книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

В этих полюсных уравнениях R — параметр гидравлического сопротивле­ ния; G = 1/R — параметр гидравлической проводимости; с — параметр и cs — комплексная проводимость гидравлической емкости; L — параметр и Ls — комплексное сопротивление гидравлической индуктивности.

Полюсные уравнения для компонентов источников потока и давле­ ния записываются следующим образом:

<?(«) = <?о и Р (s) = P0

где Q0 и Р 0 — известные величины.

Полюсные уравнения компонентов ХТС при исследовании тепло­ вых процессов, включающие последовательную переменную — тепло-

Т (s) — гН («) или Н (s) = gT (s)

влических и тепловых двухполюсных компонентов определяются параметрами элементов и физических потоков ХТС (геометрические размеры, плотности жидкостей и газов, теплопроводности и удель­ ные теплоемкости веществ и т. п.).

Отметим, что в зависимости от целей исследования данной сис­ темы в общем случае системный компонент может не совпадать с «простым» элементом системы. Так, например, участок несжимае­ мого трубопровода, по которому движется упругая жидкость, можно представить как совокупность нескольких компонентов: гидравли­ ческого сопротивления, учитывающего потерю напора в трубопро­

138

воде; гидравлической емкости, отражающей неупругость стенок трубопровода; гидравлической индуктивности L, учитывающей эф­ фект инерционной массы в потоке жидкости. Параметры этих ком­ понентов определяют через параметры трубопровода и упругой жидкости.

Уравнения математических моделей и характеристики функцио­ нирования рассматриваемых ХТС можно получить из анализа топо­ логических свойств структурных графов.

Структурный граф — это совокупность полюсных графов ком­ понентов, которая образована в соответствии с соединением полюсов компонентов в системе. В е р ш и н ы структурного графа характе­ ризуют узловым значением параллельных переменных, т. е. значе­ нием параллельных переменных, измеренным относительно б а з о ­ в о й в е р ш и н ы графа. Последняя соответствует некоторой внешней базовой точке для параллельных измерений в ХТС (атмосфер­ ное давление; абсолютный нуль температуры). Каждой ;'-ой ветви структурного графа системы отвечают некоторая последовательная переменная у (t) и некоторая параллельная переменная хі (t). Значение этой параллельной переменной равно разности «узловых» значений параллельных переменных вершин данной ветви графа.

Каждая і-ая вершина графа (исключая базовую) обладает собст­

сумме комплексных проводимостей ветвей структурного графа (или полюсных компонентов), расположенных между данной и базовой вершинами, когда все остальные вершины графа замкнуты накоротко

д в у м я в е р ш и н а м и і и j равна сумме комплексных проводи­ мостей ветвей, расположенных между этими вершинами, когда все остальные вершины графа замкнуты накоротко с базовой вершиной.

К о м п л е к с н а я п р о в о д и м о с т ь ветви компонента источника параллельных переменных равна бесконечности (ветвь замкнута накоротко), а комплексная проводимость ветви компонента источника последовательных переменных равна нулю (разрыв ветви).

При исследовании тепловых и гидродинамических процессов в структурном графе ХТС для последовательных и параллельных переменных полюсных уравнений системных компонентов системы справедливы два типа уравнений, отражающих основные свойства этих переменных: уравнения вершин для последовательных перемен­ ных и уравнения циклов для параллельных переменных системы.

В каждой к-ой вершине структурного графа ХТС для последова­

139

где yj (£) — последовательная переменная, соответствующая /-ой ветви графа; / = 1, п — число ветвей графа; aKj — элемент матрицы инциденций графа.

Для каждого к-го цикла структурного графа ХТС при параллель­

Уравнения вершин и циклов структурного графа (IV,17) и (IV,18) отображают связь между полюсными переменными системных ком­ понентов ХТС. Символическая математическая модель системы пред­ ставляет собой совокупность независимых уравнений вершин и кон­ туров структурного графа (IV,17) и (IV,18) и полюсных уравнений системных компонентов (IV,16).

Пример ІѴ-4. Для исследования гидродинамических процессов в ХТС (рис. ІѴ-21, а) построить структурный граф и определить значения собственных и взаимных проводимостей узлов этого графа.

На основе анализа указанных процессов в рассматриваемой ХТС выделя­ ются следующие системные компоненты (рис. ІѴ-21, б): I — источник потока жидкости Qn, II — гидравлическая емкость первого элемента Cr = F1 (Fi — площадь поперечного сечения і-го элемента); III — гидравлическое сопроти­ вление .ffJ участка трубопровода между первым и вторым элементами; IV —

димость г-го трубопровода.

