книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

Сигнальный граф представлен на рис. ІѴ-41.

В. В проточном реакторе идеального смешения изотермически протекает химическая реакция:

Известны: 1) начальные концентрации компонентов реакции сА (0) = 0

Ч Г = 1 ( САн -<U )-(* ! + **> СА

Сигнальный граф проточного реактора идеального смешения представлен на рис. ІѴ-42.

Г. В проточном реакторе с мешалкой при Т = const протекает химическая реакция:

Известны: 1) начальные концентрации реагентов сА (0) = 1 и св (0) =

168

■5Г = Т ( Ч , ~ с^ )~ Ѵ а

CA = *‘ 1 Ф ( CA H - СЛ ) - S_1V A

Cb = —*_1Фсв + 8_1Ѵ а — S_1(A2 + A4) CB+ s' lft3cc

Cc = — S - 1 ( & C c - \ - S-^k^Cb — S~ lk3Cc

CD= —s-l®cB+ s-l^c^

Сигнальный граф проточного реактора с мешалкой представлен на рис. ІѴ-43.

Отметим следующие существенные различия между сигнальными графами и структурными блок-схемами ХТС:

1. Сигнальный граф детально отображает поведение системы; структурная блок-схема показывает вид связей различных элемен­ тов ХТС между собой.

2. Сигнальные графы весьма полезны при анализе сложных ХТС, при выводе основных соотношений теории обратной связи, а также при исследовании той роли, которую выполняет какой-либо отдель­ ный параметр во всей системе. Структурная блок-схема оказывает помощь при анализе характеристик элементов ХТС. После того как из результатов расчета становится известной структурная блок-схема системы, необходимо в отдельности реализовать коэффициенты функциональных связей отдельных блоков, входящие в матрицы преобразования соответствующих элементов. Применение сигналь­ ных графов обеспечивает гибкий метод определения большого разно­ образия технологических схем, эквивалентных данной системе. Таким образом, хотя общий метод синтеза для реализации заданной передаточной функции ХТС отсутствует, сигнальные графы значи­ тельно облегчают синтез системы.

3. Сигнальный граф и структурная блок-схема в простых ХТС могут давать тождественные результаты. Однако структурная блоксхема сложной ХТС может быть получена из сигнального графа пу­ тем его последовательного преобразования или решения.

169

4. Сигнальный граф обладает значительно большей гибкостью, чем блок-схема, так как дает возможность легко устанавливать связи между любыми переменными ХТС, учитывать обратные связи, дей­ ствие помех, а также определять чувствительность в любых точках ХТС.

Любой структурной блок-схеме ХТС можно поставить в соответ­ ствие сигнальный граф. Между его топологией и топологией струк­

W3

а

Рис. ІѴ-45.* Сигнальный граф ХТС (а); введение дополнительных единичных ветвей в исходный сигнальный граф (б).

направленная^ветвь схемы отвечает вершине сигнального графа, а блок — его направленной ветви.

На рис. ІѴ-44 показана линейная структурная блок-схема ХТС, а на рис. ІѴ-45, а изображен сигнальный граф, соответствующий этой блок-схеме. Однако в сигнальном графе (рис. ІѴ-45, а) нет вер­ шин, отвечающих переменным (координатам) системы х 2, хі и хь.

170

Кроме того, при отсутствии искусственно введенной в граф слева ветви с оператором «1» (единичная ветвь), входная вершина которой имеет значение /0, нельзя было бы четко показать источник графа. Искусственное добавление единичных ветвей позволяет вводить в сигнальный граф ХТС вершины, соответствующие недостающим промежуточным переменным системы. Благодаря введению допол­ нительных единичных ветвей в сигнальном графе (рис. ІѴ-45, б) появляются все переменные, имеющиеся в структурной блок-схеме. Такие же дополнительные единичные ветви вводят для обозначения выходных переменных ХТС.

