книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

свойства которой инвариантны при взаимнонепрерывном и взаимно­

с тем, независимо от способа изображения, информация, содержа­ щаяся в графе, остается одной и той же. Два графа будем называть и з о м о р ф н ы м и , если они имеют одинаковое число вершин, если каждой паре вершин, соединенных ребром в одном графе, соответствует такая же пара вершин, которые соединены ребром в другом графе.

ь

Рпс. ІѴ-6. Исходный граф (а) и изоморфный ему граф (б).

Примером неориентированных изоморфных графов могут слу­ жить графы, изображенные на рис. ІѴ-6, а, б. Обязательным усло­ вием изоморфности ориентированных графов является одинаковая ориентация всех дуг. Получение графа, изоморфного некоторому исходному графу, можно наглядно представить, изобразив этот исходный граф на упругой поверхности, например на листе резины. Какой бы деформации без разрушения не подвергалась поверхность листа резины, изображенный на ней граф не претерпит топологиче­ ских изменений. Каждый вновь образующийся граф при данной деформации листа резины будет изоморфен исходному графу, хотя геометрические фигуры, изображающие графы, при этом существен­ но отличаются друг от друга.

Граф G', содержащийся в графе G, будем называть п о д г р а ­ ф о м данного графа. Так, если граф G имеет вид, представленный на рис. ІѴ-7, а, то графы G', G', показанные сплошными линиями

118

на рис. ІѴ-7, б, в, будут подграфами графа G. Подграф G' содержит в общем случае лишь часть вершин и ребер (дуг), входящих в граф G, однако не может содержать вершины или ребра (дуги), не име­ ющиеся в G.

Рис. ІѴ-7. Исходный граф (а), подграфы (б, в) и их дополнения (г, д).

Граф, состоящий из вершин и ребер (дуг), которыми исходный

Рис. ІѴ-8. К определению степеней вершин неориентированного (а) и ориентированного (б) графов.

рис. ІѴ-7, б, в, дополнения показаны пунктирными линиями и изобра­ жены отдельно на рис. ІѴ-7, г, д. Подграф G' и его дополнение D, взятые вместе, всегда образуют исходный граф G.

Число ребер, инцидентных некоторой вершине і, будем назы­

119

У ориентированного графа можно выделить дуги, входящие в некоторую вершину і и выходящие из нее. Вследствие этого для каждой вершины можно определить две степени, отвечающие числу

2 р'(0=2>'(0

и

2 р(о= 2 р' w + S p' w

Для подсчета общего числа ребер е некоторого графа G, имеющего V вершин, удобно пользоваться следующим соотношением:

V

(іѵ д)

1

Так, для графа G, приведенного на рис. ІѴ-7, а, суммируем сте­ пени всех его вершин и делим сумму пополам, получая в итоге

Этот результат легко найти непосредственно подсчетом ребер, так как рассматриваемый граф содержит небольшое число элементов.

В случае ориентированного графа общее число дуг может быть подсчитано по одному из следующих очевидных выражений:

е = 2 Р' (О 1

И Л И

е = І > '( 0 1

Например, для графа, представленного на рис. ІѴ-4, а, легко получить:

120

Дерево, все ветви которого имеют общую вершину, называют иногда л а г р а н ж е в ы м д е р е в о м (рис. ІѴ-9, б).

Несвязный граф имеет несколько деревьев — по числу связных компонентов. Совокупность деревьев несвязного графа называют л е с о м F графа. На рис. ІѴ-10, б лес несвязного графа выделен сплошными линиями.

Рис. ІѴ-9. Исходный граф (а), два возможных дерева [одно — лагранжево дерево (б); другое — в] и фундаментальные циклы (г)

графа.

Дерево (лес) и его дополнение играют важную роль в практиче­ ских приложениях теории графов к исследованию ХТС. Рассмотрим несколько теорем, определяющих связь между числом вершин, ветвей и хорд графа.

Рис. ІѴ-10. Несвязный граф (а) и лес несвязного графа (б). К составлению матрицы смежности связного графа (в).

Теорема ІѴ-1. Любой связный граф имеет дерево.

