книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

частоты, но с амплитудой и фазой, отличающимися от тех же

Выражение W (/со) показывает отношение относительного из­ менения модуля и фазы выходной величины разомкнутой систе­ мы к модулю и фазе входной величины. Значение А (со) и ср (со) можно отложить в полярной системе координат в виде вектора. Кривая, описываемая концом этого вектора, при изменении ча­ стоты со от 0 до оо называется годографом а.ф.х. Годограф сов­ мещает в себе две характеристики: амплитудно-частотную и фа­ зо-частотную.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

если в системе, устойчивой в разомкнутом состоянии, годограф амплитудно-фазовой характеристики не охватывает точку с ко­ ординатами (—1, jO), то эта система будет устойчивой и в замк­ нутом состоянии (кривая 1 на рис. 115); если же годограф охва­ тывает эту точку, то в замкнутом состоянии система будет неус­ тойчивой (кривая 3). Если а.ф.х. проходит через точку с коорди­ натами (—1, /0), то система будет находиться на границе устой­ чивости (кривая 2).

Об устойчивости можно также судить по амплитудно-частот­ ным и фазо-частотным характеристикам (рис. 116). При этом у системы, устойчивой в разомкнутом и замкнутом состояниях, на

150

частоте соср (частота среза), при которой а.ч.х. проходит через

иметь значение меньше 1. При совпадении частоты среза с кри­ тической частотой ( с о с р = с о Кр) имеет место граница устойчивости.

Рассмотрим еще один важный случай, когда при со = 0 а.ф.х. обращается в бесконечность. Такой частотной характеристикой обладают астатические системы (системы, содержащие интегри­ рующие звенья).

Если знаменатель передаточной функции разомкнутой систе­ мы имеет один нулевой корень, что соответствует астатизму пер­ вого порядка, то ее можно представить в таком виде:

W (Р) = Q (р) рР (р)

Подставив p = j(ä при ю->0, будем иметь а.ф.х. (кривая4 на

Для определения устойчивости системы с астатизмом любо­ го порядка достаточно построить а.ф.х., соответствующую поло­ жительным частотам, которая должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса (пунктир на рис. 115). При этом для устойчивости системы в замкнутом состоянии а.ф.х. с ча­ стью дуги, заключенной между положительной полуосью t/(co), не должна охватывать точку с координатами (—1, /0).

Поясним физический смысл рассматриваемого критерия устойчивости. Рассмотрим замкнутую систему, в которой под влиянием какого-то внешнего воздействия возникли затухаю­ щие колебания. Будем изменять один из параметров системы (наиболее наглядным является изменение коэффициента усиле­ ния) в такую сторону, чтобы в системе уменьшалось затухание. При каком-то значении этого параметра система станет неустой­ чивой, т. е. в ней возникнут незатухающие колебания с некото­ рой частотой (оКр. Сохранив последнее значение изменяемого па­ раметра системы, разомкнем ее и подадим на вход колебание с частотой сокр. При этом модуль а.ф.х. будет равен 1, а аргу­ мент— 0, так как иначе замкнутая система не могла бы поддер­ живать незатухающие колебания с данной частотой. Если еще больше изменить данный параметр, что приведет к дальнейше­ му уменьшению устойчивости, то при частоте, которой соответ­ ствует ф(м) = 0 , модуль а. ф. X. будет больше 1. Это означает, что сигнал после каждого прохода по разомкнутой системе будет возвращаться усиленным, т. е. амплитуда колебаний в замкну­ той системе будет нарастать.

151

Покажем связь между критериями устойчивости Михайлова и Найквиста. Из критерия устойчивости Михайлова вытекает, что если система находится на границе устойчивости, то годо­ граф Михайлова £>(/со) проходит через начало координат на комплексной плоскости. При таком значении D (jсо) а.ф.х. замк­ нутой системы будет стремиться к бесконечности Ф(/со)—>-оо. В то же время а.ф.х. Ф(/со) замкнутой системы выражается че­ рез а.ф.х. W (/со) разомкнутой системы при помощи формулы (4—64) при подстановке в нее p = j(o.

