книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

ТАБЛИЦА IV-2

Определение числа степеней свободы и выбор оптимизирующих информационных переменных XT С

Рис. IV-28. Информационно-пото­ ковый мультиграф экстракцион­ ной системы:

w8=.w'f= w'; w,„ = w;0= u"0;

[i] —единичный информационный опе­ ратор .

148

Нужно отметить, что узел, отвечающий информационному оператору тепло­ обменника на мультиграфе, оказался за пределами контура, образуемого инфор­ мационными потоками Wg — Wg — W[0. Это объясняется тем, что температура <п как регламентированная переменная обеспечивается соответствующим выбором свободных оптимизирующих ИП (д3 — массовый расход хладоагента и к — конструкционный тип теплообменника), которые не зависят от внутренних условий функционирования системы. В этом случае удачный выбор свободных ннформационных переменных ХТС позволил провести анализ функционирования теплообменника, находящегося в замкнутом контуре физических потоков си­ стемы Lg — Lg — L l0 — Lu, вне контура информационных потоков ХТС, что значительно упрощает вычислительные процедуры решения задачи анализа II оптимизации проектируемой системы.

Правильная инверсия направления ветвей информационно-по­ токового мультиграфа ХТС с целью оптимизации стратегии иссле­ дования системы возможна лишь на основе глубокого понимания физико-химической сущности технологических процессов и выпол­ нения требований технологических условий, при которых функцио­ нирует система.

w10 — w' — Wg — w;.

Рис. IV-29. Преобразованный информационно-потоковый мультпграф экстракционной ХТС.

Если в качестве оптимизирующих проектных переменных выбрать инфор­ мационные переменные Wg и ИД0 = W[0 = Wj0, то в информационно-пото­ ковом мультпграфе (см. рис. ІѴ-28) должны появиться два новых источника (;7 и г8). В этом случае для сохранения общего значения числа степеней свободы ХТС (Fс = 12) необходимо осуществить инверсию ветвей Wg, W10и # 4 и обра­ зовать два новых стока s4 и s5. Указанным преобразованиям отвечает новый информационно-потоковый мультиграф (рис. ІѴ-29).

Согласно этому мультиграфу, элементы ХТС теоретически могут быть рассчитаны в строго соподчиненном порядке: экстрактор, смеситель, отпарная

149

колонна, теплообменник. Однако проведенная инверсия ветвей информационно­ потокового мультиграфа (см. рис. ІѴ-28) не может быть практически выполнена, так как она не соответствует ТУ и физико-химической сущности технологиче­ ского процесса в отпарной колонне. В результате предполагаемой инверсии ветвей (см. рис. ІѴ-29) невозможно определить тепловой расход греющего пара Ні при заданных расходах питания Wg и растворителя W^0.

В дальнейшем будет приведен алгоритм для осуществления ин­ версии направления ветвей информационно-потоковых мультигра­ фов ХТС.

Информационные графы ХТС

Граф, множество вершин которого можно разделить на два непересекающихся подмножества так, что вершины одного и того же подмножества не соединены между собой ветвями, называют д в у ­ д о л ь н ы м или д в у с т о р о н н и м .

Двудольный информационный граф (ДИГ) системы уравнений математической модели ХТС отражает структуру этой системы уравнений, которая характеризуется связью между информацион­ ными переменными и уравнениями, т. е. расположением ИП в урав­ нениях математической модели ХТС.

ДИГ имеет множество вершин М , состоящее из двух непересекающихся подмножеств — подмножества / ’-вершин, каждый эле­ мент которого соответствует уравнениям или информационным свя­ зям математической модели ХТС, и подмножества я-вершин, отвеча­ ющих информационным переменным ХТС. Ветви графа отображают связь между уравнениями и информационными переменными.

