книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

управления, времени реализации алгоритмов и характе­ ристик потока сбоев.

Потоки программной и числовой информации у боль­ шинства современных ЦВМ имеют существенно различ­ ные непересекающиеся траектории. Если программная информация продвигается из памяти в регистры устройств управления, то числовая — продвигается по регистрам соответствующих процессоров.

Многоразрядные процессоры в зависимости от раз­ рядности различных типов обрабатываемой с их по­ мощью числовой информации могут иметь абсолютную и параметрическую избыточность оборудования, которые существенно уменьшают влияние сбоев на процесс функ­ ционирования ЦВМ.

Пусть все регистры и сумматоры некоторого процес­ сора имеют разрядность R*0n:

для компенсации ошибок округлений многотактных арифметических операций (§ 4.10).

Тогда D* младших разрядов всех регистров (сумма­ торов) процессора, количество которых определяется выражением:

D* = R* on—max {Ri}

(где Ri — разрядность элемента t-го типа числовой ин­ формации), характеризуют собой абсолютную избыточ­ ность аппаратуры этого процессора.

Одиночные или групповые сбои, в этих младших D* разрядах аппаратуры процессора не могут уменьшить точность результирующей числовой информации и, сле­ довательно, не должны учитываться. В то же время обнаружение системой контроля этих сбоев (отказов) приводит к потерям времени на их устранение и тем самым снижает производительность ЦВМ.

Вуправляющих ЦВМ с правильно рассчитанной раз­ рядностью абсолютная избыточность аппаратуры про­ цессоров отсутствует.

Вглаве IV показано, что для обеспечения заданной точности результатов вычислений разрядность опера­ ционного устройства должна быть значительно больше разрядности выходных величин. Количество D разрядов,

320

определяемое по правилу: D = R*0п—R (где ^ — разряд­ ность результатов), характеризует параметрическую из­ быточность процессора.

Величина накопившейся в этих разрядах ошибки вы­ числений не должна превышать половины цены младше­ го разряда результата. Любой одиночный или групповой сбой в младших D разрядах процессора с равной вероят­ ностью может уменьшить или увеличить эту ошибку. В первом случае отсутствие какой-либо реакции системы контроля на этот сбой даже желательно с точки зрения уменьшения затрат времени на ненужное исправление последствий сбоя. В последнем случае возможны раз­ личные ситуации.

ошибки, а А с б — ошибка, возникшая в результате сбоя. Поскольку Др^Ад, то реакция системы контроля на сбой при выполнении условия А Сб ^ А д —А р не требуется.

В случае одиночного сбоя справедливо равенство:

Доб/Дд = 2~M/2~« = 2r- m,

где М — номер разряда, в котором произошел сбой. Последнее равенство показывает, что степень влия­

ния одиночного сбоя на точность результатов убывает с удалением вправо сбойного разряда относительно младшего разряда результатов в геометрической прогрес­ сии со знаменателем 2-1. Влияние ошибки, вносимой групповым сбоем, на точность результатов зависит от суммы относительных весов всех сбойных разрядов.

м.&

где Z — множество номеров Mi разрядов, в которых про­ изошел сбой.

Ситуация, требующая реакции системы контроля на сбои, возникает в том случае, когда А Сб > А д — А р .

В частности, одиночный или групповой сбой в любом ■ из R разрядов результата всегда приводит к необходи­ мости устранения его последствий, поскольку в этом случае всегда выполняется неравенство: А Сб > А д .

Итак, из приведенных выше умозрительных рассуж­ дений можно сделать вывод, что сбои в разрядах, харак-

теризующих параметрическую избыточность процессоров, далеко не всегда приводят к недопустимой потере точ­ ности результатов, причем степень их влияния на послед­ ние зависит от собственных весов разрядов, в которых

произошел сбой.

Как указывалось в § 6.5, при выборе системы контро­ ля управляющей ЦВМ необходимо иметь априорные оценки таких локальных показателей надежности, как наработка на отказ, время восстановления, коэффици­ ент готовности и др.

Определенный интерес представляет задача априор­ ного расчета показателей надежности процессоров с уче­ том параметрической избыточности оборудования по­ следних. Эта задача может быть сформулирована сле­ дующим образом: требуется рассчитать среднее время Т* работы процессора до получения первого результата с недопустимой величиной ошибки на выходе, возник­ шей за счет сбоев, и время Тв восстановления. Эта зада­ ча решалась совместно с И. Б. Шубинским при следую­ щих допущениях.

1.Числовая информация представлена в естествен­ ной форме.

2.Разрядность R *0п операционного устройства и раз­ рядность R результатов известны. Абсолютная избыточ­ ность аппаратуры отсутствует. Допустимое значение ошибки результатов не превышает половины цены млад­ шего из R разрядов.

3.В каждом разряде операционного устройства со­ держится идентичная аппаратура.

4.Закон распределения времени между сбоями — экспоненциальный с интенсивностью потока сбоев Я. Закон распределения длительности сбоев — экспоненци­

альный с интенсивностью длительности существования сбоев ц.

5.Возникновение сбоя в различных разрядах опера­ ционного устройства равновероятно.