Из уравнения (4—64) видно, что Ф(/со) будет стремиться к бесконечности только в случае, если W(ja)= —1. Таким обра­ зом, годограф Г (/со) разомкнутой системы, находящейся на гра­ нице устойчивости, должен проходить через точку с координата­ ми (—1, /0), где ( 0 с р = ( 0 к р . Если годограф охватит эту точку (< О ср > с о к р ), то в замкнутой системе возникнут колебания с на­ растающей амплитудой. У устойчивой системы соСр<о)Кр н коле­ бания, возникшие при переходном процессе, будут затухать.

Преимуществом критерия Найквиста по сравнению с други­ ми критериями является то, что для построения амплитудно-фа­ зовой характеристики используется такая функция, которая оп­ ределяется не только левой, но и правой частью исходного диф­ ференциального уравнения. Это позволяет в дальнейшем легко развить этот критерий для определения не только устойчивости, но и качественных показателей процесса регулирования.

Достоинством критерия Найквиста является также возмож­ ность использования для определения устойчивости снятых экс­ периментально частотных характеристик. Это оказывается осо­ бенно ценным в том случае, когда ввиду сложности исследуемой системы трудно получить исходные дифференциальные уравне­ ния всей системы или ее отдельных звеньев. Крупное преимуще­ ство критерия Найквиста заключается также в том, что он мо­ жет применяться при использовании логарифмических частот­ ных характеристик, которые во многих случаях могут строиться практически без вычислительной работы. Рассмотрим на приме­ рах методику применения критерия Найквиста для анализа ус­ тойчивости САР.

Пример 1 . С помощью критерия Найквиста (построением а.ф.х.) опре­ делить устойчивость замкнутой автоматической системы, если передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:

P(Tl P + l ) ( T t P + l) ’

где К = 8 6 1 /с, 7, = 0 , 0 2 с, 72 = 0,03с.

Аналитическое выражение для частотной передаточной функции

W (/со) = ________ К__________

/со (1 + Т г /со) ( 1 + Т 2/со)

152

Модуль приведенного выражения

афаза определяется, как аргумент того же выражения

Ф(со) = — (90° + arctg 7\ со + arctg Г2 со).

После подстановки значений параметров имеем расчетные формулы для построения а. ф. х.:

со J/(1 + 4-10“ 4 со2)( і + 9 - ІО- 4 со2)

Ф (со) = — (90° + arctg0,02co -f- arctg О.ОЗсо).

Результаты расчета по полученным формулам приведены ниже

По полученным данным для заданного случая строится а. ф. х. (рис. 117), которая при изменении О ^со^оо не охватывает точки (—1 , /0 ) на комплекс­ ной плоскости. Следовательно, система устойчива.

значениях параметров система находится на границе устойчивости, так как

вания давления стала устойчивой, так как а. ф. х. не охватывает точку с ко­ ординатами (—1, /0). Следует отметить, что изменение коэффициента усиле­ ния системы сказывается только на значении частоты среза соср, которая

153

дении значений соср и сокр, то запас устойчивости по амплитуде (усилению) следует определять на критической частоте, т. е. когда сдвиг фаз в разомкнутой системе равен —180°. Запас устойчивости по фазе Дф определяется на частоте соср.

На рис. 118 показана методика графического определения за­ пасов устойчивости по годографу W (jсо). Для определения запа­ са устойчивости по усилению отмечается точка на годографе при (о = (Окр. В этой точке /(= 0,4 и запас устойчивости АЛ= 0,6. За­ пас устойчивости по фазе определяется при (о = соСр. Для этого из центра координат проводится дуга единичного радиуса. Пересе­ чение радиуса с годографом даст искомое значение соср. Запас устойчивости по фазе будет равен разности между углом— 180° и ф(а>Ср), т. е.

Дф = 180° — ф (соср).

