветви между вершинами хх и хь (рис. ІѴ-67,е).

6.Исключаем узел хъ, принадлежащий петле I (рис. ІѴ-67, ж).

Пример ІѴ-22. Для ХТС, которая образована совокупностью технологиче­ ских операторов смешения, химического превращения и разделения, охваченных рециклом (рис. ІѴ-68, а), с помощью сигнального графа найти коэффициенты передач между переменными: Т4 = х2/х0 и Т.г = х3/х0. В операторе химического

186