6.Устойчивый отказ в любом разряде операционного устройства или сбой в любом из старших R разрядов равноценны отказу процессора.

При расчете локальных показателей надежности про­

цессоров с параметрической избыточностью оборудова­ ния необходимо учитывать

— интенсивность Лу устойчивых отказов во всех раз­ рядах операционного устройства,

322

—интенсивность Лс потока сбоев в старших разря­ дах результатов,

—интенсивность Лм недопустимого искажения ре­ зультатов за счет сбоев в младших разрядах, характери­

зующих параметрическую избыточность аппаратуры. Как нетрудно видеть,

где лу — интенсивность отказов одного разряда опера­ ционного устройства.

Учет сбоев в параметрически избыточных разрядах характеризуется определенными трудностями. Во-первых, сбои могут возникать в различных разрядах, самоустра­ няться через некоторое время и возникать снова. Вовторых, наличие в фиксированный момент времени од­ ного или нескольких сбоев в R*0u—R младших разрядах только лишь с определенной вероятностью, обусловлен­ ной весами последних, приводит к искажению резуль­ татов.

Множество возможных состояний младших ^?*оп—R разрядов операционного устройства удобно представить с помощью ориентированного графа (рис. 8.1), в кото­ ром каждой вершине соответствует одно вполне опреде­

ленное состояние, а дуги показывают последователь­ ность переходов из одного состояния в другое. Индекс i в обозначении S* вершины указывает количество разря­ дов, в которых имеет место сбой. Вершины Si графа об­ разуют множество Xv ситуаций, когда сбои не приводят к искажению результатов, а вершины S'i образуют мно-

жество Хр ситуаций, приводящих к отказам работы опе­ рационного устройства.

С помощью аппарата полумарковских процессов мож­ но получить расчетную формулу для определения сред­ него времени Т* работы процессора до первого недопу­ стимого искажения результатов за счет сбоев в младших R* оп—R разрядах операционного устройства. Эта фор­ мула имеет вид:

Т* = (Т9+ 2 /V'A • / 1 - 2 РогРгЛ (8.5)

где Т0— математическое ожидание времени пребывания аппаратуры параметрически избыточных разрядов в со­ стоянии So; poi — вероятность перехода аппаратуры из состояния S0 в состояние S,-, Т{— математическое ожи­ дание времени пребывания аппаратуры в состоянии Si, Pio — вероятность обратного перехода аппаратуры пара­ метрически избыточных разрядов из состояния Si в со­ стояние So.

Формулы для расчета математического ожидания времени пребывания аппаратуры параметрически избы­ точных разрядов процессоров в том или ином состоянии, а также для расчета вероятности переходов ее из одного состояния в другое могут быть достаточно просто полу­ чены на основе известных в литературе по полумаркоьским процессам теорем:

324

С достаточной для практики степенью точности мож­ но считать, что поток отказов операционного устройства Лм является простейшим, поскольку он является разря­ женным относительно простейшего потока сбоев в пара­ метрически избыточных разрядах. Следовательно,

Лм»1/Г*. (8.6)

Общий поток отказов операционного устройства яв­ ляется простейшим с интенсивностью

Из (8.4), (8.6) и (8.7) следует:

Время восстановления операционного устройства рас­ считывается по известной формуле:

7 В= (Ау/Цу -(- Ac''[A-f- Ak/(j.)/A.

где ру — интенсивность восстановления устойчивых отка­ зов.

Наработка Т0п процессора на отказ определяется с помощью выражения:

Тоа = 1,/Л= Т*j(R*ои1уТ* + (R*oa - R) XT* Ц- 1).

На основе рассчитанных таким образом временных показателей безотказности и ремонтопригодности аппа­ ратуры процессоров с учетом параметрической избыточ­ ности оборудования могут быть определены основные показатели надежности операционных устройств:

— коэффициент готовности

Кт = Топ/(Топ+ Тв).

— вероятность безотказной работы

P (t)= ex р (—At).

§ 3.5. ВЫБОР КОНТРОЛЬНОГО МОДУЛЯ

Пусть известно, что функционирование управляющей ЦВМ должно контролироваться аппаратурным путем с использованием контрольного модуля. Наиболее удо­ бен для машин, работающих в позиционных двоичных системах счисления, контрольный модуль, величина К которого определяется соотношением:

К = 2р— 1,

где р — целое положительное.

325

Каждая ячейка оперативной памяти помимо RB ин­ формационных разрядов должна иметь дополнительно RK= p контрольных разрядов, предназначенных для запи­

суммарный поток А отказов (сбоев) определяется фор­ мулой

Л=Я.(^?я+(§ log2К),

где <§ (х) — целая часть от х, округленного в большую сторону.

В этих условиях вероятность Р появления отказов (сбоев) может быть подсчитана с помощью выражения:

Р = 1 — е

Величина К контрольного модуля определяет вероят­ ность Р0 обнаружения отказов (сбоев) в информацион­ ных разрядах при условии, что в самих разрядах конт­ рольного оборудования сбои не имели места:

причем второй сомножитель, стоящий в скобках, характе­ ризует вероятность обнаружения отказов (сбоев) любой кратности при контроле по модулю К.