Если анализируемый граф не является деревом, то он содержит по меньшей мере один цикл (для ориентированного графа параллельное соединение одно­ направленных дуг или контур). При удалении ребра (дуги) из этого цикла оставшаяся часть либо становится деревом, либо содержит какой-нибудь другой цикл. Процесс удаления ребер можно продолжать до тех пор, пока оставшийся

Теорема, очевидно, справедлива, если дерево состоит из одной ветви и имеет две вершины. Добавление еще одной связной ветви увеличит ѵти ет на единицу,

т. е. не нарушит соотношения (IV,2). Это соотношение не нарушится, иока конфигурация с добавленными ветвями остается деревом. Например, любое

121

ребра, образующего цикл, увеличивает е на единицу, но не изменяет ѵ. Следствие 2. Если лес состоит из к компонентов и имеет ѵр вершин, то

Действительно, для каждого связного компонента справедливо выражение (IV,2). Суммирование таких выражений для к компонентов леса с учетом оче­

Это число указывает, сколько ребер графа должно быть удалено, чтобы превратить этот граф в дерево (лес).

Число хорд, или дефицит графа, определяет число отличающихся один от другого циклов графа. Действительно, при добавлении к дереву одной хорды образуется один цикл, причем все образован­ ные таким образом циклы будут различными, так как в каждый из них будет входить по крайней мере по одному элементу, прису­ щему лишь данному циклу. Очевидно, дефицит дерева (леса) равен

нулю.

Введем понятие ранга графа, смысл которого выяснится позднее. Ранг R графа G описывается соотношением

Д = (IV,6)

где к —- число связных компонентов несвязного графа. Следова­ тельно, ранг связного графа на единицу меньше числа его вершин.

Информация, содержащаяся в каком-либо графе, может быть представлена в иной форме — в форме м а т р и ц ы . Далее мы будем использовать обе формы представления информации — графическую (в виде графа) и численную (в виде матрицы).

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ

Информация, содержащаяся в некотором графе, может быть представлена в алгебраическом виде посредством матриц. Эта связь графа и матрицы имеет чрезвычайно важное значение при практиче-

122

сном приложении топологических методов к математическому .опи­ санию ХТС, так как позволяет перевести структурные особенности системы на язык чисел, фигурирующих в математических уравне­

ниях.

М а т р и ц е й с м е ж н о с т и , соответствующей некоторому графу G = (X , Y), который состоит из п вершин X t (і = 1, 2,. . ., п), называется матрица [Н] порядка (п X п) с элементами

Заметим, что диагональный элемент /г22 = 1, что соответствует

Матрицу [S] называют также с т р у к т у р н о й м а т р и ц е й графа.

В качестве примера составим матрицы инциденций для графов,

123

Д л я н есв язн ого граф а, п редставлен н ого на ри с. ІѴ -4, б, получим :

Здесь S' и S' — подматрицы инциденций, соответствующие связным компонентам несвязного графа.

Свойства матриц инциденций отражают топологические особен­ ности соответствующих графов и могут быть сформулированы в виде трех теорем.

Теорема ІѴ-3. Любой определитель, содержащийся в матрице инциденций [S], равен нулю, + 1 или —1.

Если каждый столбец определителя Д, содержащегося в [S], имеет два ненулевых элемента (+ 1 и —1), то Д = О, так как сумма всех строк дает строку, все элементы которой равны нулю. Если хотя бы один столбец А имеет только один ненулевой элемент, то при разложении Д по элементам этого столбца можно в результате прийти к определителю первого порядка. Таким образом, Д равен 0, + 1 или —1.

Теорема ІѴ-4. Определитель любой подматрицы матрицы инциденций, отвечающей циклу, равен нулю.

Любой цикл имеет равное число вершин и дуг. Следовательно, ему соответ­ ствует квадратная подматрица, каждый столбец которой содержит + 1 , —1 (обе вершины каждой дуги входят в цикл). Сумма строк такой квадратной подматрицы равна нулю, а значит ее определитель равен нулю.

Теорема ІѴ-5. Определитель (то—1) порядка подматрицы (то—1) ранга матрицы инциденций (то ■— число строк этой матрицы), отличный от нуля, отвечает дереву исходного связного графа.

Обратная теорема: определитель, соответствующий дереву графа, отличен от нуля.

Число ветвей дерева, как было отмечено ранее, на единицу мень­ ше числа вершин, следовательно, определитель дерева должен иметь порядок (т — 1). Если определитель порядка (т — 1) равен нулю, то, согласно теореме ІѴ-4, он отвечает некоторому циклу в графе и, значит, не соответствует дереву. Наоборот, если такой определитель не равен нулю, отвечающий ему граф, который имеет пг — 1 дуг, не содержит циклов и, следовательно, является деревом.

