книги из ГПНТБ / Кафаров, В. В. Принципы математического моделирования химико-технологических систем (введение в системотехнику химических производств) учеб. пособие

вляет собой соответствующий коэффициент функциональной связи в виде коэффициентов разделения или к. п. д., значение которого не зависит от параметров входных потоков. Элементы матрицы преобразования технологического оператора отражают связь между входными и выходными параметрами с учетом кинетических харак­ теристик процесса и пространственной распределенности его пара­ метров. Рассмотрим выражения для матриц преобразования некото­ рых основных технологических операторов ХТС.

Матрица преобразования технологического оператора разделения,

Для технологического оператора разделения, соответствующего некоторому сепаратору (отделителю потока), функциональную связь между векторами [Yml] > [Xml] можно выразить таким образом:

собой и представляют различные функции параметров элемента ХТС. Если в технологическом операторе химического превращения одновременно протекает z независимых реакций, то можно записать следующую систему уравнений материального баланса химических

компонентов:

К

.88

Стехиометрическая матрица [S] системы уравнений (III,28)fc будет:

ѴЦ . . . ѵ1к

и выходных технологических потоков реактора представляют в сле­ дующем виде:

[Y ]=([E ] + [C][S])[X] (III,30)

Здесь [Е] — единичная матрица; [С] — матрица констант ско­ рости химических реакций; [R] = [Е] + [С] X [S] — матрица пре­ образования реактора. Матрица [R] — не диагональная; элементы

еезависят от параметров элемента ХТС.

Для технологических операторов ХТС с распределенными пара­

метрами, к которым относятся аппараты, где протекают противо­ точные массообменные процессы, нахождение элементов матриц преобразования практически сводится к свертке зонной ячеечной математической модели по пространственной координате и ее лине­ аризации в некотором диапазоне изменения параметров вектора входных потоков. Подобная свертка математической модели приме­ няется также в тех случаях, когда химико-технологические про­ цессы рассчитывают на основе средних движущих сил или равно­ весных зависимостей.

Математические модели большинства процессов химической тех­ нологии в настоящее время составлены и проверены в промышлен­ ных условиях, однако сведения об их использовании при моделиро­ вании сложных ХТС практически отсутствуют. Многие методы уско­ ренного проектирования включают приближенное описание техно­ логического процесса с помощью эмпирических данных, полученных на действующих типовых системах. Очевидно, применение таких моделей возможно на первых этапах проектирования с последующим уточнением и заменой эмпирических данных о реальном процессе данными, полученными в результате систематических вычислений на более точных математических моделях.

Разработка упрощенных моделей позволит уменьшить частоту ввода понравок в ходе моделирования, что в конечном счете может привести к решению с исключением всех итерационных процессов

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ХТС

Аналитический метод

Аналитический метод определения элементов операционных мат­ риц технологических операторов ХТС основан на получении анали­ тических решений уравнений математической модели ТО.

89

Для технологических операторов, процессы в которых описы­ ваются математическими моделями с сосредоточенными парамет­ рами (реакторы полного смешения, теплообменники смешения и т. п.), вычисление коэффициентов передачи, связывающих выходные и входные параметры, не представляет особых трудностей. Более ■сложной задачей является аналитическое определение коэффициен­ тов передачи для процессов с распределенными параметрами, кото­ рые в общем случае описываются уравнениями в частных производ­ ных.

Рассмотрим аналитический метод расчета коэффициентов пере­ дачи для элемента ХТС с распределенными параметрами на примере процесса изотермической абсорбции в насадочной

колонне.

В качестве выходных параметров примем со­ ставы газа и жидкости, покидающих колонну; вход­ ными параметрами являются составы и количества газа и жидкости на входе в колонну (рис. Ш-З).

Математическая модель процесса при режиме полного вытеснения и противотоке взаимодейству­ ющих фаз, а также при линейной равновесной зависимости имеет следующий вид:

в жидкости и газе; z — линейная координата; т — тангенс угла наклона линии равновесия; t — время.

Начальные и граничные условия соответственно будут:

t = 0 у — y%(z) x = x \ { z )

(III,32a)

2 = 0 у = у \ { 0. I) z = Z x = x \ ( Z , t)

При изменении нагрузки на колонну по газу или орошению

90

Вычитая из уравнений (111,33) и (111,34) соответственно уравне­ ния (111,31) и (111,32), получим систему уравнений в отклонениях:

Система уравнений (111,35) и (111,36) при переменных нагрузках по газу и орошению нелинейна. Если рассматривать малые откло­ нения нагрузок от стационарных значений (при этом значениями Ahi, и Дha можно пренебречь), система уравнений может быть линеаризована.

