книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

го решения уравнения (5—1) без правой части, т. е. правая часть равна нулю

Первое слагаемое уравнения (5—2) называют вынужденным

решением (в случае хчаст (0 —cons^ это будет установившееся значение), а второе слагаемое — переходной составляющей

Система будет устойчивой, если с течением времени при t-*-оо переходная составляющая будет стремиться к нулю хп(t)— >-0. Найдем эту составляющую из уравнения (5—1). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части

Общее решение имеет следующий вид:

Дифференцируя выражение (5—5) п раз и подставляя его в уравнение (5—4), имеем после сокращения на общий множи­

тель СеЫ следующее уравнение:

Корни его 6і, ... 6„ будут определять характер переходного про­ цесса в системе. Нетрудно видеть, что левая часть уравнения (5—6) полностью совпадает с левой частью уравнения (5—1). Поэтому характеристическое уравнение еще получается прирав­ ниванием левой части уравнения (5—1) к нулю:

Однако здесь буква р = б обозначает не символ дифференци­ рования, а некоторое комплексное число, которое является реше­ нием (корнем) характеристического уравнения. Так как в реше­ нии характеристического уравнения содержится п корней, то пе­ реходная составляющая может быть записана в таком виде:

Если корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (5—1), то постоянные ин­ тегрирования определяются также и видом правой его части. По­ этому быстрота затухания и форма переходного процесса опре­ деляются как левой, так и правой частями исходного диффе­ ренциального уравнения.

140

Рис. 108. Переходный процесс для веществен­ ного корня.

■ ■ Л»

Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного про­ цесса), то устойчивость линейной системы совершенно не зави­ сит от вида правой части дифференциального уравнения (5—1) и определяется только характеристическим уравнением (5—7). Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимо­ сти полностью знать корни характеристического уравнения. До­ статочно знать, какие свойства корней необходимы и достаточ­ ны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми.

Пусть один из корней, например рі, является вещественным. Если он отрицательный (р\ — —си), то слагаемое, определяемое этим корнем в уравнении (5—8), будет представлять собой экс­

поненту С\в~аіі . Очевидно, что при t-*-оо этот член будет зату­ хать. При р\ — +ссі, где cti>0, получается не затухающий, а рас­ ходящийся процесс (рис. 108).

Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При от­ рицательной вещественной части два корня, например рі и р2, будут иметь такой вид: р\,2— —a+ /ß . В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (5—8), могут быть представлены в следующем виде:

141

тель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 109,а). При положительной вещест­

ставлять собой незатухающие колебания, т. е. колебания с по­ стоянной амплитудой

Cj е + С2 = А sin (ß^ -f ф).

Такой процесс изображен на рис. 109, в.

Следовательно, для затухания переходного процесса необхо­ димо, чтобы вещественные части корней (как вещественных, так и комплексных) были отрицательными. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положитель­ ную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т. е. система окажется неустойчивой.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. ПО). Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то си­ стема будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представ­ ляет собой границу устойчивости в плоскости корней, за кото­ рую не должны переходить корни характеристического уравне­ ния. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом об­ ласть устойчивости.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, устойчива или не­ устойчива система, достаточно найти корни ее-характеристиче­ ского уравнения. Однако этим методом пользоваться во многих случаях практически невозможно, так как находить корни алгеб­ раических уравнений высоких степеней очень трудно, а уравне­ ния степеней выше четвертой вообще аналитически не решаются. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения, мы оп­ ределим, устойчива или неустойчива система, но не сможем ус­ тановить, как нужно изменить параметры системы для обеспече­ ния или повышения ее устойчивости, и представить себе, как тот или иной параметр или совокупность параметров системы авто­ матического регулирования влияют на ее устойчивость. В связи с этим в современной теории автоматического регулирования и инженерной практике нашли широкое применение косвенные методы исследования САР на устойчивость. Поэтому желатель­ но иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы

142

судить об устойчивости системы непосредственно по коэффици­ ентам характеристического уравнения без вычисления корней. Эти критерии называются к р и т е р и я м и у с т о й ч и в о с т и .

