книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

Если для данной выборки исправленная генеральная дисперсия s2 примет такое значение, что выполнится не­

равенство Х2>Х^р) то нулевая гипотеза отвергается.

В противном случае нет оснований отвергнуть нулевую

гипотезу.

Таким образом, для экспериментальной проверки ну­ левой гипотезы о независимости ошибок округлений эле­ ментарных операций необходимо в условиях одинаковой точности получить ряд решений одной и той же задачи, определить исправленную генеральную дисперсию и срав­

нить ее с рассчитанным значением Л/с^ . Равенство

Х' = Х > . п - \ )

позволяет установить уровень значимости а гипотезы. Ряд проведенных экспериментов для различных клас­

сов задач показал, что нет оснований отвергнуть нуле­ вую гипотезу, причем рассчитанные значения а находят­ ся в диапазоне 0<!а<0,01.

Идея экспериментальной проверки справедливости ме­ тодик расчета разрядности операндов и устройств заклю­ чается в следующем. Пусть для некоторого класса за­ дач в соответствии с вышеуказанными методиками полу­ чено значение разрядности Ron операционного устрой­ ства.

Моделируя с помощью ЦВМ решение задач этого класса в ^on-разрядной сетке, можно описанными выше приемами получить некоторую выборку из генеральной совокупности решений, причем никаких мер по отсеи­ ванию трансформированных ошибок и ошибок числен­ ных методов принимать не нужно. На основе ошибок выборки определяется исправленная генеральная диспер­ сия s2 и по критерию у} сравнивается с а2. Если при этом окажется, что «<0,01, то методики признаются ра­ ботоспособными. Серия экспериментов показала, что последнее условие выполняется.

§ 4.10. ЗАМЕЧАНИЯ ПО М ЕТОДАМ РАСЧЕТА РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ ПРОЕКТИРУЕМОЙ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦВМ

1. Выше при расчете разрядной сетки управляющей ЦВМ учитывались среднеквадратические значения допу­ стимых ошибок. В некоторых особо ответственных авто-

200

мадизированных системах управления возникает необхо­ димость учета максимальных абсолютных значений вы­ ходных ошибок.

Поскольку теоретически исключить возможность по­ явления ошибки, большей допустимой для сложных си­ стем невозможно, то на основе критериев устойчивости АСУ необходимо задать допустимую частоту PRon воз­ никновения таких ситуаций, когда реальная ошибка пре­ вышает значение бдоп. Эта частота равна вероятности попадания реальной ошибки в пределы |бдоп|< | б |< +

+ оо.

Так как в сложных АСУ ошибки на выходе управ­ ляющей ЦВМ распределены по законам, близким к нор­ мальному, то справедливо равенство

Используя таблицу значений функции Лапласа, мож­ но однозначно определить величину о, а затем вести расчет разрядной сетки управляющей ЦВМ согласно предложенным выше методам.

2. В рассмотренных методах определения разрядной сетки управляющей ЦВМ предполагалось, что ошибки однократных округлений, возникающие при выполнении арифметических операций, в том числе и операций умно­ жения, не превышают по абсолютной величине половины значения младшего разряда операционного устройства.

Операцию умножения можно выполнять различными способами:

—сдвигать влево частичные произведения или про­ изводить сдвиг частичных сумм вправо,

—начинать умножение с младшего или старшего

разряда множителя.

Если округление результата производится после по­ лучения 2$оп-разрядного произведения, операционное устройство, выполняющее умножение по такому алго­ ритму, должно иметь дополнительное оборудование, не­ обходимое для выполнения этой операции.

Так, если умножение начинается с младших разрядов множителя и после каждого шага частичная сумма сдвигается вправо, то для реализации такого алгоритма помимо 7?оп-разрядных регистров множимого и множи­

201

теля, операционное устройство должно иметь 2/?()П-раЗ-

рядный регистр частичных сумм.

Последний может быть сделан л’оп-разрядным, если младшие разряды произведения поместить в регистр мно­ жителя. В случае сумматора комбинационного типа в состав операционного устройства входят три Ron-раз­ рядных регистра и две /?01гРазРяЛ11Ь1е схемы сдвига. В случае же сумматора накапливающего типа оборудо­ вание операционного устройства состоит из 7?0п-разряд- ного сумматора, двух ^оп-разрядных регистров и двух /?оп-разрядных схем сдвига.

При других вариантах, предусматривающих получение 2 /?оп-разрядного произведения, операционное устройство

операционного устройства могут быть использованы та­ кие алгоритмы умножения, когда округление произво­ дится не после получения 2 ^ 0п-разрядного произведения, а при выполнении каждого шага умножения. Округление производится либо путем добавления единицы в стар­ ший разряд, отбрасываемый после округления, либо пу­ тем простого отбрасывания разрядов частичных сумм или частичных произведений.