Эквивалентные преобразования сигнальных графов. Основная задача анализа ХТС заключается в определении ее передаточной функции или полного коэффициента функциональной связи. При анализе системы уравнений ХТС решение может быть получено либо последовательным исключением переменных, либо с помощью мето­ дов линейной алгебры. В этих случаях быстро утрачивается связь между уравнениями и процессом функционирования реальной ХТС. Если анализ проводится посредством сигнальных графов, эту связь можно сохранить. После того как сигнальный граф для реальной ХТС составлен, его решают, чтобы найти передаточную функцию пли полный коэффициент функциональной связи в форме определе­ ния коэффициента передачи от источника к стоку графа. В процессе анализа ХТС с использованием сигнальных графов сложность графа последовательно уменьшают.

Ранее было показано, что для одной и той же системы уравнений ХТС можно построить множество равносильных сигнальных графов. Эти графы могут отличаться друг от друга топологией и передачами ветвей. Приведение графа одной топологии к равносильному графу другой топологии называют п р е о б р а з о в а н и е м графа. Как правило, граф преобразуют для упрощения его решения. Однако преобразование графа может преследовать и другие цели, определя­ емые условием задачи, например достижение большей наглядности и выявление существенности каких-либо отдельных ветвей.

Если результатом преобразования является граф, не допуска­ ющий исключений узлов, контуров и петель, он называется к о н е ч- н ы м. Для получения конечного сигнального графа необходимо располагать системой правил, позволяющих исключать узлы и петли исходного графа.

Следует отметить, что преобразование можно осуществлять не­ посредственно по графу или при помощи операций, выполняемых над матрицей [А], которая отвечает преобразуемому графу. Под­ вергшаяся изменениям матрица [А] будет соответствовать преобра­ зованному графу. В настоящей книге эти операции не рассматри­ ваются, а излагаются правила, позволяющие проводить преобразо­ вания непосредственно по графу.

Эквивалентное преобразование сигнального графа состоит в уст­ ранении некоторых его вершин с целью получения конечного графа, который обнаруживает функциональные связи только между

171

переменными ХТС, представляющими интерес для исследователя. Этот метод эквивалентного преобразования или упрощения сигнального графа отвечает методу последовательного преобразования системы уравнений ХТС путем исключения из уравнений нежелательных неизвестных. Переменную можно исключить, устранив из сигналь­ ного графа вершину (узел). Продолжая упрощения достаточно да­

Рис. ІѴ-46. Определение передачи последовательного соединения ветвей сигнального графа:

а — исходный граф; б — преобразованный граф.

Для эквивалентного преобразования или упрощения сигнальных

вив в последнее уравнение вместо х его эквивалент из предыдущего

п

сигнального графа называют такой узел, к которому в общем случае подходят (или уходят от него) несколько ветвей и который не входит

172

Сигнальный граф на рис. ІѴ-48, б эквивалентен графу на рис. ІѴ-48, а. Для графа на рис. ІѴ-49, а и эквивалентного ему графа на рис. ІѴ-49, б имеем:

х 5 — a x i - f - c x ^

х 2 = Ъ хъ = аЬх± -]- Ьсх,j

х3 — dxb= adx\ -j- dcx^

В общем случае при устранении простого узла из сигнального графа данный узел в графе не рисуется, а все пути, проходящие через этот простой узел, должны быть сохранены.

никакого значения, поэтому стрелки на ветви петли обычно не ри­ суются.

Граф на рис. ІѴ-50, а имеет петлю с передачей Т. Эту петлю мож­

173

Следовательно, исключение петли не изменяет числа вершин в графе, а передачи ветвей, входящих в вершину, при которой су­ ществовала петля, уменьшаются в (1 — Т) раз.

с

Рис. IV-51. Исключение контура сигнального графа:

а — исходный граф; б, в — преобразованные графы.

Для устранения контура в графе необходимо устранить любую одну вершину из этого контура. Для графа на рис. ІѴ-51, а имеем:

х г — arri + czj; х 3 = Ь х 2, x i = d x 3

Следовательно

х3= abxi + bcx3; = dx3

Рпс. ІѴ-52. Объединение нескольких петель сигналь­ ного графа в одну петлю.