Логарифмический критерий. Для определения устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам используется критерий Найквиста, но строится не а.ф.х., а логарифмические амплитудная (л.а.х.) и фазовая (л.ф.х.) частотные характери­ стики разомкнутой системы. Для простых систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, анализ устойчивости по логарифмиче­ ским характеристикам полностью аналогичен анализу устойчи­ вости по обычным амплитудно- и фазо-частотным характеристи­ кам. Таким образом, при ЮерСсокр система устойчива; примср=

.= сокрсистема находится на границе устойчивости; при o)Cp>coK система неустойчива.

Запасы устойчивости определяются по логарифмическим ча­ стотным характеристикам таким же способом, как и по обычным частотным характеристикам. Следует только учитывать, что за­ пас устойчивости по амплитуде (усилению) ДЛ будет выражен в децибелах. Обычно считаются приемлемыми запасы устойчи­ вости при ДЛ = 10 20 дБ и Дф= 30-:-40°.

Построение л.а.х. выполняется по выражению

L(i о) = 20 lgi4(e>) = 201g|in/<o)|,

где А (со) —■модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы.

Построение л.ф.х. ведется по значению аргумента cp(co) ча­ стотной передаточной функции

W (/со) = А (со)е/ф(ш) = СУ(со) + j V (со).

Наиболее простое построение получается, если использовать выражение передаточной функции разомкнутой системы в виде произведения сомножителей типа (11-\-Тр)\

m

/7(і +Tjo) І= 1_______

*■0» = ^

рт Л а+ Тір )

£=1

154

Рис. 119. Пример построения логарифмических (амплитудной и фазовой) частотных характеристик.

где Кг — коэффициент усиления разомкнутой системы; г — степень астатизма.

При подстановке р — ]\о в уравнение передаточной функции получаем

т

ПѴ'+*}«*

ПѴ1+7 > 2

Фаза (аргумент) частотной передаточной функции

Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку С с координатами (—1, /0). Это значит, что при величине фазы ф > —180° амплиту­ да А должна быть меньше единицы (рис. 119). Это в свою оче­ редь означает, что логарифм амплитуды должен быть отрица­ тельным, т. е. 20 lg А < 1 . Отсюда вытекает следующая форму­ лировка частотного критерия устойчивости. Если разомкнутая система будет устойчива или нейтральна, то замкнутая система будет устойчива, если при значении фазы ф= —180° амплитуд­ ная логарифмическая характеристика разомкнутой системы имеет отрицательное значение.

155

Без вычислительной работы можно легко построить асимпто­ тическую л.а.х., для чего на стандартную сетку (см. рис. 119) на­ носятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах

Для определенности построения возьмем передаточную функ­ цию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка (г= 1) и положим (= 3 , / = 1, тогда

K( l + T2p)

W(p) =

p ( l + 7 i p ) ( l -\-T3p)2'

Этой функции соответствует выражение для модуля в логариф­ мических единицах

Примем, что выполняется условие Т і> Т 2> Т 2. Тогда для со­ прягаемых частот (см. рис. 119) будет выполнено условие соі<

прягающей частоты о)і, то выражение (5—16) приобретает та­ кой вид:

L (со) « 20 lg — , со

которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/декаду, проходящая через точку А с координатами со = = 1Ѵс и Б (со) = 2 0 lg /С и через точку Е с координатами со — К и L( со) = 0. Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точ­ ка В). Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе уравнения (5—16), то не­ обходимо «изломать» л.а.х. на 20 дБ/декаду вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном—40 дБ/декаду. Если эта соп­ рягающая частота соответствует постоянной времени, находя­ щейся в числителе выражения (5—16), то соответственно необ­ ходимо «изломать» л.а.х. на 20 дБ/декаду вверх.

В соответствии с выражением (5—16) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дБ/декаду вниз, в точке С — на 20 дБ/декаду вверх и в точке Д — на 2Х

отрицательный наклон 60 дБ/декаду.

Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при лю­ бом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен

156

Рис. 120. Определение устойчивости по виду л. а. х.

ил. ф. X.

г-20 дБ/декаду. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами со = 11/с и L(a>)— 20 lg /С. Выражение для фазового сдвига (5—16) в рассматриваемом примере приобре­ тает следующий вид:

Ф= — 90° — arctg а>Т1 + aretg со Т„ — 2 arctg (£>Т3 =

ставляет собой по сути дела одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. По­ этому достаточно построить, например, только зависимость срі= = —arctgco7’1 (см. рис. 119). Все остальные слагаемые получа­ ются простым сдвигом этой характеристики так, чтобы при соот­ ветствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого в уравнении (5—17).