В этих случаях общая ошибка округления, возникаю­ щая при выполнении операции умножения, может значи­ тельно превышать половину цены младшего разряда, остающегося после округления. В этой связи возникает задача определения числа г дополнительных разрядов операционного устройства, такого, при котором ошибка окончательного результата операции умножения не пре­ восходит половины пены младшего из Ron разрядов.

В [26] указывается, что максимальное значение ошиб­ ки округлений 6 2 1 , возникающей при выполнении опера­ ции умножения, когда округление производится путем прибавления на каждом шаге единицы в старший из отбрасываемых разрядов, равна:

8 » = (Ron - 0 / 6 + 7 / 1 8 + ( - 1 / 2 ) * “ " 7 9 .

Последнее выражение справедливо в предположении, что r < R 0U, в противном случае 621 = 0.

Если каждое частичное произведение округляется по недостатку, т. е. путем отбрасывания разрядов, цена ко­ торых меньше цены младшего из г разрядов, максималь-

202

ное значение ошибки округления операции умножения 622 может быть подсчитано в соответствии с выражением

822 — ^ о п — г 1 ~ Ь ( — 1 / 2 ) ^ оп г .

Поскольку значение ошибки, возникающей при вы­ полнении операции умножения, не должно превышать половины цены младшего из Ron разрядов, то необходи­ мое количество дополнительных разрядов /д и г2 соответ­ ственно для первого и второго способов округления мо­ жет быть рассчитано путем решения уравнений:

ri=£'(log262i) +2.

Гг,— Е (log2 6 2 a) + 2 .

Вероятность появления максимальных ошибок округ­ лений, возникающих при выполнении операции умноже­ ния, мала. Поэтому имеет смысл вести расчет величины г по среднеквадратичным значениям этих ошибок.

Ошибка А, возникающая при выполнении операции умножения, есть сумма ошибок округления, возникаю­ щих на каждом шаге умножения (кроме первых г ша­ гов) :

Ron

Д = S д*.

i=r + l

где Л, — абсолютное значение ошибки округления, воз­ никающей на каждом шаге умножения; R0n—г — число округлений.

Ошибки округлений частичных сум,м или произведе­ ний, возникающие на каждом шаге умножения, при пер­ вом способе округления равномерно распределены в пре­ делах

Следовательно,

М [Дг] = 0; з[Д,-| = 1 /2 1 /3 .

Так как величина R0п—г обычно достаточно велика, закон распределения суммарной ошибки Ai операции

203

стимые среднеквадратические ошибки, но и удается оце­ нить пределы изменения промежуточных результатов и их допустимые среднеквадратические отклонения, пред­ ставляется возможным определить разрядность устрой­ ства ЦВМ до масштабирования задачи.

Методика расчета разрядной сетки управляющей ЦВМ по математическим значениям входных, промежу­ точных и выходных величин заключается в следующем.

Разрядность Ro запоминающих устройств, предназна­ ченных для хранения исходных чисел, и количество раз­ рядов R, необходимых для представления с требуемой точностью управляющих сигналов на выходе ЦВМ, рас­ считываются в соответствии с приведенными выше реко­ мендациями.

Число разрядов R v операционного устройства, необхо­ димых для выражения с требуемой точностью промежу­ точных результатов, рассчитывается по формуле

Rv = E (log2 1v |щах) —E (log2 CT„) + 1,

ская ошибка представления промежуточных результатов. Если исходные числа, промежуточные и окончатель-, ные результаты представлены математически как сме­ шанные дроби, то для выражения целых частей макси­ мальных значений модулей аргумента, промежуточных результатов и выходных данных требуется соответствен­ но Rx, Rv, Ry разрядов, значения которых определяются

выражениями:

Если исходные числа, промежуточные и окончатель­ ные результаты суть правильные дроби, то величины Rx, Rv, Ry, рассчитанные по формулам (4.19), имеют от­ рицательный знак.

В этом случае абсолютные значения величин |ДЖ], \RV\, указывают количество нулей перед первыми значащими цифрами двоичных чисел, представляющих максимальные значения модулей аргумента, промежу­ точных и окончательных результатов соответственно.

Для представления целых частей исходных, проме­ жуточных и выходных данных операционное устройство

2 0 5

должно иметь количество разрядов достаточное для выражения целой части максимального числа, т. е. Яц=

=m ax{Rx, Rv, Ry}.

Для представления дробных частей всех чисел, уча­ ствующих в вычислениях, операционное устройство дол­ жно иметь Rx количество разрядов, которое может быть

Если величина Rn, подсчитанная по формуле (4.20), отрицательная, то это означает, что все числа, участ­ вующие в вычислениях, целые, а абсолютное значение |ЯД| указывает, на какое число двоичных позиций от­ стоит ближайший значащий младший разряд от матема­ тического положения запятой.

Количество разрядов, необходимых для представле­ ния всех чисел, участвующих в вычислениях, определяется как сумма Rn + Rn.

Требуемое для компенсации ошибок округлений число разрядов 5 определяется соотношением

5 = Я(1о&яК Щ 2 ) + 1 .