Необходимым, но недостаточным условием устойчивости си­ стемы является положительность всех коэффициентов характе­ ристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не иск­ лючена возможность и неустойчивой системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков.

§ 2. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Основным признаком устойчивой системы является то, что действительные части всех корней характеристического уравне­ ния отрицательны, однако знак устанавливается не непосредст­ венно в результате их определения, а косвенным путем. Наибо­ лее наглядными критериями устойчивости являются алгебраиче­ ские критерии. Однако они имеют ряд недостатков, что привело

кпоиску других критериев. Наиболее удобными для применения

винженерной практике оказались частотные критерии устой­ чивости.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описы­ ваемых дифференциальными уравнениями любого порядка, бы­ ла сформулирована Максвеллом в 1868 г. Эта задача была впервые решена Раусом в 1875 г. для уравнений четвертой и пя­ той степеней. Поскольку критерий Рауса дан в форме алгорит­

установить состояние системы. Поясним математическую приро­ ду критерия Гурвица. Для характеристического уравнения

•• • «

143

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от йі д о ап. Каж­ дая строка дополняется коэффициентами с возрастающими ин­ дексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечет­ ными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэф­ фициента, если индекс меньше нуля или больше п, на его месте пишется нуль.

Сущность критерия устойчивости сводится к тому, что цри йо> 0 должны быть больше нуля все п определений Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов. Определи­ тели Гурвица составляются по следующему правилу [см. выра­ жение (5—9)]:

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме ниж­ него, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний таким образом:

т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости мож­ но получить, приравнивая нулю последний определитель Дп = 0, при положительности всех остальных определителей. Как сле­ дует из выражения (5—10), это условие распадается на два ус­ ловия: ßn = 0 и Дп-і = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая), а второе — грани­ це второго типа (колебательная). Такое состояние (граница ус­ тойчивости) возникает, если при определенном значении всех остальных параметров элементов системы общий коэффициент' усиления имеет определенное критическое значение ап= ККр- Обычно критический коэффициент усиления можно найти с по­ мощью критерия Гурвица.

Пример. С помощью критерия Гурвица определить устойчивость системы и критический коэффициент усиления /Скр системы регулирования давления, рассмотренной в § 7 главы 4.

а0 Р3 + р2 + я2 р -f а3 = 0,

где а0 = ГклГ1Г2 =ЮО; а1= ТклТ1+ Т к:іТ2+ Т 1Т2=80а2 = ТКа + Т 1+Т2= 17;

0з=К”Ь 1.

144

Из критерия устойчивости Гурвица следует, что при всех положительных коэффициентах (ао>0, аі> 0 , а2 > 0 , а3 > 0 ) определитель Дз для устойчивой системы должен быть больше нуля, т. е.

Для определения критического коэффициента усиления определитель Дз должен быть равен нулю и система в этом случае находится на границе устой­ чивости, а именно:

Отсюда ЛКР = 12,6. При /Скр= 12,6 система будет находиться на границе устой­ чивости. Если коэффициент усиления системы К будет больше /Скр, то система будет неустойчивой; если же Л<Лкр, то — устойчивой.

Согласно формуле на стр. 129 Лкр = Л=А'обЛ'р. Определим критическое значение коэффициента усиления регулятора ЛР, при котором система будет

Коэффициентом усиления регулятора можно варьировать (настройка регуля­ тора). При Лр<5,25 система будет устойчивой.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица при примене­ нии его на практике мало помогает конструктору, если последне­ му приходится неустойчивую систему изменять для придания ей устойчивости.

Если известны числовые значения всех коэффициентов харак­ теристического уравнения, то алгебраический критерий позволя­ ет получить ответ на вопрос об устойчивости системы. В более широкой постановке, пользуясь критерием, можно выявить, как влияет тот или иной коэффициент на устойчивость, в каких пре­ делах он может изменяться без нарушения устойчивости и оце­ нить значение этого коэффициента, при котором степень устой­ чивости будет приемлемой. Для решения этих вопросов необхо­ димо обратиться к диаграммам Вышнеградского, которые даны в §4.