Между вершиной двудольного графа Xj £ X и информационной переменной Xj математической модели ХТС существует взаимноод­ нозначное соответствие, что позволяет одинаково обозначать соот­ ветствующие переменную и вершину графа. Аналогично имеется

образом, для ДИГ математической модели ХТС справедливы следу­ ющие соотношения:

F\JX = M

(IV,22)

F f ) X = 0

В н е о р и е н т и р о в а н н о м ДИГ ребрами соединяются лишь вершины, принадлежащие разным подмножествам, т. е. в графе существуют только ребра двух типов: (Д; xj) или (хр fK). Вершина ft соединяется с вершиной Xj, если информационная переменная х;- явно входит в уравнение //. Каждому ДИГ системы уравнений мате­ матической модели ХТС можно поставить в соответствие матрицу смежности [S] = [S/Д, строки которой будут отвечать/-вершинам, а столбцы — х-вершинам. Если //-вершина связана ребром с а^-вер- шиной, то элемент s{j = 1, в противном случае — нулю. Эта матрица отличается от матрицы смежности обычного графа, в котором все вершины принадлежат одному множеству, только тем, что в ней

150

строки соответствуют одному подмножеству вершин, а столбцы — другому подмножеству, поскольку по определению вершина тина Xj может быть связана ребром только с вершиной типа ft и наоборот.

Перечислим некоторые свойства ДИГ:

1.Любая цепь графа, концами которой являются не принадле­ жащие к одному подмножеству вершины, содержит равное число вершин типа / и типа х.

2.Контур такого графа содержит равное число /-вершин и ж-вер-

шин.

Пример ІѴ-10. Построить неориентированный ДИГ системы уравнений математической модели ХТС вида

/і(* і, х2, х3) = 0

f3 (xv хъ, з"6) = 0

и составить матрицу смежности построенного неориентированного ДИГ, а также определить стеиешКвершин графа.

Рис. ІѴ-30. Неориентированный двудольный информационный граф системы уравнений (а).

Неориентированный ДИГ системы уравнений (а) представлен на рис. ІѴ-30. Матрица смежности, отвечающая этому ДИГ, имеет следующий вид:

Степени вершин неориентированного ДИГ соответственно равны:

Р (/і) = Р (/г) = Р (/з) = 3; р (*і) = р (*3) = р (х5) = 2;

Р Ы = Р (ч) = Р (ч) = 1

Для получения алгоритма решения системы уравнений матема­ тической модели ХТС исходный неориентированный ДИГ ориенти­ руют следующим образом. Если информационную переменную xt рассматривают как выходную переменную //-уравнения модели, то ветвь ДИГ, соединяющую //- и ж,-вершины графа, ориентируют из вершины // к вершине xt. Все другие ветви, инцидентные //-вершине, направляют к этой вершине графа. На основе свойства разреши­ мости системы уравнений математической модели ХТС очевидно, что каждая //-вершина ДИГ может иметь только единственную выходя­ щую ветвь, а каждая ж,-вершина — лишь одну входящую ветвь.

151

Вершина хк, соответствующая свободной информационной перемен­ ной ХТС, имеет только выходящие ветви в ДЙГ.

При определении базисных информационных переменных ХТС над о р и е н т и р о в а н н ы м ДИГ можно осуществлять следу­ ющие преобразования:

1.Вершина xt £ Z, отвечающая свободной ИП, может быть ис­ ключена из графа вместе со всеми выходящими ветвями, инцидент­ ными этой вершине.

2.Если вершина /;- — висячая, т. е. ей инцидентна лишь одна выходящая ветвь (Д; хк), то базисная информационная переменная ХТС хк определяется однозначно.

Вершину Д и вершину хк в соответствии с преобразованием «1» можно удалить из ДИГ, а также удалить все ветви, инцидентные этой вершине хк.

3.Если вершина х( — висячая и не отвечает свободной информа­ ционной переменной ХТС, то она имеет единственную входную ветвь, инцидентную некоторой / г вершине. Вершины xt и /■, а также

инцидентную этим вершинам ветвь графа (Д; xt) можно удалить из ДИГ. Наличие в ориентированном ДИГ замкнутого контура ука­ зывает на то, что /^вершины, принадлежащие этому контуру, отве­ чают уравнениям, входящим в совместно замкнутую подсистему.

