книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

потеза о независимости ошибок округлений в цепочке последовательных элементарных операций, позволяющая приближенно оценить характер их накопления. Об оцен­ ках степени достоверности этой гипотезы в литературе нет никаких сведений.

Поскольку ошибка на выходе ЦВМ зависит не толь­ ко от накопившейся ошибки последовательных округле­ ний, но и от ошибок выбранных численных методов, оши­ бок входных аргументов и др., были предприняты попыт­ ки прогнозировать для проектируемых ЦВМ величину разрядности операндов, необходимой для обеспечения заданной точности, путем моделирования процесса вы­ числений на другой ЦВМ или счетном автомате [27]. Та­ кой подход обладает теми недостатками, что, во-первых,’ не позволяет выявить баланс ошибок и удельные веса различных составляющих ошибки на выходе ЦВМ, вовторых, в некоторых случаях подобное моделирование может оказаться очень сложным и дорогостоящим делом. Анализ источников ошибокщ ЦВМ автоматизированных систем управления проведен в работе [25].

В общем виде вопрос, затрагиваемый в этой главе, посвящается методам прогнозирования величины разряд­ ной сетки операндов, обеспечивающей заданную на выхо­ де ЦВМ точность для конкретных задач управления при известных алгоритмах счета и значениях ошибок входных аргументов.

Основное внимание уделяется изучению баланса оши­ бок, прогнозированию величины инструментальной ошиб­ ки и аналитическим методам расчета разрядностей опе­ рандов по заданной на выходе точности. Проверка сте­ пени достоверности гипотезы о независимости ошибок округлений с помощью специального эксперимента (см. § 4.9) дала вполне удовлетворительные результаты, т. е. основанные на этой гипотезе методы прогнозирования разрядной сетки операндов дают приемлемые для прак­ тики результаты.§

§ 4.2. ИСТОЧНИКИ ОШ ИБОК В УПРАВЛЯЮ Щ ИХ ЗВЕНЬЯХ С ЦИФРОВЫМИ М АШ ИНАМ И

Цифровые вычислительные машины, выполняющие функции управляющих звеньев сложных систем, получа­ ют информацию о различных внешних возмущающих воздействиях, а также о состоянии системы в текущий

150

момент времени и вырабатывает сигналы, управляющие отдельными объектами системы и системой в целом.

Эти сигналы вырабатываются в ЦВМ с некоторой по­ грешностью, которая в конечном итоге сказывается на показателях качества управления системы.

Очевидно, что к ошибкам на выходе управляющих ЦВМ должны быть предъявлены определенные требова­ ния, обеспечивающие заданные значения показателей ка­ чества управления.

Пусть, например, процесс управления некоторым объ­ ектом описывается функцией Ф(хь х2, . . . , х п), где Хг — входные аргументы.

При построении математической модели процесса эту функцию, если необходимо, заменяют достаточно близ­ кой к ней аппроксимирующей функцией F(x1, х2, . . . , х п)- Поскольку вместо точных значений аргументов лц на вход ЦВМ поступают их приближенные значения х»*, то

ческая, то при ее реализации в ЦВМ используют опреде­

то возникающие при вычислениях ошибки округлений будут трансформироваться. Это приведет к тому, что в разрядной сетке ЦВМ вместо значения F*(x 1 *, х2*,...

A2=F{Xi*, х2*, ..., xn*)—F*(Xi*, х2*, . . хп*),

A3=F*(Xi*, х2*, ..., xn*)—F**{Xt*, хг*, . хп*).

Ошибки первого типа (До) являются методологиче­ скими и отражают степень совершенства теории, а не качества ЦВМ. Они обусловлены расхождением между целесообразным поведением системы в результате воз­

151

действия внешних возмущений и поведением системы, которое обеспечивается математической моделью процес­ са, принятой за основу при конструировании управляю­ щих звеньев системы.

Ошибки второго типа (Ai) возникают в результате трансформации входных ошибок аргументов. Здесь не­ обходимо отметить следующее. Величина трансформиро­ ванной ошибки на выходе ЦВМ существенно зависит от вида функции F (хь х% ..., хп) и ошибок AХг = хг—хЦ исходной числовой информации.

Предельное абсолютное значение трансформирован­ ной ошибки определяется на основе известного соотно­ шения

Это значение соответствует действительному лишь тогда, когда все слагаемые имеют одновременно один и тот же знак и максимальную величину.

На практике такие условия выполняются чрезвычай­ но редко, поэтому целесообразно пользоваться средне­ квадратическим значением ат

вать методическими, являются ошибками численных ме­ тодов, принятых в ЦВМ для вычисления функции F (хt, х2, ..., хп). Эти ошибки, в принципе, могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет увеличения объема вы­ числений в бесконечноразрядной сетке.

152

Ошибки численных методов не зависят от характе­ ристик ЦВМ и в каждом конкретном случае могут быть рассчитаны достаточно точно.

