книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

Рис. 98. Преобразова­ ние структурной схемы при возмущающем воз­ действии:

а — исходная схема; б — преобразованная

схема по каналу возму­ щающего воздействия.

Однако на реальную САР всегда действуют возмущающие воздействия. Эти возмущающие воздействия f(t) в большинст­ ве случаев приложены ко входу объекта (рис. 98,а). Тогда на выходе объекта возникает отклонение Ах, которое с обратным знаком (так как обратная связь отрицательная) подается на вход регулятора. Выходная величина сигнала с регулятора хѵ поступает на вход объекта, суммируясь с возмущающим воз­ действием, т. е.

Л* = Хр+ / (О-

Тогда система приобретает структурную схему, изображен­ ную на рис. 98, б. Передаточная функция замкнутой системы по каналу возмущающего воздействия в соответствии с формулой (4—60) и рис 98,6 через передаточные функции объекта и ре­ гулятора выразится следующим образом:

Передаточная функция Ф/(р) замкнутой системы по каналу возмущающего воздействия показывает зависимость выходной величины Хвых от возмущающего воздействия f(t).

Для примера определим передаточные функции системы ав­ томатического регулирования, состоящей из объекта регулиро-

К б

вания с передаточной функцией W0c,(р)— ------— и регѵля-

Т0бР 4- 1

Передаточная функция замкнутой системы по каналу управ ляющего воздействия определяется формулой (4—65), т. е.

120

мущающего воздействия согласно формуле (4—66) имеет сле­ дующий вид:

1

схем систем автоматического регулирования. Задача этих пре­ образований состоит в том, чтобы привести систему к виду эк­ вивалентного звена, охваченного обратной связью.

На рис. 99 представлена структурная схема многоконтурной системы регулирования. Приведем ее к более простому виду, используя правила, изложенные выше. Здесь первое звено с пе­ редаточной функцией W\(p) охвачено обратной связью со зве ном, имеющим передаточную функцию W2{p). Используя формулу (4—60), получим

рис. 100,а. В цепи главной отрицательной обратной связи име­ ются два звена с передаточными функциями W4(р) и W5(p), соединенные параллельно. Применяя формулу (4—59), получим

^4.5 (Р) = [^4 (/>)+ ИМр )Ь

Структурная схема в этом случае имеет вид, изображенный на рис. 100,6. Звенья с передаточными функциями Wy2(p)

Рис. 99. Многоконтурная структурная схема.

121

а

ff

соединены между собой последовательно, поэтому по формуле (4—58) имеем

§ 6. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ САР

Основной задачей теории автоматического регулирования яв­ ляется разработка методов анализа и синтеза САР. Под анали­ зом понимается исследование готовой САР для изучения ее

122

свойств. Задачей синтеза является разработка САР с наперед заданными свойствами. При решении задач анализа и синтеза необходимо рассматривать поведение САР в установившемся и в переходном режимах. Обычно стремятся разбивать САР на типовые звенья или в качестве динамических звеньев просто вы­ бирают элементы САР, передаточные функции которых уже из­ вестны. Далее составляется структурная схема, каждый прямо­ угольник которой представляет собой одно из звеньев. Внутри прямоугольника записывается выражение его передаточной функции. После чего, пользуясь правилами, приведенными вы­ ше, можно получить передаточную функцию всей системы.

Зная структуру САР и физические свойства ее отдельных звеньев, можно составить все эти уравнения. Вся совокупность полученных дифференциальных уравнений, рассматриваемая совместно, образует систему дифференциальных уравнений, опи­ сывающую работу САР. Общее число таких уравнений будет соответствовать числу звеньев, или числу переменных, характе­ ризующих работу системы. После составления уравнений звень­ ев необходимо исключить все промежуточные переменные, кро­ ме одной. При этом удобнее начинать с уравнения последнего звена системы, подставляя затем последовательно полученные значения переменных и их производных в уравнения предыду­ щих звеньев. Таким образом, можно получить дифференциаль­ ное уравнение с одной переменной, порядок которого будет ра­ вен числу переменных в системе.

Покажем составление дифференциальных уравнений САР на примере системы регулирования температуры сушильного шкафа. Ниже для удобства переменные приведены в относи­ тельных единицах.

Уравнения, описывающие звенья рассматриваемой САР, име­

где Кт— коэффициент передачи термометра сопротивления;

ö— температура сушильного шкафа.

3.Уравнение сушильного шкафа (выведено ранее в главе 2) представляет собой дифференциальное уравнение апериодичес­ кого звена первого порядка

123

где Т т — постоянная времени; К ш — коэффициент усиления сушильного шкафа;

где К а — коэффициент усиления автотрансформатора;

ß— угол поворота вала электродвигателя, связанного с движком ав­ тотрансформатора.

Рассмотрим уравнения регулятора. Регулятор состоит из электронного усилителя и электродвигателя. Если выразить за­ висимость угла поворота оси электродвигателя от напряжения, поданного на его управляющую обмотку, то в первом приближе­ нии можно считать его эквивалентным интегрирующему звену. Тогда передаточная функция регулятора

где Кр = КдКу — коэффициент усиления регулятора, равный произведению коэффициентов усиления усилителя Ку и электродвигате­

ля Д*д.

Отсюда дифференциальное уравнение регулятора имеет сле­ дующий вид:

где Uвх — напряжение, подаваемое на вход электронного усилителя с измери­ тельного мостика.