Пример ІѴ-11. Построить ориентированные ДИГ, соответствующие неориен­ тированному ДИГ, который изображен на рис. ІѴ-30, для трех вариантов^ наборов свободных информационных переменных ХТС:

В первом варианте свободными являются переменные ац, х3 и і 5, попарно^ входящие в каждое уравнение математической модели ХТС. В результате по­ строения получают ориентированный ДИГ, из которого ясно, что все три ура­ внения модели можно решать одновременно и независимо друг от друга, причем

Рис. ІѴ-31. Ориентированные двудольные информационные графы системы уравнений, соответствующие первому (а), вто­ рому (б) и третьему (в) вариантам наборов свободных переменных.

порядок решения не имеет значения с точки зрения оптимизации стратегии вычислительных процедур (рис. ІѴ-31, а).

Так как во втором варианте свободными ИП выбраны непарные переменные х2, xt и хе, то ориентированный ДИГ (рис. ІѴ-31, б) содержит замкнутый контур. Этот контур указывает на необходимость одновременного решения всех трех уравнений с проведением одной итерационной процедуры по любой из перемен­ ных xlt х3 пли хь. Стратегия решения уравнений модели стала неопределен­ ной.

152

В третьем варианте свободными ИП выбраны х и хй и яв, поэтому ориенти­ рованный ДИГ (рис. ІѴ-31, в) не содержит замкнутого контура. Стратегия решения системы уравнений математической модели ХТС в этом случае вполне однозначна: сначала решают уравнение xs относительно выходной переменной г6, затем — уравнение / 2 относительно выходной переменной х3, которую далее

ХТС отображает алгоритм решения этой системы, т. е. стратегию решения системы уравнений методами декомпозиции и разрывов при некотором определенном наборе выходных переменных модели ХТС. Информационный граф является ориентированным графом, вершины которого соответствуют уравнениям математической модели си­ стемы, источникам и приемникам информации, а ветви графа — ин­ формационным переменным ХТС.

Ветви, отвечающие z,-выходной переменной некоторого /(-урав­ нения математической модели ХТС, выходят из /г вершины инфор­ мационного графа, которая соответствует этому уравнению. Число ветвей, эквивалентных гг выходной переменной данного /-уравне­ ния, равно числу уравнений математической модели системы, для которых z, является входной переменной. Ветви, отвечающие сво­ бодным ИП, выходят из вершин, которые отображают источники информации.

В вершины, соответствующие приемникам информации, входят ветви, которые отображают базисные ИП системы, не являющиеся входными переменными ни для одного уравнения модели.

Каждому информационному графу системы уравнений математи­ ческой модели ХТС можно поставить в соответствие матрицу смеж­ ности [S*] с элементами:

О, в противном случае

Таким образом, матрица смежности [S*] отображает связь между уравнениями математической модели системы, которая осущест­ вляется через выходные переменные уравнений модели.

Информационные графы систем уравнений математических моде­ лей ХТС могут быть как ациклическими, так и циклическими.

А ц и к л и ч е с к и й информационный граф системы уравнений математической модели ХТС не содержит ни одного замкнутого кон­ тура и отвечает такой стратегии решения, при которой происходит декомпозиция системы на строго соподчиненные уравнения.

Ц и к л и ч е с к и й информационный граф системы уравнений математической модели ХТС содержит хотя бы один замкнутый кон­ тур и соответствует такой стратегии решения, при которой существу­ ет хотя бы одна совместно замкнутая подсистема уравнений. Каждой системе уравнений математической модели ХТС в общем случае может отвечать целое множество циклических информационных гра­ фов, которое определяется множеством возможных наборов свобод­ ных ИП и выходных переменных уравнений.

153

О п т и м а л ь н ы м циклическим информационным графом си­ стемы уравнений математической модели ХТС называют такой ци­ клический граф, для которого размер максимального замкнутого контура наименьший. Таким образом, оптимальность указанного графа характеризуется не числом замкнутых контуров, а их размером.

