книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

определения среднеквадратических значений ошибок округления, воз­

округления, возникающих при выполнении операции умножения и де­ ления, рассчитываются по формулам:

(16.2« — 3 - 2 - ^ — 24й— 1);

з

2

V 10 (16 - 24fe — 2~4h — 8)

12 \ГЪ

3 5 0

П Р И Л О Ж Е Н И Е 3

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОВЕРКИ МЕТОДОВ РАСЧЕТА РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ

I. В § 4.9 описан искусственный прием исследования инструмен­ тальной ошибки ЦВМ с целью проверки гипотезы о независимости ошибок однократных округлений в элементарных арифметических операциях вычислительного процесса. В соответствии с этим при­ емом был проведен эксперимент на ЦВМ с запятой, фиксированной перед старшим из 44 двоичных разрядов, округление в которой про­ изводится путем отбрасывания младших разрядов, выходящих за пределы разрядной сетки.

Эксперимент, проведенный автором совместно с Л. В. Павлю­ ченко, заключался в вычислении определенных интегралов

■t

кубических парабол, 100 квадратных парабол и 1000 прямых, для каждой из которых искусственным приемом, описанным в § 4.9, осуществлялась выборка 32 различных разультатов за счет слу­ чайного изменения величины свободного члена dij.

Коэффициенты a,-, bt, с,-, dij, пределы а< fn и шаг интегрирова­ ния hi выбирались случайным образом из некоторых диапазонов

сучетом следующих ограничений.

1)Величины а%, bu с,, dij, at, ^ должны быть кратными цело­

численной отрицательной степени двойки при условии, что модуль этой степени не превышает 44. Другими словами, эти величины должны представляться в 44-разрядной сетке машины без ошибок.

На величину шага интегрирования /г,- наложено дополнительное ограничение, заключающееся в том, что значения h i /З должны пред­

ставляться в разрядной сетке машины также без ошибок. Это озна­ чает, что должно выполняться условие:

ft/3=M-2-\

где М — целое, положительное число.

2) Поскольку на каждом шаге интегрирования методом Симп-

351

еона вычисляется сумма

У 2 М - 1 + 4г/2й1 + i/2m + l,

то для исключения масштабных коэффициентов, отличных от еди­ ницы, налагается очередное ограничение:

т а х | (У2т- 1 + ‘1у 2 т+ У2т+0 1< 1.

3) Чтобы исключить систематическую составляющую 'инструмен­ тальной ошибки при вычислении величины интеграла па очередном шаге интегрирования для различных значений свободного члена подынтегральной функции, на промежуточные результаты ах3, Ьхг, сх налагаются ограничения, а именно;

0 < |а х 31, \Ьх2\, |с х |< 1 —2-44,

т. е. промежуточные результаты должны быть представлены в 44 разрядной сетке без ошибок.

4) Выборки инструментальных ошибок для каждой кривой обес­ печиваются случайным выбором величины свободного члена таким образом, чтобы выполнялись ограничения, оговоренные в пп. 1—3.

дующими правилами.

1. Для очередной из исследуемых кривых Q раз случайным об­ разом изменяется величина свободного члена. Интегрирование ведет­ ся методом Симпсона е шагом интегрирования hi. Ограничения, наложенные на выбор коэффициентов ах, Ьх, с шага hi и пределов а,, Ро приводят к тому, что на каждом шаге интегрирования имеет место только одна ошибка округления. Следовательно, длина Ni цепочки последовательных операций с округлениями определяется количеством шагов интегрирования функции fц(х):

Одновременно вычисляется точное значение интеграла и опре­ деляется абсолютная величина инструментальной ошибки Д,j.

2. По Q опытам рассчитываются средневыборочные значения

Д, инструментальной ошибки, исправленная дисперсия генеральной совокупности и наблюдаемое значение величины Хн2:

(/)

Nf a‘U

3 5 2

1

г

3

4

5

Б

7

8

поскольку округление осуществляется отбрасыванием младших раз­ рядов.