Как следует из сформулированного выше правила, в абсолют­ но устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значе­ ния ф = —180° только при модулях, меньших чем единица. В ус ловно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать —180° четное число раз. Это позволяет легко определить устой­ чивость по виду л.а.X. и л.ф.х. разомкнутой системы. На рис. 120, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Замкнутая система автоматического регулирования будет устойчивой, если точка пересечения л.а.х. с осью нуля децибел (точка 1 на рис. 120, а) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения

(1 — 3) — з а п а с о м у с т о й ч и в о с т и по фа з е .

Другая формулировка устойчивости: если л.а.х. разомкнутой системы пересекает ось нуля децибел (ось частот) раньше, чем

157

эту же ось (соответствующую —180°) пересечет л.ф.х., то замк­ нутая система будет устойчивой.

На рис. 120,6 изображен случай условно устойчивой систе­ мы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения — 180° дважды при модулях, больших

единицы (точки 3 и 4).

На рис. 120,s изображен случай колебательной границы ус­ тойчивости, а на рис. 120, г — случай неустойчивой системы.

Пример. Определить устойчивость системы методом логарифмических характеристик, если передаточная функция системы для разомкнутого состо­ яния имеет вид:

где К = 50 1/с, Г, = 0,04 с, Г2 =0,01 с.

Если система устойчива, требуется определить запас устойчивости по ампли­ туде и по фазе.

Для построения амплитудной и фазовой логарифмических характеристик определяем частоты излома (сопрягающие частоты) асимптот асимптотичес­ кой л. а. X .

Определяем подъем амплитудной логарифмической характеристики при частоте со = 1 с- 1

Щ = 20 lg К = 20 lg 50 = 34 дБ.

На основании полученных данных и вида передаточной функции строим амплитудную логарифмическую характеристику (рис. 1 2 1 ).

Для определения фазовой характеристики согласно выражению (5—18) имеем

Ф (и) = — 90° — arctg 7\ (о — arctg Т2со

или

Ф (со) = — 90° — arctg 0,04 со — arctg 0,01 со.

158

Задаваясь значениями со, вычисляем значения фазы:

По полученным данным строим фазовую характеристику. Как видно из рис. 121, л. а. X. раньше пересекает ось частот (принимает отрицательные зна­ чения), чем л. ф. X. достигает значения ф= —180°, следовательно, замкнутая система устойчива. При этом запас устойчивости по амплитуде составляет AZ.«8 дБ и по фазе Дф«20°.

§3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ВАВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Выбор параметров автоматических систем из условий стати­ ческого расчета, устойчивости и качества переходного процесса является приближенным. Поэтому в конце исследования обычно строится кривая переходного процесса и непосредственно по ней оценивают, насколько выполнены требования, предъявленные при проектировании автоматической системы. Если полученный переходный процесс оказывается неудовлетворительным, то па­ раметры системы могут быть снова уточнены и выполняется по­ вторное построение.

численно заданными коэффициентами, описывающее данную ав­ томатическую систему. Обычно САР описываются дифференци­ альными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это ус­ ложняет практические расчеты, поэтому приходится пользовать­ ся приближенными методами. Существует несколько методов построения кривой переходного процесса.

Для построения кривых переходных процессов в линейных системах при любом виде правой части применяется о п е р а ц и ­

нить к системе, в которой известны уравнения не всех звеньев; Для некоторых звеньев частотные характеристики сняты экспе­ риментально. При пользовании им не требуется вычисления корней алгебраических уравнений и производных постоянных. Однако он применим только для случая воздействия на систему единичным скачком или импульсом.

Указанный метод основан на связи переходного процесса с вещественной частотной характеристикой U3(Ö ) замкнутой ав­ томатической системы. Для единичного скачка эта связь опреде­ ляется формулой

(5-19)

о

159