книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

ряда операционного устройства со значением, не превы­ шающим о (но большим о/2) на число Rn разрядов, ко­ торое определяется согласно соотношению

tf„= £(log2a) —Е (log2oH)

где о и <ги выражены в размерности выходной величины. Значение ои определяется так же, как и в случае рас­ чета разрядной сетки машины с фиксированной запятой. Количество разрядов R0п операционного устройства, предназначенных для представления мантиссы, подсчи­

тывается по формуле

§4.8. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ МАШ ИНЫ

СОДНОВРЕМЕННЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ РАЗРЯДНОСТЕЙ ВХОДНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Вподавляющем большинстве случаев информация, подлежащая обработке в управляющем звене системы, поступает от соответствующих датчиков в виде непре­

рывно изменяющихся величин и должна быть преобразо­ вана в дискретную форму. Это означает, что наряду с ЦВМ управляющее звено системы может включать комплекс преобразователей непрерывных величин в ди­ скретные.

Пусть управляющее звено системы предназначено для реализации функции

tJ = F ( X i, Х 2, . . . , Х т )

от поступающих на его вход аргументов xt (г= 1,2, ... ,

. . . , т) и построено по схеме «преобразователи непре­ рывных величин в дискретную форму — ЦВМ с фикси­ рованной запятой».

Ошибка на выходе управляющего звена является следствием ошибки численного метода, выбранного для реализации функции управления, инструментальной ошибки и, наконец, трансформированной ошибки вход­ ных аргументов, которую можно для определенности представить в виде

d F ( x lt х г , .... х т) I 2 dxt

190

где Ствхг — среднеквадратическое значение ошибки аргу­ мента Х{ на входе ЦВМ (или на выходе соответствую­ щего преобразователя).

Ошибка Свхг представления аргумента х, на входе ЦВМ зависит от величины инструментальной ошибки, вносимой соответствующим преобразователем, и описы­ вается выражением

где Ог — среднеквадратическое значение ошибки аргу­ мента на выходе соответствующего датчика непрерыв­ ных величин; ак»— среднеквадратическое значение ошиб­ ки квантования преобразователя.

Требуемая точность работы управляющей ЦВМ обес­ печивается совокупностью таких технических характери­ стик, как разрядности преобразователей, разрядности запоминающих устройств для хранения чисел, разряд­ ность операционного устройства и количество разрядов, необходимое для представления выходных величин с за­ данной точностью.

Рассмотрим связь между перечисленными техниче­ скими характеристиками управляющей ЦВМ и соответ­ ствующими составляющими общего баланса ошибок.

Разрядности преобразователей зависят от диапазона изменения входных величин и выбранных уровней кван­ тования.

Предположим, что каждому аргументу Хг, поступаю­ щему на вход управляющей ЦВМ, соответствует свой преобразователь непрерывных величин и уровень кван­ тования i-ro преобразователя равен АЛ*. Поскольку ошибка квантования подчиняется равновероятному за­ кону и ее максимальное значение равно ±АЛг-/2, то сред­ неквадратическое значение этой ошибки определяется

всоответствии с выражением

=ДЛг-/2 У 3.

Уменьшить инструментальные погрешности датчиков непрерывных величин обычно труднее, чем погрешности квантования, поэтому для ослабления влияния ошибки квантования на общую ошибку oBXi преобразования же­ лательно выбирать уровень квантования АЛ; таким обра-

191

зом, чтобы выполнялись соотношения: aKi = pOi, 0< р<; £^0,5. Тогда

где x,max, Xjmin — соответственно верхний и нижний пре­ делы изменения аргумента х;.

Из (4.16) и (4.17) следует

R, £ b g 2xi max xi min

\ pa*2

Очевидно, что разрядность R0 запоминающих устройств, предназначенных для хранения исходных чи­ сел, и наибольшая из разрядностей преобразователей (с учетом масштабирования) должны совпадать:

/?0 = тах{Яг}. ■

Задача формулируется следующим образом. Известно:

управления:

— значение среднеквадратической ошибки на выходе ЦВМ не должно превышать заданной величины о;

д) масштабы подобраны таким образом, что двоичные числа, изображающие в прямом коде максимальные значения выходной величины, имеют единицу в старшем разряде после запятой, а числа, изображающие максимальные значения аргументов X;, имеют между первой значащей цифрой и запятой Rn нулей.

Требуется:

—рассчитать уровни квантования входных аргументов и разряд­ ности соответствующих преобразователей;

—определить разрядность запоминающих устройств, предназна­ ченных для хранения исходных числовых данных и промежуточных результатов;

192

—выбрать разрядность операционного устройства;

—рассчитать количество разрядов, необходимое для представле­ ния управляющих сигналов на выходе ЦВМ с заданной точностью.