Пример IV-12. Для системы уравнений математической модели ХТС, рас­ смотренной в примере ІѴ-10, построить информационные графы, отвечающие двум вариантам наборов свободных информационных переменных

Построение графов (рис. ІѴ-32, а, б) проводим на основе анализа соответ­ ствующих ориентированных двудольных информационных графов, изображен­ ных на рис. ІѴ-31, б, в. Информационный граф системы уравнений математи­ ческой модели ХТС при наборе свободных информационных переменных х4,

б

а

Рис. ІѴ-32. Информационные графы системы уравнений, соответствующие второму (а) и третьему (б) вариантам наборов свободных переменных (здесь не представлены).

Сигнальные графы ХТС

При решении задач анализа и синтеза ХТС необходимо выявить взаимные причинно-следственные связи между переменными, характе­ ризующими процесс функционирования системы. С точки зрения

бытий, соединенных нричинно-следственными связями, следствие од­ ного события становится причиной другого события и можно считать, что вдоль цепи событий распространяется причинное воздействие. Эту идею можно и дальше развивать, обозначив все переменные ХТС независимо от их природы и размерности общим термином «сиг­ налы». В данном случае можно предположить, что сигналы проходят или распространяются вдоль ХТС.

Для выражения причинно-следственных связей между сигналами ХТС можно использовать метод иконографического моделирования с помощью с т р у к т у р н ы х б л о к - с х е м . Эффективность применения этого метода для анализа и синтеза ХТС зависит от уме­

154

ния правильно группировать физические компоненты и элементы системы в независимые блоки. Основное достоинство метода заклю­ чается в простоте, с которой можно оценить влияние различных составляющих систем на характеристику всей ХТС. Для наиболее полного использования указанного достоинства необходимо, чтобы составляющие блоки были настолько просты, насколько это допу­ скается требованием отсутствия взаимодействия между ними.

Однако метод структурных блок-схем имеет и недостатки, с ко­ торыми приходится сталкиваться при использовании его для ре­ шения задач анализа и синтеза ХТС. Рассмотрим некоторые из них:

1.Для сложных ХТС из совокупности уравнений, описывающих функционирование системы, трудно определить, какую группу эле­ ментов можно выделить в отдельный блок. Взаимодействие совокуп­ ности элементов между собой в общем случае не очевидно, в резуль­ тате чего структурная блок-схема системы часто содержит слишком мало блоков, каждый из которых имеет весьма сложную передаточ­ ную функцию.

2.После составления структурной блок-схемы теряется полно­ стью представление о прохождении сигналов внутри блока. Допол­ нительные передаточные функции, связывающие входной сигнал данного блока с другими сигналами внутри элементов, которые обра­ зуют блок, могут быть определены только при возвращении к сово­ купности уравнений, описывающих поведение всей ХТС.

3.Утрата представления о прохождении сигналов внутри блока является очевидным недостатком метода, если необходимо исследо­ вать влияние отдельного параметра элемента или системы на ха­ рактеристики и передаточную функцию ХТС в целом.

4.Сигналы между блоками представляют собой лишь небольшую специально выделенную часть из большого числа сигналов, дейст­ вующих в ХТС. Поэтому влияние возмущений, которые приложены

вточках, не совпадающих со входами блоков, должно анализиро­

ваться лишь посредством преобразования структурной блок-схемы таким образом, чтобы возмущение действовало между блоками или через искусственно введенный блок в точке, уже имеющейся в блоксхеме.

Перечисленные ограничения и недостатки метода структурных блок-схем Доказывают, что для анализа самых разнообразных про­ блем ХТС желательно иметь такую иконографическую модель систе­ мы, которая характеризует ее более детально, чем структурная блоксхема, с выявлением тонкой внутренней структуры системы или одного из ее элементов и вместе с тем сохраняет наглядное предста­ вление о прохождении сигналов через систему и отображает при­ чинно-следственные связи между сигналами. Такой иконографиче­ ской моделью являются сигнальные графы, наглядно отображающие причинно-следственные связи между сигналами ХТС.

