книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

фундаментальный цикл, а строки размещать так, чтобы сначала шли строки, отвечающие хордам, а затем — ветвям дерева (в порядке возрастания номеров).

В общем случае дипломатическая матрица для любого цикличе­ ского потокового графа ХТС может быть записана следующим обра­ зом:

Г Е

Здесь [Е] — единичная матрица, порядок которой равен \(е —

— р) X (е — р) ]; [F] — матрица порядка [р X (е — р)].

Для графа, показанного на рис. ІѴ-9, г, цикломатическая мат­ рица будет:

3. ХАРАКТЕРИСТИКА II ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (ГРАФОВ) ХТС

Потоковые графы

Каждой ХТС можно поставить в соответствие потоковый граф, ■гомоморфный рассматриваемой системе и являющийся некоторой топологической моделью одного типа обобщенных или физических

потоков данной системы (рис. ІѴ-11). Потоковые графы строят для установившегося технологического режима ХТС.

Потоковый граф

G = G(A) = (A, Т)

с множеством вершин А, образованным совокупностью элементов, источников и' стоков ХТС, и с множеством дуг Т, элементы которого соответствуют одного типа обобщенным или физическим потокам

128

указывающее, какие вершины графа являются смежными. При пост­ роении потоковых графов ХТС к элементам множества вершин А отнесем и точки стыковки трубопроводов системы.

Выделим три типа потоковых графов ХТС: материальные, тепло­ вые (энергетические) и параметрические-

Материальные потоковые графы (МПГ). Эти графы подразделим на графы по общему массовому расходу физических потоков и графы но массовому расходу некоторого химического компонента (химиче­ ского элемента).

В е р ш и н ы м а т е р и а л ь н о г о п о т о к о в о г о г р а ­ фа н о о б щ е м у м а с с о в о м у р а с х о д у ф и з и ч е ­ с к и х п о т о к о в (МПГО) соответствуют элементам ХТС, кото­ рые трансформируют общие массовые расходы физических потоков, источникам и стокам веществ физических потоков. Дуги этого графа

п о м а с с о в о м у р а с х о д у н е к о т о р о г о х и м и ч е ­ с к о г о к о м п о н е н т а соответствуют элементам ХТС, транс­ формирующим массовые расходы химического компонента, внешним и внутренним источникам, а также стокам этого компонента в сис­ теме. Дуги данного графа отвечают обобщенным материальным потокам типа W 2i [см. уравнения (11,6) и (11,7)].

Тепловые потоковые графы (ТПГ). Вершины теплового потокового графа соответствуют элементам системы, которые изменяют расходы тепла физических потоков, внешним и внутренним источникам и стокам тепла ХТС. Дуги теплового потокового графа отвечают обобщенным тепловым потокам W3i [см. выражения (11,8) и (11,9)].

Отметим основные характерные особенности материальных пото­ ковых графов по общему массовому расходу физических потоков и тепловых потоковых графов ХТС:

1. О р и е н т и р о в а н н о с т ь , так как движение потоков веществ и энергии в системе происходит в строго определенном направлении.

2.А с и м м е т р и ч н о с т ь , потому что не все соседние эле­ менты системы связаны между собой обратными технологическими потоками.

3.С в я з н о с т ь , так как все элементы в системе взаимосвя­ заны единой цепью потоков веществ или энергии.

Характерные особенности МПГ по массовому расходу некоторого химического компонента в основном совпадают с особенностями МПГО и ТПГ (ориентированность и асимметричность). Отличие со­ стоит в том, что эти графы могут быть как связными, так и несвяз­ ными. Несвязность МПГ по компонентам обусловлена тем, что

образование, химическая убыль или целевое выделение данного химического компонента происходят лишь в некоторых элементах ХТС при наличии необходимых технологических условий.