Ошибки четвертого типа (Аз) являются инструмен­ тальными ошибками ЦВМ. Эти ошибки обусловлены конечным числом разрядов, предназначенных для пред­ ставления величин, и необходимостью округления ре­ зультатов некоторых элементарных операций.

Результирующая инструментальная ошибка на выхо­ де ЦВМ представляет в первом приближении ошибку, накопившуюся в процессе выполнения цепочек последо­ вательных элементарных операций с округлениями. В действительности же необходимо иметь в виду, что каждая из вновь возникающих ошибок округления при выполнении программы трансформируется через остав­ шуюся часть вычислительного процесса аналогично то­ му, как каждая входная ошибка аргумента трансформи­ руется через весь вычислительный процесс.

Таким образом, инструментальная ошибка ЦВМ за­ висит от вида функции F(xi, х2, ..., хп) и от характери­ стик машины, а именно от длины разрядной сетки, ис­ пользуемой для представления величин.

Каждая из ошибок А0, Ль Аг, А3 есть случайная ве­ личина, подчиняющаяся своему закону распределения.

Для простоты дальнейших рассуждений будем счи­ тать, что До= 0, и поэтому А = Д1 + А2 +Л'з.

С большой степенью достоверности можно утверж­ дать, что эти ошибки являются независимыми, и поэто­ му баланс их среднеквадратических значений описы­ вается выражением

0 2=О м 2+ О т2+О и2-

где о — среднеквадратическое значение результирующей ошибки на выходе ЦВМ, сгт, сгм, 0и — соответственно среднеквадратические значения трансформированной, методической и инструментальной ошибок.

Ошибки перечисленных выше типов имеют место не только в случае использования ЦВМ в конкретных си­ стемах управления, но и при решении широкого круга научно-технических задач с помощью универсальных цифровых машин широкого назначения. Различия могут возникнуть лишь при постановке задач, связанных с точ­ ностью вычислений в ЦВМ.

153

При анализе различных задач будем считать, что для реализации того или иного вычислительного процесса однозначно произведен выбор численного метода и по­

тарных операций с округлениями при реализации функ­

ции F(xь х% • ■ хп).

В случае универсальных цифровых машин широкого назначения может ставиться задача прогнозирования максимальной величины результирующей ошибки или ее вероятностных характеристик при известных ошибках исходного числового материала и фиксированной раз­ рядности ЦВМ.

Решение этой задачи сводится к подсчету величин Ль Лз или От и 0и и достигается достаточно просто.

На этапе разработки системы управления и проекти­ Грования для нее управляющей ЦВМ чаще ставится об­ ратная задача, а именно: для выбранных числовых ме­ тодов реализации функции управления и известных зна­ чений ошибок исходных аргументов необходимо рас­ считать разрядную сетку ЦВМ таким образом, чтобы величина результирующей ошибки на выходе машины не превышала некоторого заранее заданного значения. При этом имеется в виду, что выполнение этого условия должно достигаться наименьшим количеством разрядов. Очевидно, эта задача сводится к последовательному

нахождению значения ом, затем значения

0и2= О 2— От2— Ом2,

азатем к определению количества разрядов:

Я= е(ои, N).

Втех случаях, когда разрабатываются требования, предъявляемые к датчикам информации, поступающей на вход управляющей ЦВМ, обратная задача может быть сформулирована следующим образом: для выбран­ ных численных методов и заданной величины разрядной сетки ЦВМ рассчитать допустимые значения ошибок исходной числовой информации на входе машины так, чтобы величина результирующей ошибки на ее выходе не превышала заданного значения,

154

Возможны и другие варианты постановки обратной задачи.

Если, например, одновременно проектируются и управляющая ЦВМ, и устройства-датчики исходной чис­ ловой информации для ЦВМ, то имеет смысл ставить следующую задачу: для выбранных численных методов реализации функции управления и заданного допусти­ мого значения результирующей ошибки рассчитать раз­ рядную сетку машины и обеспечить такие значения оши­ бок исходной числовой информации на входе ЦВМ (на выходе соответствующих датчиков), чтобы выходная ошибка не превышала допустимого значения при мини­ муме материальных затрат на изготовление ЦВМ и со­ ответствующих устройств.

Очевидно, что процесс решения подобной задачи является гораздо более сложным по сравнению с мето­ дами решения задач, приведенных выше.

Несмотря на то, что ошибки о, <хт, (Гм могут быть до­ статочно просто подсчитаны, решение всех перечислен­ ных выше задач не может быть получено, если не име­ ется никаких указаний относительно зависимости вели­ чины инструментальной ошибки от разрядной сетки ЦВМ и функции F (хь х% ..., хп), подлежащей реализа­ ции.

Для того чтобы оценить величину инструментальной ошибки, необходимо, кроме того, исследовать величину и характер ошибок однократного округления при вы­ полнении элементарных операций в ЦВМ.