В соответствии с соединением «полюсов» системных компонентов рисуют структурный граф (рис. ІѴ-21, в), в котором узел «О» является базовым узлом,

140

A B C

Рис. IV-21. Технологическая схема (a), двухполюсные компоненты (б) и струк­ турный граф (в) ХТС.

(1,9,8,,>2„14)

в

При изучении тепловых процессов, происходящих в реакторе, могут быть выделены восемь системных компонентов: I — источник теплового потока Я,; II — источник теплового потока Я 2; III — источник температуры Г (темпера­ тура внешней среды); IV — тепловая емкость жидкости в реакторе ce; V — те­

и значений потоков при внезапном закрытии клапана в гидравлической подоистеме ХТС, технологическая схема которой представлена на рис. ІѴ-23, а. Воздушная камера в верхнем конце уравнительной трубы 4 служит для аморти­ зации удара, возникающего при внезапном закрытии клапана.

В данной гидравлической подсистеме можно выделить семь двухполюсных компонентов в соответствии со структурным графом, представленным па рис. ІѴ-23, б. Для получения полюсных уравнений выделенных компонентов в диапа­ зоне изменений давления и потока в подсистеме каждый компонент можно рассматривать изолированно. В случае, когда все трубы наполнены водой, полюсные уравнения для пассивных компонентов 1—5 имеют следующий вид;

Ni

Если t — 0 отвечает моменту внезапного перекрытия клапана, то Р3 (t) и Р4 (г) изображают соответственно изменения давлений во входных отверстиях (между входными отверстиями трубопроводов и атмосферой) водонапорной башни п уравнительной трубы. Переменные потоки g (г) изображают поток

после перекрытия клапана.

Рис. КІѴ-23. Технологическая схема (а) и структурный граф (б) гидравлической подсистемы некоторой ХТС:

1 , 2 , 5 — участки трубопровода; 3 — водонапорная башня; 4 — уравни­ тельная труба; 6 — насос; 7 — участок трубопровода с клапаном к.

Так как насос считается источником постоянного потока, то последователь­ ная переменная g6 (t) для компонента 6 задана и не зависит от давления. С другой стороны, если клапан закрыт при t )> 0, то поток g7 (t) задан и равен нулю.

Информационно-потоковые мультиграфы ХТС

Мулыпиграфом называется такой граф, в котором одна и та же пара вершин может соединяться более чем одним ребром. Так, например, структуру молекул химических соединений можно пред-

Рис. ІѴ-24. Мультиграфы, соответствующие структуре молекул этилена (а) и ацетилена (б).

ставить в виде мультиграфов, вершины которых соответствуют хи­ мическим элементам. Например, мультиграфы, отвечающие струк­ туре молекул этилена С2Н4 (два-граф) и ацетилена С2Н 2 (три-граф), представлены на рис. ІѴ-24, а, б. Теория графов оказывается чрез­ вычайно полезной для подсчета числа изомеров данного химиче­ ского соединения.

143

Применяя метод математического моделирования при исследова­ нии ХТС, для которой известны символические математические мо­ дели элементов и технологическая топология, необходимо рассмат­ ривать как технологические связи между отдельными элементами, так и информационные связи между математическими моделями

собой осуществляется через информационные потоки. Используя понятие информационных потоков и информационных операторов, строят информационную топологическую модель ХТС в виде ин­ формационно-потокового мулыпиграфа.

менным, изображены штрих-пунктирными ветвями, а информацион­ ные потоки, соответствующие оптимизирующим проектным пере­ менным, — пунктирными ветвями.

По топологии информационно-потокового мультиграфа, согласно формуле (11,51), можно найти число степеней свободы ХТС без со­ ставления в явном виде символической математической модели системы. Число степеней свободы ХТС равно числу информационных потоков, инцидентных источникам информационных переменных мультиграфа.

где F3i — число степеней свободы элемента; fi — число регламентированных, узко ограниченных и дискретных проектных переменных данного г'-го элемента; F*i — число локальных степеней свободы элемента, которое равно числу ло­ кальных оптимизирующих информационных переменных элемента.

144

С точки зрения топологии информационно-потокового мульти­ графа ХТС справедливы следующие соотношения:

где pi — входная степень г-ой вершины графа, соответствующей і-ому элементу ХТС; г,- — число входных ветвей г-ой вершины, отвечающих регламентирован­ ным, узкоогранпченным и дискретным проектным переменным г-го элемента; р* — локальная степень вершины.

