книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

U3M

Рис. 122. Вещественная частотная характеристика исследуемой системы.

и при внешнем воздействии в виде единичного импульса — формулой

(5-20)

и

Так как вещественная частотная характеристика Т/3(со) обыч­ но находится в сложной зависимости от ю, то вычисление интег­ ралов уравнений (5—19) и (5—20) затруднительно. Солодовни­ ков предложил точную вещественную частотную характеристику заменить приближенной, аппроксимируя ее ломаной так, чтобы можно было С/3 (со) представить в виде суммы трапецеидальных частотных характеристик (рис. 122, а). Трапеции должны выби­ раться так, чтобы каждая из них имела одну боковую сторону, перпендикулярную к основанию, и чтобы общая площадь с уче­ том знаков трапеций равнялась площади (с точностью аппрок­ симации), заключенной между кривой Uз(и) и осью со. Сумма на­ чальных ординат трапеций должна равняться начальной ордина­ те вещественной частотной характеристики (рис. 122,6). Часть характеристики при больших частотах, где значения ординат малы, отбрасывается. В силу замены точной характеристики суммой трапеций метод становится приближенным.

Вычисление интегралов уравнений (5—19) и (5—20) для трапецеидальных характеристик значительно проще. Такие вы­ числения В. В. Солодовниковым сведены в таблицы. Так как в таблицах не охватить все множество разноразмерных трапеций, то-они составлены для единичных трапеций, т. е. трапеций, ниж­ нее основание и высота которых равны единице (рис. 123). Одна из боковых сторон трапеции может иметь любой наклон, чем и охватывается множество форм трапеций.

160

Каждая из трапеций определяется следующими параметрами: начальной высотой Uо, частотой среза <вс, частотой излома соd, коэффициентом наклона тра­

пеции х= — . Для единичных трапеций

С0с

с различными коэффициентами наклона, лежащими в пределах 0 < х < 1 , по выра­ жению (5—19) может быть вычислен оригинал, т. е. функция времени, или /г-функция. Таблица /г-функций приведе­ на для случая внешнего воздействия на систему в виде единичного скачка и для

определенных значений безразмерного времени t (табл. 7). Чтобы от значений безразмерного времени перейти к размер­

ному, необходимо произвести пересчет по формуле

t

t = — ,

(ÜC

а переход от безразмерных ординат переходного процесса к размерным выполняется по формуле

■*(0 = hU0.

Таким образом, если вещественная частотная характеристи­ ка замкнутой системы заменяется, например, четырьмя трапе­ циями (см. рис. 122,6). [t/3(cü) = Ui (со)—U2(со)—і)4(со)], одна из которых с положительными ординатами и три с отрицатель­ ными, то для построения кривой_ переходного процесса, зада­

ваясь безразмерным временем t, в соответствующем столбце в зависимости от значения х находят безразмерные ординаты h. Затем производится пересчет безразмерного времени и безраз­ мерных ординат в размерные. По полученным значениям x(t) для каждой трапеции строится составляющая переходного про­ цесса. Результирующая переходного процесса получается путем суммирования составляющих с учетом знаков ординат трапеций: x(t) = Х \ —х2—х3—х4.

Пример. Построить кривую переходного процесса методом частотных

трапецеидальных характеристик.

Раскрыв скобки в знаменателе уравнения замкнутой САР (4—90), име­ ем передаточную функцию замкнутой астатической системы

Продолжение табл. 7

рез десятые доли секунды. Учитывая, что безразмерное время будет делить­ ся на сое каждой трапеции, то для трапеции / оно будет сокращаться при­ мерно в 1 0 раз и, следовательно, значениями безразмерного времени следует задаваться через 1 , пока не перестанут меняться практически значения таб­ личных ординат. Для трапеции II безразмерное время при переходе к раз­

нат составляющих. Из рисунка видно, что переходный процесс носит колеба­ тельный характер и в установившемся режиме статическая ошибка равна ну­ лю. Время переходного процесса /„ = 1,2 с.

§ 4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

После определения структуры САР, выбора параметров си­ стемы из условий обеспечения допустимой статической ошибки и уточнения параметров и структуры системы из условий обеспе­ чения устойчивости следует уточнить зна­ чения параметров, вы­ бранных из требований к качеству переходно­ го процесса. Показате­ лями качества функци­ онирования систем ав­ томатического регули­ рования являются ве­ личины, характеризую-

166

щие поведение системы в переходном процессе при поступлении па ее вход единичного ступенчатого воздействия. На рис. 126 представлена кривая переходного процесса САР при единичном ступенчатом изменении задающего воздействия на регулятор.

Основными величинами, характеризующими качество регули­ рования, являются время регулирования, перерегулирование, ус­ тановившаяся ошибка, колебательность.