Разделив уравнение (111,35) на L0, а уравнение (111,36) на G0

и вводя безразмерную координату z —■z/Z, находим:

ния уравнений стационарного режима

91

Подставляя выражения (111,40) и (111,41) в уравнения (111,37) и (111,38) и проделав в последних преобразование Лапласа по вре­ мени с учетом нулевых начальных условий, получим (опустив знак А):

Для решения системы уравнений (111,42) и (III,43а) с граничными условиями (ІІІ,32а) применим оператор Лапласа:

92

Обратное преобразование Лапласа выражений (111,46) и (111,47) дает:

(si — sz) е Az (Т2—А) + (s2~\~ А) (Т2Л- si) е*'г —

Подставляя выражение (111,52) в уравнения (111,48) и (111,49) и

решая последние относительно составов потоков х (р , 0) и у (р , z) на выходе колонны, находим искомые передаточные функции наса­ дочного абсорбера.

Из передаточной функции достаточно просто может быть полу­ чена амплитудно-частотная характеристика процесса, которая вклю­ чает не только коэффициент передачи колонны при переходе из одно­ го стационарного режима в другой, но и отражает демпфирующие свойства процесса по отношению к изменениям входных параметров с различной частотой.

Вид нередаточных функций насадочного абсорбера по соответст­

93

V

Т аблица ІН-1

Передаточные функции математической модели насадочной абсорбционной колонны с распределенными параметрами

Воспользовавшись полученными передаточными функциями, опре­ делим необходимые коэффициенты передачи. По теореме о началь­ ном и конечном значениях оригинала имеем:

Применяя уравнения (111,53) и (111,54) для случая ступенчатого входного воздействия (р = 1/р), можно найти коэффициенты пере­ дачи и значения переходных функций при т 0. Вычислим пре­ делы некоторых из рассматриваемых функций. Из уравнения (111,336) непосредственно следует:

р-М) р->-о

Подставляя выражения (111,55) в формулу (III,47а), получим:

Далее, переходя к пределам выражений Wyy (р), Wxx (р), Wxy (р) и Wyx (р) с учетом равенств (111,56) и (111,57), находим коэффици­ енты передачи, отвечающие этим передаточным функциям (см.

табл. III-1).

Определение коэффициентов передачи колонны при изменении нагрузки (по газу или жидкости) по соответствующим передаточ­ ным функциям с помощью предела осложнено тем, что при р -> 0 получается неопределенность типа 0/0. Применение правила Лопиталя в данном случае весьма затруднительно из-за сложности исход­ ных выражений. Однако предельные значения переходных функций можно найти из решения нелинейной системы уравнений, написан­ ной для нового установившегося состояния, т. е. для времени т -*-оо:

ті - ^ - — (1 +VL)-^-T^ + ai Ax= Ne Агѵь + кіЬу

Ті ■^Г" + (1+(хе)~4^- + а 2 Аy = —Me~AznG + k2 Аж

dz

Так как система уравнений (111,58) дает устойчивое решение и переменные Ау (Z , т) и Ах (Z, т) ограничены при т ->оо, то

95

Тогда система уравнений (111,58) может быть записана в виде

д х ^

ажоо = - 6е А2Н ~ сУс

dz

(« + «)*„ = -Ь jq ^ P b +сУоо +*(0)

(111,60)

Система уравнений (111,60) аналогична системе уравнений (111,44) и (111,45), если в последней положить

Подставляя равенства (111,61) в выражения передаточных функ­ ций, получим коэффициенты передачи исходной системы нелиней­ ных уравнений:

^о,~f" d

(111,62)

** d+ ae“(a+rf)

. e-<a+V

(111.63)

Kyy~ d + a e - W

1 — g-(cH-d)

96

Из сравнения выражений для коэффициентов передачи исходной нелинейной системы (111,58) с коэффициентами передачи линеари­ зованной системы следует, что при рс = 0 и рх, = 0 будем иметь:

Коэффициенты передачи нелинейной системы при изменении рас­ ходов потоков невозможно найти непосредственно из выражений для k*g, Kxl, KyG и KyL, так как при подстановке в них pG — О

и= 0 получается неопределенность вида 0/0. Эта неопределен­

Аналогично можно вывести выражения для коэффициентов пере­ дачи насадочной колонны по отношению к изменениям других входных параметров (см. табл. Ш-1).

Аналитический метод определения коэффициентов передачи может быть применен и для математической модели насадочного абсорбера