Порядок решения задачи следующий.

1. Поскольку ошибки а и а м заданы, а ошибка стт всегда боль ше величины

подсчитываемой в предположении, что преобразователи не вносят погрешностей квантования (р =0), то вначале проверяют выполнение условия

ные результаты на выходе ЦВМ (управляющие сигналы) с задан­ ной точностью не удается. В этом случае необходимо добиться вы­ полнения условия (4.18) путем уменьшения величины сгм за -счет выбора других численных методов реализации заданной функции.

Выполнение условия (4.18) означает, что

а2— (Хм2 = (Т т2 + сГи2> 0 .

2.Выбирают некоторое конкретное, значение параметра р. Стрем­ ление уменьшить величину параметра р приводит к уменьшению трансформированной ошибки и, следовательно, к увеличению допу­ стимых значений инструментальной ошибки ЦВМ. Последнее об­ стоятельство позволяет уменьшить количество дополнительных раз­ рядов операционного устройства, предназначенных для компенсации ошибок округлений.

Структура алгоритма, реализуемая -в ЦВМ, может оказаться такой, что для исключения быстрого.-роста инструментальной ошиб­ ки потребуется часть полученных промежуточных результатов за­ сылать в ячейки памяти, разрядность которых совпадает с разряд­ ностью операционного устройства.

Сдругой стороны, уменьшение величины параметра р приводит

кувеличению -разрядностей преобразователей и ячеек памяти, пред­ назначенных для хранения исходного числового материала. Таким образом, объемы оборудования операционного устройства и запо­ минающих устройств, предназначенных для хранения исходного чис­ лового материала и промежуточных результатов, находятся в зави­ симости от величины параметра р.

Очевидно, что в качестве критерия оптимального -выбора пара­ метра р целесообразно принять минимум оборудования. Однако сам по себе подсчет количества оборудования является весьма слож­ ным делом, поскольку не всегда ясно, что следует выбрать за еди­ ницу (или условную единицу) оборудования. Поэтому методика вы­ бора оптимального значения параметра р в общем случае зависит от выбранной единицы количества оборудования и принятых правил подсчета последнего.

Несколько упрощенная методика выбора параметра р, которая преследует главным образом иллюстративные цели, базируется на следующих соображениях:

—в качестве условной единицы оборудования принимается фи­ зический элемент ЗУ с информационной емкостью в один бит (один двоичный разряд ячейки памяти);

—в качестве критерия оптимального выбора значения параметра

рвыбирается минимальная емкость запоминающих устройств, обес­ печивающая решение задачи управления с заданной точностью.

Q — емкость ЗУ.

Если предположить, что результаты засылаются на место ис­ ходных чисел, то можно записать

Q= ni(Ra+ Ro) +^2^on.

ряда, то можно записать

Rm = E(logs ( j / ' о2— <^—а*/Т) ).

Поскольку

Величш:а Т также является функцией параметра р. Эту зависимость можно определить следующим образом:

194

Оптимальное значение параметра p, обращающее в минимум величину Q, находится обычным образом.

3.Рассчитывается величина R0.

4.Дальнейший ход расчета разрядной сетки ничем не отли­ чается от изложенного в предыдущих параграфах.

§4.9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДИК

РАСЧЕТА РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ

Рассмотренные в этой главе аналитические методы расчета разрядной сетки управляющих ЦВМ по задан­ ной на выходе точности основываются на допущении о независимости ошибок округлений элементарных опе­ раций в цепи последовательных округлений всего вычис­ лительного процесса.

С целью проверки правомочности этих методик была проведена серия экспериментов на универсальной ЦВМ с фиксированной запятой и 45-разрядной сеткой основ­ ных устройств. Проведенная серия экспериментов долж­ на была ответить на два вопроса, а именно: с какой степенью достоверности справедлива гипотеза о незави­ симости ошибок округлений и насколько верны расчет­ ные формулы методик определения разрядностей операн­ дов и устройств.

Идею проверки степени достоверности этой гипотезы можно проследить на примере некоторой задачи.

Пусть необходимо вычислить значение функции

ъ

V = j f {*)dx,

а

причем численный метод и шаг интегрирования выбраны. Если заменить подынтегральную функцию f(x) на ц>(х) так, что

<рi(x)=f(x)+Ci, i= l, 2, ..., п,

где {cj} — набор констант, удовлетворяющих определен­ ным требованиям, и потребовать, чтобы каждый раз при вычислении интеграла константа с* из-под знака инте­ грала не выносилась, то в результате вычислений будет получено п значений у ь г/г, •.., г/п.