Временем регулирования называется время, в течение ко­ торого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклонения регулируемой величины x(t) от ее установившегося значения х(оо) будут больше наперед заданной величины А. Обычно принимают, что по истечении времени регулирования отклонение регулируемой величины от установившегося значе­ ния должно быть не более 5%. Таким образом, время регулиро­ вания определяет длительность (быстродействие) переходного процесса.

Перерегулированием о называется максимальное отклонение *тах регулируемой величины от установившегося значения, вы­ раженное в процентах от х(оо), Абсолютная величина а опреде­ ляется из кривой переходного процесса (см. рис. 126), а именно

Величпна перерегулирования не должна превышать 10—30%• Установившееся значение выходной величины х(оо) в общем случае может несколько отличаться от заданного значения ре­ гулируемой величины х0.

Иногда дополнительно к величине перерегулирования а зада­ ется допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса. Это число обычно состав­ ляет 1—2. В некоторых системах колебания могут вообще не до­ пускаться, а иногда их число может достигать 3—4.

Графически требования к запасу устойчивости и быстро­ действию сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой ве­ личины не выходило при единичном входном воздействии из не­ которой области, изображенной на рис. 127. Эта область называ­ ется областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе.

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки. Знание мгновенного зна­ чения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако вследствие случайности возмущающего воздействия такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по неко­

167

Точность системы в синусоидальном режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена на основе символического метода при подстановке p = jсок в урав­ нение (5—25)

Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия хтах<C*/max, то, следо­ вательно, модуль знаменателя уравнения (5—26) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выраже­ ние (5—26) заменить приближенным

Формула (5—27) позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо рас­ полагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или а. ф. х. разомкнутой системы.

Формула (5—27) широко используется также при расчете систем методом л. а. х. В этом случае модуль Л(сок) в децибелах, т. е. L (wK) = 2 0 lg Л (<ак) равен ординате л. а. х. при частоте со =

=сок (рис. 128,а).

Простота выражения (5—27) позволяет легко решить обрат­

ную задачу, т. е. сформулировать требования к л. а. х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в синусоидаль­

у т ах и допустимой аМПЛИТуДЫ ошибки Хщах вычислить требуем ое

значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах

L (о>к) = 20 lg А (сок) = 20 lg

хтах

Это значение модуля необходимо отложить на логарифмиче­ ской сетке при частоте управляющего воздействия и = (ок. Полу­ ченная точка Ак (рис. 128,6) обычно называется контрольной точкой для л. а. х. Чтобы амплитуда ошибки в системе не пре­ восходила допустимого значения, л.а.х. должна проходить не ниже контрольной точки Ак. Если л. а. х. пройдет через эту точ­ ку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому зна­ чению. Если л.а.х. пройдет ниже точки Ак, то ошибка будет больше допустимого значения.

Оценка качества по вещественной частотной характеристике.

Для определения качества регулирования необходимо построить

169

гулируемой величины в относитель­ ных единицах при единичном скач­ ке на входе равно начальной ординате вещественной частотной

характеристики (см. рис. 122, а). дс(оо) = U0.

2. Начальная часть вещественной частотной характеристики влияет в основном на конец переходной характеристики, а хвост ее — главным образом на начальную часть переходного про­ цесса. Чтобы приблизительно оценить переходный процесс, рас­ сматривают конечный интервал частот О ^ш ^И с, где сос опреде­ ляется как значение частоты, выше которого величина U(со) имеет слишком малое значение. Промежуток 0^со^сос называ­ ется интервалом с у щ е с т в е н н ы х ч а с т о т .

3. Длительность переходного процесса будет тем меньше, чем больше интервал существенных частот. Относительно длитель­ ности переходного процесса можно утверждать, что имеет место следующее неравенство:

4.Перерегулирования в переходном процессе может не быть,

аесли и будет, то не превысит 20%, если вещественная частот­ ная характеристика в интервале существенных частот является положительной и невозрастающей. В этом случае время переход­

вещественная частотная характеристика в интервале существен­ ных частот имеет отрицательную убывающую по абсолютному значению производную.

170

6. При наличии у вещественной ча­ стотной характеристики пика (см. рис. 122) величина перерегулирования мо­ жет быть найдена по такому неравен­ ству:

1,18 Umax~ U (0) •100%. 1/(0)

Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещест­ венной частотной характеристики. Зная свойства вещественной частот­ ной характеристики, можно по ее ви­ ду дать приближенную оценку кривой переходного процесса.

Если система исследовалась алгебраическими методами, то

называются параметрами Вышнеградского.

На плоскости параметров А и В нанесем границу устойчиво­ сти. Условия устойчивости системы третьего порядка Â > 0, В > > 0 и А В > 1. Уравнение границы устойчивости (колебательной)

171