х2^ ахг + Т гх2 + Т2х* + Т3х2 = ахг + ( Т 1+ Т 2+ Т3)х2 — ахі -f- Тх2

174

6. П е р е н о с к о н ц а в е т в и и з о д н о г о у з л а в д р у г о й (неполное исключение узла). На рис. ІѴ-53, а сигналь­ ный граф имеет два источника х г и ж4. Ветвь с передачей е может быть перенесена так, чтобы сигнал из ж4 попадал в х3, а не в х 2. Преобразо­ вание производится в три приема, показанные на рис. ІѴ-53, б—г. Первый прием заключается в растяжении узла х 2 или в нахождении новой узловой точки х'%, в которой оканчиваются ветви с передачами Ъ и а. Переменная х2 определяется уравнением: іх 2 = х 2 — ея4, переменная х 2 при этом не изменяется.

|Вторым приемом начало ветви х 2хъперемещается в узловую точку х2.Однако из приведенного уравнения следует, что х2’ не содержит

Рис. ІѴ-53. Неполное исключение узла сигнального графа:

а — исходный граф; б—г — этапы преобразования графа.

всех сведений, имеющихся в х 2. Для того чтобы сохранить прежнее значение xs, на рис. ІѴ-53, в необходимо добавить ветвь, идущую от £4 непосредственно в хъ. Точка хъявляется некоторой узловой точкой, принимающей ветвь из х 2. Следовательно, если в первоначальном графе имеется ветвь от х 2 и ж4,то дополнительная ветвь, изображенная на рис. ІѴ-53, в, образует в точке ж4 собственную петлю.

Последний шаг заключается в ликвидации узловой точки х 2, как показано на рис. ІѴ-53, г.

Таким образом, если в первоначальном графе (см. рис. ІѴ-53, а) имеется ветвь, выходящая из х 2и приходящая в х3, перемещение кон­ ца ветви е является простой операцией, требующей лишь нового

точки х 2 в узловую точку х3. При этом кроме новой ветви х3хі с пере­ дачей hd появляется ветвь х 1хі с передачей ad и петля в точке хА с передачей ed.

175

Равносильность графов на рис. ІѴ-54, а, б следует из эквивалент­ ности узловых сигналов в соответствующих узлах этих двух графов. Для графа на рис. ІѴ-54, а имеем:

Для графа на рис. ІѴ-54, б находим:

Рис. ІѴ-54. Перенос начала ветви сигнального графа:

а, б — этапы преобразования графа.

источник и сток графа ХТС. Ранее говорилось, что информация, содержащаяся в графе, эквивалентна информации в некоторой сис­ теме уравнений. Пусть имеется уравнение

Этому уравнению отвечает сигнальный граф (рис. ІѴ-55, а), в ко­

Последнему уравнению соответствует граф (рис. ІѴ-55, б), в ко­ тором осуществлена инверсия прямого пути по сравнению с исход­ ным графом (см. рис. ІѴ-55, а).

Для перехода от исходного сигнального графа к инвертирован­ ному графу необходимо:

а) изменить направление всех ветвей прямого пути или контура на противоположное;

176

I [б) изменить передачи всех ветвей, находящихся на пути (или принадлежащих контуру) от новой причины к новому следствию* на обратные;

Рис. ІѴ-55. Исходный сигнальный граф (а) и граф, в котором осуще­ ствлена инверсия прямого пути (б).

в) перенести конец ветви, соединяющей узлы, не являющиеся причиной и следствием или не принадлежащие прямому пути (контуру),в узел, в который переносится инвертируемая ветвь, оставив начало ее в старом узле. Передача этой ветви умножается на вели­ чину— 1/а, где а — коэффициент передачи инвертируемой ветви*

Рис. ІѴ-56. Примеры (а—г) инверсии прямого пути сигнального графа.

Коэффициент передачи инвертированного пути (контура) являет­ ся обратной величиной коэффициента передачи исходного прямого пути (контура). Инверсия любой ветви некоторого прямого пути (кон­ тура) вызывает инверсию всего рассматриваемого пути (контура).

Примеры инверсии прямого пути от источника к стоку даны на рис. ІѴ-56, а—г. В первом из этих примеров сложность исходного сигнального графа снижается, так как в инверсном графе полно­ стью исключаются все контуры. Инверсия может, таким образом,