3. Производится сравнение %2in с х2кр- Уровень значимости выбран равным 0,01 и, поскольку количество Q выборок для каждой

Блок 2 вычисляет точное значение интеграла методом Симпсона за один шаг интегрирования, причем

Абсолютная погрешность вычисленного значения не превосходит единицы младшего разряда (2~44).

Ёлок 4 предназначен для случайного изменения свободного чле­ на йц исследуемой кривой, которое выполняется следующим обра­ зом. Код свободного члена di(j-i) кривой, принадлежащей к семей­ ству кривых данной выборки, сдвигается влево и вправо на 11 дво­ ичных разрядов. Сдвиг выполняется логический, т. е. знаковые раз­ ряды также сдвигаются, а освободившиеся разряды заполняются нулями. Число с единицей в знаковом разряде, получившееся в результате сдвига влево, рассматривается как отрицательное. За­ тем над исходным числом и обоими результатами сдвига выполняет­ ся поразрядная операция сложения по модулю 2. Полученный ре­ зультат рассматривается как d;,-, если одновременно выполняются условия

|6/и(**)|<1, | 6М *” )1<1-

Здесь х*, х** соответственно те значения, при которых подын­ тегральная функция fuj-i) принимает максимальное и минимальное значения.

В противном случае код числа dij сдвигается вправо до тех пор, пока эти условия не будут выполнены. Знаковый разряд при этом не сдвигается. Если в знаковом разряде единица, то освобо­ дившиеся при сдвиге разряды заполняются единицами. В против­ ном случае — нулями.

При /= 1 значения du задаются так, чтобы в значащих разрядах

Вкачестве примера можно рассмотреть три случайных выборки,

аименно, семейства определенных интегралов, подсчитанных для кубических парабол, квадратных парабол и прямых:

Ограничения, налагаемые на коэффициенты, пределы и шаг ин­ тегрирования кривых, позволили выбрать их так, как это показано

втабл. 7.

Впоследнем столбце приведено количество шагов интегрирова­ ния, равное длине цепочки округлений.

Записанные в таблице значения dtj следует понимать так, что

часть разрядной сетки, начиная с разряда, цена которого указана в таблице, и до последнего младшего разряда произвольным обра­ зом заполняется единицами и нулями. Промежуточные результаты для этих трех выборок сведены в табл. 8.

3 5 4

Т а б л и ц а 7

Наблюдаемое значение Х;„ рассчитано в соответствии с выраже ниями:

S (Aii-Д .)1

Конечно, случайная выборка 1200 кривых из всей генеральной совокупности, имеющей порядок 1050, явно недостаточна. Тем не менее проведенный эксперимент не дал основания отвергнуть ги­ потезу о независимости ошибок округлений элементарных опера­ ций.

II. Другие исследования имели целью проверить работоспособ­ ность и корректность предложенных в четвертой главе методик аналитического расчета разрядной сетки. Эти методы базируются на балансе значений только среднеквадратических ошибок соответ­ ствующих источников без учета значений их -математических ожи­ даний. В этой связи возникает вопрос о погрешностях самих ме­ тодов.

нуля и имеют один и тот же знак, причем нулевые значения всех типов ошибок расположены в крайних точках диапазонов изменения

влево или вправо на величину Ду:

I | —j2ЛУ1.

Сравнение рассчитанных разрядностей результатов R и R* для первого и второго случая показывает, что ошибка не превышает одного разряда:

Это тем более справедливо, что вероятность появления небла­ гоприятной ситуации, соответствующей второму случаю, чрезвычай­ но мала.