Пример 1V-1. Для ХТС, операторная схема которой нзображепа на рис. ІѴ-12, а, построить топологические модели в виде материального пото­ кового графа по общему массовому расходу физических потоков, материального потокового графа по массовому расходу каждого из химических компонентов

и теплового потокового графа.

Каждый г-ый физический поток системы Ьі характеризуется набором сле­

Рис. ІѴ-12. Операторная схема (а) и материальный потоковый граф по общим расходам ХТС (б).

В операторе химического превращения (II) протекает химическая реакция А -j- В Е, сопровождаемая выделением тепла Qi- Компонент А подается на вход оператора химического превращения в избытке по сравнению со сте­ хиометрическим мольным соотношением компонентов А : В.

Степень разделения компонента А в операторе разделения (III) равна величине ф = сьА/сіА. В операторе охлаждения (IV) происходит охлаждение

нагретого физического потока Ьъ за счет физического потока охлаждающей

то отвечающих этим операторам вершин в графе не существует. Порядок построе­ ния МПГО, МПГ по компонентам А, В и Е, а также ТПГ поясняет таблица соответствия элементов ХТС (технологических операторов) вершинам потоковых

130

ТАБЛИЦА V I-1

Таблица соотв етств и я элем ентов ХТС и верш ин потоковы х графов

отвечает образованию нового химического компонента вследствие протекания химической реакции (рис. ІѴ -13, «). В ТПГ (рис. ІѴ-14) внутренний источник і'т соответствует количеству тепла Qi, которое выделяется в результате экзо­

термической реакции.

Ч5Л

Р и с / ІѴ -16. М атериальные потоковые графы по массовым расходам :

а — ко м п о н ен та Е ; б — ком п он ен та А .

132

На основе законов сохранения массы и энергии для всей ХТС в целом можно записать общее уравнение вершин-источников и вер­ шин-стоков материального или теплового потокового графа системы:

тп

где Wm (Ъ) — поток по è-ой дуге, инцидентной m-ой вершине-источ­ нику; Wn (с) — поток по с-ой дуге, инцидентной п-ой вершине-стоку; т — число вершин-источников; п — число вершин-стоков данного графа.

Циклическим потоковым графом называют связный граф, полу­ ченный из материального или теплового потокового графа ХТС путем объединения всех вершин-источников и вершин-стоков в одну общую (нулевую) вершину, для которой справедливо уравнение (IV,15). Таким образом, для каждой вершины указанного графа ХТС можно составить уравнение вершин (IV,13). Циклический потоковый граф G* = (V, В), который соответствует потоковому графу G — (А , Т), имеющему m вершин-источников, п вершин-стоков, к промежуточ­

исследование топологических особенностей материальных и тепло­ вых графов позволяет формализовать процесс составления и полу­ чения оптимальных алгоритмов решения систем уравнений балансов ХТС.

Параметрические потоковые графы (ППГ). Такой граф является топологической моделью, отображающей преобразование элемен­ тами системы параметров физических потоков ХТС. Вершины ППГ отвечают элементам, представляющим собой технологические опера­ торы, которые качественно и (или) количественно преобразуют пара­ метры физических потоков, а также источникам и стокам физиче­ ских потоков ХТС.

Дуги графа соответствуют физическим потокам системы. Каждой дуге ППГ сопоставим некоторое неотрицательное число яг — п а р а - м е т р и ч н о с т ь этой дуги. Параметричность дуги графа равна параметричности соответствующего физического потока системы. В общем случае все дуги параметрического потокового графа слож­ ной ХТС разнопараметричны.

Параметрический потоковый граф можно получить совмещением одноименных вершин, т. е. вершин, отвечающих одному и тому же элементу, источнику или стоку ХТС, материальных и тепловых потоковых графов, построенных для данной исследуемой системы. Параметрические потоковые графы ХТС обладают следующими характерными особенностями: они являются конечными, ориентиро­ ванными, асимметричными, связными как планарными, так и непла­ нарными графами.