Таким образом, увеличение контрольного модуля од­ новременно приводит к увеличению вероятности появле­ ния отказов (сбоев) за счет увеличения количества обо­ рудования и к увеличению вероятности обнаружения от­ казов (сбоев) в информационных разрядах ячейки па­ мяти.

По-видимому, целесообразно выбирать величину конт­ рольного модуля таким образом, чтобы отношение веро­ ятности обнаружения отказа (сбоя) к вероятности воз­ никновения последнего было максимальным. Эта задача имеет решение, если

для таких К*, что

-^ \ <уО

{dKY \ Р у1**

326

В последнем выражении подстрочный индекс К* оз­ начает выполнение неравенства, если в его левую часть всюду вместо К подставить то значение К*, которое яв­ ляется решением предыдущего уравнения.

Будем рассматривать величину <§ log2/( как непре­ рывную: log2 К.. Тогда

d

d K

Таким образом, для заданной разрядности можно подобрать такую величину контрольного модуля, кото­ рая максимизирует отношение вероятности отказов (сбоев) в информационных разрядах к вероятности по­

(0

брать такое соотношение между Ra и контрольным мо­ дулем К, чтобы оптимизировать отношение:

1о£з К

л ==! _ ^ _________

1 - е

где смысл величин N^, аг- определен в § 8.2.

§8.6. ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ

КЧИСЛЕННЫМ М ЕТОДАМ

В§ 4.3 рассмотрены вопросы, связанные с определе­ нием среднеквадратических значений ошибок тех или иных численных методов. Очевидно, что в бесконечнораз­ рядной сетке модули абсолютных значений ошибок чи­ сленных методов и соответственно их среднеквадратиче­ ские значения могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет увеличения объема вычислительных работ.

3 2 7

В §§ 4.6, 4.7 приведены методы расчета разрядной сетки управляющей ЦВМ, обеспечивающей минимальным чис­ лом разрядов операндов различных типов заданную точ­ ность результатов на выходе машины. Эти методы бази­ руются на балансе среднеквадратических значений различных видов ошибок, в котором, в частности, сред­ неквадратическое значение ошибки выбранного числен­ ного метода имеет фиксированное значение.

Поскольку с увеличением объема вычислений среднеквадратическое значение ам ошибки численного метода уменьшается, а среднеквадратическое значение аи ин­ струментальной ошибки управляющей ЦВМ возрастает, то в тех случаях, когда разрядности операндов и функ­ циональных узлов машины заданы, может возникнуть следующая задача: выбрать численный метод таким образом, чтобы среднеквадратическое значение о резуль­ тирующей ошибки было минимальным при условии по­ стоянства среднеквадратического значения трансформи­ рованной ошибки.

Пусть для некоторого алгоритма управления в ба­ лансе ошибок

Н2= О м 2+СГт2+СГи2

среднеквадратическое значение ат трансформированной ошибки имеет фиксированную величину. Тогда средне­ квадратическая ошибка результатов достигает миниму­ ма, если выполняется условие

cr2=(?T2+m in (ам2+сГи2Ц

Обозначим:

N* — объем вычислительных работ или общее коли­ чество арифметических операций, необходимое для реа­ лизации в ЦВМ выбранного численного метода;

k — число шагов вычислительного процесса;

п — количество арифметических операций в каждом шаге;

т — количество арифметических операций с округле­ ниями в каждом шаге.

Очевидно, что длина N цепочки операций с округле­ ниями определяется с помощью соотношения:

N — k - m = — N*.

п

Пусть

3 2 8

тогда среднеквадратическое значение результирующей ошибки достигает минимума при том значении N*o, кото­ рое является решением уравнения

при условии, что вторая производная

при подстановке в нее найденного значения N*o стано­ вится положительной. В том, что это действительно так, нетрудно убедиться на простых примерах.

Пример. Пусть необходимо методом Симпсона вычислить опреде­ ленный интеграл

ь

y = \ f (х) dx,

а

где

f(x)=c^xP + c2x P - i + . . . + c s- 1x + c s, 0 < а < 6 < 1 , Ci>0, 4,

целое, положительное.

Абсолютная погрешность Д„ метода Симпсона имеет вид:

|ДиК(*>—a)V№(2ky-M,

где

М — шах | fIV (х) |.

Для нашего случая

шах | flv (х ) | > О,

и поскольку диапазон интегрирования зафиксирован, то

M =const>0,

и, следовательно, можно записать:

max(Aj,) =Л/£4,

где

А — (Ь—а)5 • М • 180 ■16>0.

Для любого закона распределения случайной величины суще­ ствует связь между ее максимально возможным и среднеквадра­ тическим значениями:

0= d - m a x ( A „ ) , d > 0.

В тех случаях, когда появление сколь угодно большого значения случайной величины не исключено, под шах (А„) подразумевается такой предел, что появление случайной величины большего значе­ ния имеет достаточно низкую вероятность. Например, в случае нор­ мального закона распределения случайной величины вероятность появления последней, превышающей значение Зет, -менее одного про-

3 2 9