Сигнальные графы принципиально упрощают определение функ­ циональных связей между переменными (сигналами), которые вхо­ дят в символическую математическую модель ХТС, представленную

155

в форме эквивалентной матрицы преобразования (см. гл. III). Основное достоинство сигнальных графов при их использовании для решения указанной задачи, помимо наглядности, состоит в том, что объем математических операций, которые нужно осуществить при нахождении соответствующих параметров ХТС с помощью фор­ мальных правил эквивалентного преобразования или универсальной топологической формулы, получается близким к минимальному. С точки зрения минимальности объема математических операций при анализе ХТС достоинства сигнальных графов особенно суще­ ственны в том случае, когда задачи анализа не настолько сложны, чтобы было целесообразно решать их с помощью ЭВМ, но в то же время такие задачи достаточно громоздки, если их решать методами линейной алгебры.

Символические математические модели выражают количествен­ ные соотношения между сигналами ХТС и не позволяют легко обна­ ружить особенности и характер причинно-следственных связей между сигналами. Использование сигнальных графов дает возмож­ ность совершенно различные по природе физико-химические про­

Сигнальный граф — это ориентированный граф, соответствующий линейным или линеаризованным системам уравнений математиче­ ской модели ХТС и отражающий причинно-следственные связи ме­ жду переменными (сигналами) системы. В е р ш и н ы сигнального графа отвечают сигналам ХТС, а в е т в и — коэффициентам или передаточным функциям, характеризующим связь между этими сигналами.

Таким образом, каждая ветвь сигнального графа отображает причинно-следственную связь между сигналами (переменными), об­ разующими начало и конец ветви, причем начало ветви истолковы­

зависимые (базисные) переменные ХТС.

Вершины сигнального графа, которым инцидентны как входящие, так и исходящие ветви, называются смешанными. С м е ш а н н ы е вершины, как и вершины-стоки, соответствуют зависимым перемен­ ным ХТС и называются з а в и с и м ы м и вершинами.

Построение сигнальных графов ХТС выполняют на основании следующих правил:

1. Сигналы передаются вдоль ветвей только в направлении их ориентации.

2. Сигнал, проходящий вдоль какой-либо ветви, умножается на передачу этой ветви.

3. Сигнал, изображаемый какой-либо вершиной, является сум­ мой всех сигналов, только приходящих в эту вершину (узел).

156

4.Значение сигнала, изображаемого какой-либо вершиной, пере­

дается по всем ветвям, выходящим из нее.

В соответствии с этими правилами значение сигнала в любой зависимой вершине сигнального графа определяется следующим образом (рис. ІѴ-34, а):

где хк — значение сигнала в к-ой вершине сигнального графа; і — 1, N —

число вершин сигнального графа, связанных выходящими ветвями с к-ым узлом;: акі — коэффициент передачи ветви, входящей в к-ую вершину.

Значение сигнала хк не зависит от выходящих из к-ой вершины ветвей графа.

Рис. ІѴ-34. Сигнальный граф (а) и разделение (блокировка) его смешанной вершины (б).

Смешанная вершина сигнального графа, выполняющая функции источника и стока, может быть разделена на две части (рис. ІѴ-34, б): вершину-сток (х®), объединяющую все входящие в данную вершину хк ветви, и вершину-источник (хк), инцидентную всем выходящим из данной вершины хк ветвям. Эти две вершины соединяются ветвью,, имеющей коэффициент передачи (или «передачу7» ветви), равный единице.

Ветви сигнального графа выполняют функции операторов и в этом смысле могут быть линейными и нелинейными. В общем случае ветвь может выполнять сложные линейные операции, описываемые ра­ циональными функциями комплексной переменной р. Сигнальный граф ХТС изображает системы уравнений в графической форме и со­ держит ту же информацию,что и представленная этим сигнальным графом система уравнений. Однако между сигнальным графом и си­ стемой уравнений не существует взаимно однозначного соответствия.

Связь сигнальных графов с системами уравнений и струк­ турными блок-схемами ХТС. Так как переменная (сигнал) в каждой вершине сигнального графа определяется уравнением (IV,24), сиг­ нальный граф соответствует (эквивалентен) системе алгебраических линейных уравнений

N

£=1

157