134

Изучение топологических особенностей ППГ позволяет разраба­ тывать оптимальные алгоритмы анализа функционирования ХТС произвольной технологической структуры.

Пример ІѴ-3. Для ХТС, рассмотренной в примере ІѴ-1, построить пара­

метрический потоковый граф.

ППГ исследуемой ХТС (рис. ІУ-18) имеет разнопараметрические дуги, а именно:

р і = р 2 = р з = р 4 = 5; р 5 = р 6 = 4 ; р 7 = р 8 = 3

Все элементы преобразуют параметры физических потоков, поэтому каждому элементу соответствует определенная вершина ППГ.

Чз

Построение потоковых графов, для которых известны технологи­ ческая топология и цель функционирования системы, необходимо осуществлять по следующим этапам:

1.Изучить физико-химическую сущность технологических про­ цессов ХТС и построить ее операторную схему.

2.Составить таблицы источников и стоков ХТС.

3.Составить матрицы [К] покомпонентного состава физических потоков системы. Общий элемент такой матрицы

1, если /-ый химический компонент входит в состав {г-го физического потока

О—в противном случае

причем г = 1, п — число физических потоков ХТС; = 1, т — чис­ ло химических компонентов системы.

4.Составить таблицы одного типа материальных и тепловых обобщенных потоков системы.

5.Составить таблицы соответствия элементов, источников и стоков системы вершинам ее потоковых графов.

6.Составить таблицы соответствия одного типа обобщенных

135

Структурные графы ХТС

Решение задачи исследования сложных ХТС можно значительно облегчить, используя для получения элементов матриц преобразо­ вания методику, основанную на построении структурных графов. Топологическая модель ХТС может быть изображена в виде некото­ рого структурного графа, гомоморфного данной системе. Этот метод иконографического моделирования системы с сосредоточенными параметрами базируется на представлении ХТС как упорядоченной совокупности определенных системных компонентов, коэффициенты

ментов являются «идеальные» компрессоры и насосы, не обладающие

и клапаны; кроме того, гидравлическое сопротивление характери­ зует потерю напора при истечении жидкости из аппарата.

3. Элементы, обладающие способностью накапливать вещество

Для исследования гидродинамических и тепловых процессов любую ХТС можно представить как упорядоченную совокупность рассмотренных системных компонентов, объединенных между собой с помощью т о ч е к с в я з и ( п о л ю с о в с в я з и).

Тип и число системных компонентов, а также способ их соедине­ ния обусловливают свойства системы и определяют значения эле­ ментов матриц преобразования гидродинамических и тепловых про­ цессов. Представим характеристики каждого системного компонента

рые связаны с двумя классами измерений на «полюсах» изолирован­

сигналы, количественные значения которых могут быть измерены, по крайней мере теоретически, с помощью приборов, включаемых параллельно на «полюсы» компонентов (прибор Ш на рис. ІѴ-19, а) без разрезания системы в точках соединения системных компонентов

136

сем сигналы, количественные значения которых измеряют последо­ вательным включением системного компонента и измерительного прибора (прибор П2 на рис. ІѴ-19, а) при разрезании системы в точ­

Рис. ІѴ-19. Определение коэффициентов передачи двухполюсного системного компонента (а), линейный граф полюсных измерений для компонента (6) и по­ люсный граф компонента (в).

представляет собой направленную ветвь, отражающую ориентацию приборов для последовательных и параллельных измерений по отно­ шению к «полюсам» компонента (рис. ІѴ-19, б и ІѴ-19, в).

В общем случае полюсное уравнение компонента системы с сосре­

где s — комплексная переменная преобразования Лапласа; К (s) — коэффи­ циент передачи (комплексная проводимость), характеризующий свойства ком­ понента; У (s), К (s) — изображения по Лапласу для последовательной у (<) и параллельной х (t) переменных.

Полюсные уравнения компонентов ХТС для исследования гидро­

137