Существенными недостатками алгебраических критериев яв­ ляются следующие.

1. Для применения надо иметь аналитические выражения или уравнения для всех звеньев исследуемой системы, которые зачастую могут быть получены только экспериментальным пу­ тем и с трудом поддаются аналитическому выражению.

2.Коэффициенты или параметры, характеризующие физиче­ ские свойства отдельных звеньев системы, входят в неравенства Гурвица (и Рауса) в столь сложных сочетаниях (для систем вы­ ше четвертого порядка), что практически бывает трудно устано­ вить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.

3.Критерий лишен наглядности, носит формальный характер

иничего не говорит о качестве САР, т. е. насколько система да­ лека от условий устойчивости и как в ней протекает переходный

процесс.

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Частотные критерии устойчивости имеют ряд преимуществ перед алгебраическими и, в частности, перед критерием Гур­

вица:

1) возможность сравнительно простого применения к систе­ мам, описываемым дифференциальными уравнениями высокого

порядка; 2) наглядность, обусловленная тем, что анализ устойчивости

системы сводится к графо-аналитическому исследованию кривой а.ф.х. на плоскости.

Все частотные критерии делятся на две группы. К первой группе относятся критерии, позволяющие судить об устойчиво­ сти замкнутой системы по ее частотным характеристикам (кри­ терий А. В. Михайлова). Ко второй группе относятся критерии, позволяющие судить об устойчивости замкнутой системы по ча­ стотным характеристикам разомкнутой системы (критерий Найквиста и логарифмический критерий).

Критерий Михайлова. Рассмотрим отдельно левую часть ха­ рактеристического уравнения замкнутой системы (5—1), кото­ рая представляет собой характеристический полином,

D (р) = а0 рп + а± рп~ 1-1-------f- ап_ х р + а п .

Подставив в этот полином чисто мнимое значение p — jw, где о) представляет собой угловую частоту колебаний, соответствую­ щих чисто мнимому корню характеристического уравнения, по­ лучим характеристический комплекс

D (/со) = U (со) + jV (со),

где вещественная часть будет содержать четные степени

а мнимая — нечетные степени частоты со

146

систем с характеристическим уравнением от п = 1 до п = 5. Если система находится на границе устойчивости первого ти­

па (имеется нулевой корень в характеристическом уравнении), то кривая Михайлова выходит из начала координат (рис. 113,а). Если имеется колебательная граница устойчивости (в характе­ ристическом уравнении имеются чисто мнимые корни), то кривая Михайлова пройдет через начало координат (рис. 113,6), при этом сокр есть частота незатухающих колебаний системы.

Отрезок между началом координат и точкой начала годогра­ фа (ы= 0) характеризует усиление системы (ап— К). При уве-

148

личешш коэффициента усиления происходит деформация годо­ графа и смещение его вправо относительно начала координат, а при критическом коэффициенте усиления /СКр годограф пройдет через начало координат. Следовательно, отрезок АО на рис. 112 характеризует запас устойчивости по усилению.

Критерий Михайлова позволяет достаточно просто строить области устойчивости в плоскости параметров системы, прибли­ женно находить корни характеристического уравнения и некото­ рые оценки качества процесса регулирования и применяется в ос­ новном для анализа замкнутых систем.

то система устойчива.

Критерий Найквиста. Когда об устойчивости замкнутой си­ стемы судят по амплитудно-фазовой характеристике разомкну­ той системы, то исследование системы проводят с помощью кри­ терия Найквиста. Он получил наиболее широкое распростране­ ние благодаря простоте, богатству физического содержания, на­ глядности результатов, легкости постановки эксперимента для проверки расчетов или получения недостающих сведений и от­ сутствию сложных вычислений.

Для исследования замкну­ той системы на устойчивость с помощью критерия Найквиста эту систему разрывают в ка­ кой-либо точке соединения зве­ ньев. На образованный в точ­ ке разрыва вход системы пода­ ется колебание постоянной ам­ плитуды А 1 и частоты и. Прой­ дя через систему, это колеба­ ние появится на выходе систе­ мы в виде колебаний той же

149