§ 4.3. ОШИБКИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Ошибки численных методов, используемых для реа­ лизации алгоритма функции управления, не зависят от характеристик ЦВМ. Эмпирический путь определения ошибок метода явно непригоден, так как при этом необ­ ходимо использовать ЦВМ, имеющую разрядную сетку очень большой длины (в идеальном случае бесконечную разрядную сетку). Кроме того, не исключено, что серия экспериментальных расчетов не обнаружит опасных (в смысле наибольших ошибок) ситуаций.

Известны аналитические способы расчета максималь­ ных абсолютных ошибок отдельных численных методов. Использование этих способов приводит к необходимости детального исследования функции управления, часто

155

к сложным и громоздким расчетам, выполнение которых удается не всегда. Для поиска среднеквадратических ошибок численных методов достаточно знать только чис­ ловые характеристики случайных аргументов (и не обя­ зательно, например, знание законов распределения слу­ чайных величин).

Ниже рассматриваются вопросы расчета среднеквад­ ратических ошибок вычисления функций для методов разложения функций в ряды и итераций в предположе­ нии, что все элементарные операции выполняются в бес­

конечноразрядной сетке, т. е. без ошибок округлений.

/

а) Степенные ряды. Пусть некоторая функция /(;:) представлена сходящимися степенными рядами Тейлора или Маклорена. Абсолютное значение ошибки вычисле­ ния этой функции зависит от количества первых учиты­ ваемых членов разложения и равна остаточному члену

Rn(x):

Rn( x ) - = - l r ^ ( x - t n {n+14t)dt

• M \Rn (x)] | dtdx-,

VD[Rn(x)\.

Аналогичным образом эти величины могут быть най­ дены и в случае рядов Тейлора. При разложении в ря­ ды функций многих аргументов задача определения ве­ личины Ом решается подобным образом.

Пусть плотность распределения g(xи х%, . . хр) си­ стемы аргументов известна. При разложении функции f(xi + hi, X2 + h2j ..., xp-\-hp) в ряд Тейлора величина Rn

156

остаточного члена при фиксированном п зависит не толь­ ко от вида функции, но и от значения аргументов:

R n — ^ { x ь Хъ ..., Хр ) .

Расчет среднеквадратического значения ом ошибки может быть выполнен с помощью соотношений:

3m= V"d \R n \ .

На практике расчет величины ом в случае функции многих аргументов сложен из-за громоздкости выраже­ ния для остаточного члена ряда. Кроме того, если в слу­ чае независимых аргументов имеет место соотношение

ную задачу. Часто в подобных ситуациях приближен­ ную оценку величины сгм можно произвести методом ли­ неаризации функции

R n = ty { xi , х ь • • Хр) .

Если известны математические ожидания /я* и сред­ неквадратические значения щ аргументов, а также нор­ мированная корреляционная матрица

157

где

dxi ) т~ dxi

б) Вычисление интегралов с помощью степенных ря­ дов. Пусть подынтегральная фукция f(x) разложена в сходящийся ряд Маклорена или Тэйлора, тогда

где U i ( x ) , R n ( x ) — соответственно i-й член разложения функции f(x) в ряд и остаточный член.

Абсолютная ошибка Ам метода определяется выра­

жением

ь

ния ошибки метода может быть найдена с помощью со­ отношений:

g*(AJ = l f (Ам)к№(Ам))>

ivi Iпал

Ф(АМ) = j R (Дм)

Дм min

и, следовательно,

Фурье среднеквадратическая ошибка ом вычисления функции f (х) с помощью тригонометрического полинома п-го порядка будет наименьшей, если коэффициенты по­

15 8

Поскольку зм > 0; а*«> 0; ^ + ^ > 0 , то справед­ ливо неравенство

что и дает возможность достаточно просто оценить ве­

личину

тс

г) Методы итераций. Метод итераций предусматрива­ ет отыскание приближенного значения корня уравнения с помощью рабочей формулы xi+1 = f(xt).

Если итерационный процесс сходится, то при любом первом приближении корня из интервала [а, Ь], после не­ скольких итерационных циклов будет найдено такое при­ ближенное значение корня, которое отличается от точно­ го значения Хо на величину, не превышающую допусти­ мую абсолютную погрешность е.

Метод итераций характерен тем, что вносит система­ тическую ошибку Дс:

Лс= |*о—f(x0±is) |.

Из-за полной неопределенности значения х\ первого приближения внутри интервала [а, Ь], а также из-за ма­ лого значения величины в закон распределения значений вычисленного корня хо* можно принять равновероят­ ным.

В случае монотонного процесса итераций (когда при­

g(Xo*) —1/(е—Дс) •

Абсолютное значение Дм ошибки метода итераций можно подсчитать с помощью соотношения

Ам = Д с ± Х о * + / ( * о + в ) ,

в котором случайной величиной является только х0*. Математические ожидания тл, « п значений вычи­

сленных корней в случае монотонных итераций соответ-

159