Пусть константы си a, b, h выбраны так, что в раз­ рядной сетке машины все они представлены без ошибок. Тогда при фиксированных а, Ъ, li значения интегралов для всех возможных Cj представляют собой генеральную совокупность а значения уь г/г, ..., уп — некоторую слу­ чайную выборку.

Если для некоторой подынтегральной функции ц>г(х) известно точное значение у*г интеграла, то точное реше­ ние для каждой функции <рг(х) можно записать в виде выражения

y*i = y*r+ (Ci~cr) (b—а).

Ошибка Дг каждого результата состоит из трех со­ ставляющих:

Дг= Дгт“ЬДгМ Т Дги,

ГДе Д|'м, Дги, Дгт соответственно ошибки выбранных численных методов, инструментальные и ошибки, обус­ ловленные ошибками входных величин (трансформиро­ ванные).

В рассматриваемом случае входные величины пред­ ставлены без ОШибОК, ПОЭТОМУ Дгт= Д/т = 10.

Ошибки выбранного численного метода зависят от вида кривой f(x), диапазона и шага интегрирования и

196

одинаковую длину цепочек последовательных округле­ ний, числа, участвующие в округлениях, при вычислении различных интегралов будут разными.

Таким образом, каждое решение у% можно рассма­ тривать как случайную величину, имеющую систематиче­ скую и случайную ошибку. Поскольку все решения г/» получены в одинаковых условиях (при помощи одного и того же метода и в одной и той же разрядной сетке), то их можно считать равноточными.

Если ввести обозначения:

d i = ( C i — c r) ( b — a ) \ zi — y i — di,

'Т Z ■y*r

“ ' s / f t ’

то выборка у ь уг, ..., уп заменяется на эквивалентную выборку zu z2, ..., zn, для которой среднее выборочное значение z, выборочная дисперсия D и «исправленная» генеральная дисперсия s2 определяются выражениями

(см., например, [28]):

Пусть решение у*г неизвестно. Тогда доверительный с точностью оценки е интервал, который покроет реше­ ние с надежностью (вероятностью) у, можно определить на основании выборки zir z% ..., zn следующим образом. В выражении

P ( \ z — y * r | < е) = у

неравенство заменяется на эквивалентное:

при ЭТОМ S = t^{sjYn).

197

Поскольку S(t, я) — четная функция от t, то

Р {2 — t s V fn < y * r < % + ^ s/ K«) = Т•

Итак, с помощью распределения Стьюдента довери­ тельный интервал

покрывающий неизвестный параметр у*г с надежностью у, может быть найден, если случайные величины Z и S заменить неслучайными величинами z, s, найденными по выборке. Значения ^ чаще всего находят с помощью

специальных таблиц.

Для проверки гипотезы о независимости ошибок округ­

ния условия бгы = 0 ИЛИ бгм<Сбги.

Равенство нулю ошибки численного метода для рас­ сматриваемого случая можно добиться, потребовав, что­

ловлена только накоплением ошибок округлений.

При исследовании других классов задач, когда ошиб­ ку метода не удается свести к нулю, приходится доволь­ ствоваться неравенством бш'СбшДля этого необходимо получить решение, близкое к y*r. С этой целью количе­

полученное таким образом решение равно у*г, можно записать:

biu—Zi У*г, бш5=0.

откуда следует сгзёсти.

198

Как уже указывалось, основная, т. е. нулевая, гипоте­ за предполагает нормальное распределение инструмен­ тальной ошибки со среднеквадратическим значением Он, которое зависит от длины N цепочки последовательных округлений:

В машинах с фиксированной запятой расчет сти в со­ ответствии с пулевой гипотезой выполняется по формуле

== ^окрV N ,

где сгокр — средпеквадратическое значение ошибки округ­ ления при выполнении операций умножения или деления.

Поскольку методы расчета разрядной сетки приведен­ ные в этой главе, базируются на балансах среднеквадра­ тических значений ошибок, то в качестве конкурирующей гипотезы целесообразно выбрать гипотезу, заключаю­ щуюся в том, что среднеквадратическое значение инстру­ ментальной ошибки больше гипотетического.

Итак, если обозначить генеральное среднеквадрати­ ческое значение инструментальной ошибки ЦВМ через аг, то нулевая гипотеза состоит в том, что

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы вы­ бирается у2:

*■==(*_

Здесь S 2— величина случайная, поскольку от выбор­ ки к выборке она принимает различные значения s2.

Правосторонняя критическая область строится так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, рав­ нялась принятому уровню значимости:

Р \У2> / К21М ' я — 1 Й ^ -

Критические точки у2 распределения у2 как функции

от числа степеней свободы п—1 и уровня значимости а подсчитаны и сведены в специальные таблицы.

199