Цель второго этапа экспериментальных исследований заключа­ лась в проверке корректности аналитических методов расчета раз­ рядной сетки. Суть этих проверок заключалась в следующем. Для некоторых достаточно сложных задач аналитическим путем на ос­ нове баланса среднеквадратических значений ошибок рассчитыва­ лась разрядная сетка, а затем экспериментальным путем проверя­ лась справедливость полученных результатов. Характер проверок можно проследить на примере одной из выбранных для исследова­ ния задач. В частности, среди других была выбрана для исследова­ ния задача определения траектории искусственного спутника Земли по данным засечек радиолокационных систем, решаемая методом Рунге — Кутта четвертого порядка на ЦВМ с фиксированной запя­ той. В результате засечки спутника в момент времени t определя­ лись три координаты его положения в пространстве, а также зна­

к моменту времени t+At. Через промежуток времени At проводилась повторная засечка спутника и определялась ошибка вычислений траектории. Вновь полученные данные использовались в качестве новых начальных условий интегрирования и т. д. Шаг Ат интегри­ рования и темп At засечек были выбраны постоянными (At<A f).

Исследования проводились по следующей схеме.

1. Предварительные расчеты, а) Известные ошибки (и их сред неквадратические значения) измерения координат искусственных спутников позволили оценить величину среднеквадратического значе­

358

дальностей (и высот) и Лер углов наклонения орбит, такие, что обладают близкими значениями о т.

б) Известная цена младшего (и любого другого) разряда в еди­ ницах реального значения координат (км) и количество операций с округлениями позволили рассчитать среднеквадратическое значе­ ние Ои инструментальной ошибки, накопившейся в результате AtjAx шагов интегрирования. Эта ошибка не зависит от характера траектории.

в) Статистика ошибок вычислений координат для выбранных участков траекторий позволила оценить среднеквадратическое зна­ чение а результирующей ошибки.

г) В литературе отсутствуют сведения об общих приемах оцен­

не может рассматриваться как дисперсия ошибки метода, поскольку она содержит в себе методологическую ошибку (см. § 4.2), свя­ занную с возмущениями траектории спутника , под влиянием ано­ малий гравитационного поля Земли в зоне обнаружения, характе­ ристиками верхних слоев атмосферы и др. Следовательно,

а2 + а2

МI MJ

где Омл — среднеквадратическое значение методологической ошибки. Близкий характер выбранных участков траектории, а также относительно высокий темп засечек позволяют считать -величину

О,2 постоянной.

ошибки результатов, большее, чем рассчитано на основе статисти­ ческих данных, поскольку в противном случае потребуется разрядная

стимого среднеквадратического значения результирующей ошибки а будет изменяться величина Ron и наоборот, то среднеквадратическое значение ошибки результата, если операционное устройство обра­

Тогда аналитические методы расчета разрядной сетки можно считать корректными, если выполняются условия:

аЯ>27 < 0 < °^<27.

Для проведения экспериментальных проверок оказалось необ­ ходимым организовать выборку расчетов, проводимых в условиях одинаковой точности. Проверки проводились по следующей схеме.

3 5 9

Рис. 2.

а) Были выбраны 30 различных траекторий с достаточно близ­ кими начальными условиями, для каждой из которых выполнялся

результаты А1/Ат шагов интегрирования в удвоенной разрядной сет­ ке ЦВМ. Эти результаты были округлены в 42 разряде и точным считался результат, полученный в единицах 41 разряда после за­ пятой, т. е. вне пределов разрядной сетки ЦВМ. Эти результаты использовались в качестве эталонов.

г) Каждая из траекторий последовательно рассчитывалась в 40—, 38—, 36—, 34— и т. д. разрядных сетках. Сравнение полу­ ченных в этих условиях результатов с эталоном для данной тра­ ектории позволяло оценить абсолютные ошибки результатов вычисразрядностей Ron операндов, обрабатываемых операционным устрой-

лений в единицах цены 41 разряда после запятой для различных ством. «Усечение» операндов осуществлялось программным путем

сдискретностью в два двоичных разряда.

д) Совокупность абсолютных значений ошибок всех траекторий

для фиксированного значения R0п рассматривалась как выборка,

а исправленная генеральная дисперсия — как среднеквадратическое значение ошибки результатов.

3 6 0