Причем отечет величины 5 должен происходить в сто­ рону младших разрядов от разряда, содержащего в себе не более среднеквадратического значения инструменталь­ ной ошибки.

В свою очередь, этот разряд отстоит от разряда, со­ держащего в себе не более половины среднеквадратиче­

ского значения выходной ошибки, на величину

EOogza)—£(log2GH).

Таким образом, разрядность R(m операционного уст­ ройства, обеспечивающего требуемую точность выходной функции управления, определяется согласно соотноше­ нию

Ron=Rv +

где S* = max{Ron—Rv, [R—Ry+ E(log2G)—E(log2 0 n)]}.

4. Следующее замечание касается сравнения величин разрядных сеток машин с фиксированной и плавающей запятыми. Требуемая точность вычислений должна до­ стигаться наименьшим количеством разрядов в устрой­ ствах ЦВМ, поэтому практический интерес представляет решение вопроса, при какой форме представления чисел длина разрядной сетки машины будет наименьшей.

206

Г Л А В А 5

ВЫБОР АРХИТЕКТУРЫ И РАСЧЕТ ЕМКОСТЕЙ ЗУ

§ 5.1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

Основу современных систем сохранения информации— запоминающих устройств — составляет такая организа­ ция памяти, которая в зависимости от характеристик, назначения и структуры создаваемой управляющей циф­ ровой вычислительной машины, обеспечивает рациональ­ ный выбор основных характеристик и структуру таких систем.

Современный этап развития цифровых вычислитель­ ных машин характеризуется большим разнообразием применяемых ЗУ и повышенными требованиями к их основным конструктивным и эксплуатационным пара­ метрам. Основными параметрами ЗУ принято считать: емкость, быстродействие (время цикла), стоимость, по­ требляемую мощность, мощность рассеивания, допуски на изменение условий работы от наилучших к наихуд­ шим, объем, массу, плотность упаковки, надежность, на­ работку на отказ, интенсивность отказов, межремонтный срок работы. Ясно, что создавать ЗУ, удовлетворяющие оптимальным требованиям по всем параметрам, на при­ емлемом по стоимости уровне простыми технологически­ ми методами, невозможно. Можно лишь улучшить харак­ теристики по одному-трем параметрам в ущерб осталь­ ным. Например, можно увеличить емкость ЗУ в ущерб быстродействию, стоимости, надежности и т. д. Поэтому в последнее время ведутся интенсивные исследования создания . иерархических запоминающих устройств или систем. Высшие уровни иерархии запоминающих устройств составляют быстродействующие дорогостоящие ЗУ малого объема, а низшие — медленнодействующие недорогие ЗУ большого объема.

Оптимальное управление обменом информации в иерархии памяти обеспечивает ее эффективное быстро-

208

действие, соизмеримое g быстродействием ЗУ высшего уровня, и эффективную емкость, приближающуюся к ем­ кости ЗУ низшего уровня. Увеличение количества уров­ ней приводит к снижению требований к емкости ЗУ выс­ ших уровней и к быстродействию ЗУ низших уровней. Вместе с тем усложняется управление обменом. Поэтому практически количество уровней в иерархии не превы­ шает 2—4.

В организационной структуре большинства ЦВМ реа­ лизована двухуровневая иерархия, на высшем уровне которой расположено оперативное ЗУ (ОЗУ), а на ниж­ нем— внешнее ЗУ (ВЗУ). Вопросам оценки и выбора емкостей ОЗУ и ВЗУ, структурной организации памяти и стратегии управления иерархией ЗУ посвящены много­ численные публикации.

В [58] рассматриваются иерархические страничные структуры памяти, для которых определяются стоимост­ ные критерии в зависимости от классификации алгорит­

к двухуровневому ЗУ, делается попытка определения ча­ стоты обращения для каждого уровня иерархии как функции от размера страницы, типа алгоритма замеще­ ния, числа уровней иерархии, емкости ЗУ каждого уров­ ня. Уделено много внимания вопросам классификации алгоритмов замещения, на фоне которых вопросы выбо­ ра числа уровней иерархии и емкости ЗУ каждого уров­ ня остались не до конца раскрытыми.

В[59] на основе линейной модели иерархического ЗУ предлагается алгоритм, позволяющий выбрать по крите­ рию минимума среднего взвешенного времени выборки информации оптимальное число уровней иерархии ЗУ и определить оптимальное размещение информации по этим уровням.

В[29] ставится задача оценки и выбора оптимальной структуры блока АУ — ОЗУ, где в качестве оперативной памяти используется ЗУ на ферритовых сердечниках. При решении поставленной задачи вводится критерий оптимальности в виде весового коэффициента оборудо­ вания, представляющего сумму основных параметров: массы, объема, стоимости, потребляемой мощности и надежности, взвешенных коэффициентами важности. Однако в [29] учтены далеко не все параметры, сущест­

венно влияющие на эффективность работы ЗУ. Не приво­