Наличие замкнутых контуров в информационно-потоковом муль­ тиграфе обусловливает трудоемкость вычислительных процедур при решении системы уравнений математических моделей ХТС. Анализ топологических особенностей мультиграфа системы позволяет так выбрать свободные информационные переменные (ИП), чтобы пол­ ностью исключить или сократить число и размеры замкнутых кон­ туров в графе, т. е. разработать оптимальную стратегию решения систем уравнений математических моделей сложных ХТС.

Исключение или сокращение числа и размеров замкнутых кон­ туров в информационно-потоковом мультиграфе основано на воз­ можности и н в е р с и и н а п р а в л е н и я в е т в е й г р а ф а или образования новых информационных источников и стоков в графе при сохранении постоянных значений локальных степеней свободы отдельных информационных операторов и общего числа информа­ ционных источников и стоков системы. Указанная инверсия и обра­ зование новых информационных источников и стоков в графе соответ­ ствуют операциям изменения наборов свободных ИП и наборов вы­ ходных переменных систем уравнений математических моделей ХТС.

Информационно-потоковые мультиграфы используют для разра­ ботки оптимальной стратегии решения задач анализа и синтеза сложных ХТС в случае, когда символическая математическая модель системы в целом не задана в явном виде, а известны технологическая топология и символические математические модели каждого из элементов системы.

Пример ІѴ-7. Для испарительной (отпарной) колонны ХТС (рис. ІѴ-26, а) при заданных значениях регламентированных ИП, характеризующих массовые расходы каждого компонента, температуру и давление входного физического потока, определить оптимизирующие ИП и построить информационно-потоковый мультиграф.

В колонну К подводится (отводится) тепловой поток QK для частичного испарения^ (конденсации) входного физического потока жидкости W. Жидкий физический поток W, и газовый физический поток Wt отводятся из колонны с температурой Т, и давлением Ps, которые равны температуре и давлениювнутри колонны.

Определим число степеней свободы колонны:

б

Рис. ІѴ-26. Испарительная (отпарная) колонна К (а) и ее инфор­ мационно-потоковый мультиграф (б).

Пример ІѴ-8. Найти число степеней свободы, выбрать оптимизирующие ИП и построить информационно-потоковый мультиграф проектируемой химико­ технологической системы (рис. ІѴ-27, а), состоящей из смесителя, теплооб­ менника, экстракционной подсистемы и отпарной колонны. По технологическим условиям функционирования проектируемой ХТС заданы: массовый расход первичного растворителя Q2 и относительная концентрация экстрагируемого компонента х2 в физическом потоке смеси нескольких компоненетов Ь2; темпе­ ратура tз потока хладоагента L3 и температура fn потока экстрагента Ь 1г на выходе теплообменника; температура tt и давление Р9 потока экстракта La. Регламентированеные переменные ХТС отмечены «звездочкой» (рис. ІѴ-27, а).

Поток экстракта Ь9, насыщенный экстрагируемым компонентом (относи­ тельная концентрация экстрагируемого компонента у9, массовый расход экстр­ агента Wa), поступает в отпарную колонну для дальнейшего концентрирования. Так как экстракционная подсистема работает при температуре и давлении, соответствующих окружающим условиям, то полученный в отпарной колонне экстрагент (поток Ь1о) необходимо охлаждать в теплообменнике. Паровая фаза

146

(поток Le), отводимая из верхней части отпарной колонны, содержит экстраги­ руемый компонент. Дополнительный поток L 1 свежего экстрагента поступает в смеситель для компенсации потерь экстрагента в системе. Поток рафината Ьъ отводят в капализацию.

Рис. ІѴ-27. Структурная схема экстракционной ХТС (а) и инфор­ мационно-потоковые мультиграфы элементов системы (б — д):

а также смесителя, экстракционной подсистемы, теплообменника и отпарной колонны (см. примеры ІІ-9, 11-11, ІѴ-7) построены информационно-потоковые мультиграфы элементов ХТС, в которых информационные потоки регламенти­ рованных переменных обозначены штрих-пунктирными дугами, а информацион­ ные потоки локальных оптимизирующих переменных —пунктирными дугами

(рис. ІѴ-27, б — д).

Определение числа степеней свободы и выбор оптимизирующих информацион­ ных переменных ХТС поясняют табл. ІѴ-2 и информационно-потоковый муль­ тиграф системы (рис. ІѴ-28).