Теорема ІѴ-5 может быть распространена и на несвязные, графы. В этом случае определитель, соответствующий лесу графа, имеет порядок (т — к) и отличен от нуля, и обратно — определитель по­ рядка (т — к), отличный от нуля, отвечает лесу несвязного графа.

124

Применение приведенных теорем можно проиллюстрировать на примере графов, изображенных на рис. ІѴ-4, а, б. Так, легко убе­ диться, что определитель третьего порядка, записанный для эле­ ментов 1, 2, б (см. рис. ІѴ-4, а), равен нулю:

1 2 6

а1 0 —г

асоответствующая ему конфигурация в графе является циклом. Любой определитель третьего порядка для групп элементов 1, 2,

3; 5, 4, 6; 1, 4, 3 и т. д. отличен от нуля:

Указанные конфигурации элементов представляют собой деревья графа. Подобные результаты легко получить и для несвязного графа, показанного на рис. ІѴ-4, б.

Из приведенных выше теорем следует важное утверждение о ра­ венстве ранга графа, определяемого выражением (IV,6), и ранга

Например, ранг графа, представленного на рис. ІѴ-4, а, равен:

R = v — 1 = 4—1 = 3

Матрица инциденций этого графа путем элементарных преобра­ зований приводится к следующему виду:

1 0 0 1 0 -1

[Si] =

0 1 0 1 1 —1

0 0 —1 1 1 0

т. е. ранг [SJ также rs = 3.

125

Д л я граф а, и зоб р а ж ен н о го на ри с. ІѴ -4, б, имеем:

R = v —k = 6 —2 = 4

Матрица инциденций [S2] этого графа приводится к виду

т. е. ее ранг rs = 4.

Равенство рангов графа и соответствующей матрицы инциденций позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления.

Так, в графе, показанном на рис. ІѴ-4, а, содержатся следующие циклы: 1 - 1 , 5 , 4; II - 1, 2, 3, 4; III - 5, 2, 3; IV — 1, 2, 6; V — 4, 3, 6; VI — 4, 5, 2, 6; VII — 1, 5, 3, 6, а в графе, представленном на рис. ІѴ-4, б, содержатся циклы: I — 1, 2; II — 3, 5, 7; III — 4, 43, 5; IV — 3, 4, 6, 7 (принята ориентация циклов по часовой стрелке).

Матрицы циклов для графов, изображенных на рис. ІѴ-4, а, б, имеют следующий вид:

126

пли

- М( 0 '

[М,] =

0 щ .

Здесь М' и М' — подматрицы, соответствующие связным компо­ нентам несвязного графа.

Теорема ІѴ-6. Ганг матрицы циклов равен числу хорд соответствующего графа, т. е.

или

Доказательство теоремы можно выполнить в два приема. Как уже отме­ чалось, дерево (лес) не имеет циклов. Если к дереву добавить одну хорду, то* образуется один цикл и соответственно появится столбец в матрице циклов. Убрав первую хорду и добавив новую, получим еще один новый цикл — новый столбец в матрице циклов. Таким образом, каждой хорде будет отвечать неза­ висимый столбец в матрице циклов, а общее число независимых столбцов (ранг матрицы) будет по крайней мере не меньше числа хорд. Можно доказать, что* ранг матрицы не может быть больше числа хорд, т. е. всегда справедливо соот­ ношение (IV,11).

Ф у н д а м е н т а л ь н ы м ц и к л о м графа называют эле­ ментарный цикл, в который входит одна хорда. Очевидно, что все фундаментальные циклы линейно независимы. Выбранное для ана­ лиза дерево графа ( ф о р м а л ь н о е д е р е в о ) однозначно опре­ деляет ребра, входящие в каждый фундаментальный цикл. Ориен­ тация фундаментального цикла совпадает с направлением хорды.

Для формального дерева «Г3» в графе (см. рис. ІѴ-9, г) можно выделить следующие фундаментальные циклы (рг — образован хор­ дой q2 и ветвями qr, g4 и т. д.):

{32.91,94}; Р2={Дз> 94. 95};

Гз = (?б> Чи 44, Чъ}

Матрицу циклов, составленную только из векторов-циклов, соот­

цикломатической матрицы графа столбцы ее необходимо распо­ лагать в порядке возрастания номеров хорд, образующих данный

12Т