Измерительный мостик в данной системе выполняет функции задатчика и элемента сравнения. Сопротивлением задается зна­ чение температуры, которое нужно поддерживать постоянным. Здесь же вырабатывается напряжение, пропорциональное задан­ ной температуре U3ад. В измерительном мостике происходит сравнение С/зад и £/Вых, т. е. уравнение мостика как элемента сравнения имеет вид

Уравнения (4—68) — (4—74) полностью описывают рассмат­ риваемую систему автоматического регулирования температуры.

Разорвем цепь обратной связи у элемента сравнения. Тогда

124

входной величиной системы будет UBX, а выходной UBbІх. Так как система разомкнута, то уравнение (4—74) не должно учи­ тываться. Приступим к выводу дифференциального уравнения разомкнутой системы. Из уравнения (4—68) найдем

1

Подставим выражение (4—75) в уравнение (4—69) и опре­ делим О

Подставив уравнение (4—81) в уравнение (4—73) и обозна­ чив Коб=КаКнКшКи.мКт (где Коб — коэффициент усиления объ­ я т а регулирования), получим

(4 -8 2 )

125

Умножим обе части уравнения на /С0б и получим

ходной UвыхНеобходимо эти две величины связать математи­ ческой зависимостью.

Выведем дифференциальное уравнение замкнутой системы. Для этого в уравнение (4—83) подставим выражение (4—74) и перенесем в левую часть величину /СобКр(7вых. Тогда получим

Это и есть дифференциальное уравнение з а м к н у т о й системы. Рассмотрим методику получения передаточных функций по

Таким образом, передаточная функция разомкнутой систе­ мы состоит из произведения передаточных функций объекта ре-

Wp( p) = —Н. Теперь можно составить структурную схему систе-

Р

мы регулирования температуры. Если составлена структурная схема, то передаточная функция разомкнутой системы получает­ ся простым перемножением передаточных функций звеньев, что видно из рис. 101. По виду передаточной функции всегда можно определить, содержит ли система автоматического регулирова­ ния интегрирующие звенья. Если в знаменателе передаточной

126

Рис. 101. Структурная схема системы автоматического регулирования температуры.

функции разомкнутой системы имеется сомножитель р, то это значит, что система содержит интегрирующий элемент. Такая система автоматического регулирования называется а с т а т и ­ ческой. При отсутствии сомножителя р система не содержит интегрирующих элементов и называется с т а т и ч е с к о й .

В данном случае регулятор является интегрирующим звеном, Определим передаточную функцию замкнутой системы. Произ­

ведем замену оператора дифференцирования — на р в уравне-

которое используется при анализе устойчивости систем. Из вы­ ражений (4—87) и (4—90) хорошо видна связь между переда­ точными функциями разомкнутой и замкнутой систем. Покажем эту связь. Разделим числитель и знаменатель уравнения (4—90) на выражение р{Тшр-\-\) (Гв/?+1). В результате получим

что соответствует выведенной ранее формуле (4—64).

127

Несмотря на то что приведенная методика составления диф­ ференциальных уравнений систем автоматического регулирова­ ния рассматривалась на примере астатической системы, она рас­ пространяется и на статические системы.

§1. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ

Внастоящее время анализ и синтез САР в основном произ­ водится с помощью частотных характеристик. Путем анализа частотных характеристик разомкнутой системы можно опреде­ лить границы устойчивости замкнутой системы и выбрать опти­ мальные настройки регулятора. Частотные характеристики замкнутой системы могут быть использованы для оценки макси­

мальной ошибки, которая возникает при ступенчатом изменении нагрузки. Изучение частотных характеристик замкнутой системы оказывается полезным при исследовании поведения многокон­ турных систем, например при исследовании схем каскадного ре­ гулирования. Кроме того, частотные характеристики имеют бо­ лее полное физическое содержание и позволяют легче оценить влияние отдельных звеньев системы на ее характеристики.

Существуют следующие виды частотных характеристик: у разомкнутых систем — амплитудно-фазовая W(jсо), строящая­ ся в функции частоты; амплитудно-частотная А (со); фазо-час­ тотная ф(со); у замкнутых систем — амплитудно-фазовая Ф (/со); амплитудно-частотная Л3(со); фазо-частотная ф3(со). Методику построения этих характеристик рассмотрим на примерах.

Пример. Система автоматического регулирования давления состоит из двух емкостей, которые можно представить двумя апериодическими звенья­ ми первого порядка, и регулирующего клапана, который также может быть представлен как апериодическое звено первого порядка. Постоянная вре­ мени клапана равна 2 с, изменение положения штока клапана на 1 % изменя­ ет расход через клапан на 1,5% по отношению к среднему расходу через кла­ пан. Постоянная времени первой емкости 10 с, и увеличение расхода через

на вход пропорционального регулятора. Необходимо рассчитать и построить частотные характеристики данной системы.

Структурная схема системы регулирования давления представлена на рис. 1 0 2 , где ра— давление, поступающее от задатчика, рпых— регулируемое

давление.

Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, необходимо оп­ ределить передаточные функции звеньев, входящих в систему и передаточную

Рис. 102. Структурная схема системы регулирования давления.

128

функцию разомкнутой системы. Как известно из главы 2, коэффициент усиле­ ния К звена можно определить в безразмерных единицах как отношение

% изменения регулируемой величины

Передаточная функция клапана

Предположим, что Кр — 4. Передаточная функция разомкнутой системы будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, т. е.

___________ К р К кл К 1 к 2

W(p) =

(Ткл Р + 1) (T’iP -f- 1) (Т’гР-Ь 1)

_________9Ю_________

(4—92)

(2 р + 1 )(1 0 р + 1 )(5 р + 1) ’

где Я'=КрК0б = 9,6 — коэффициент усиления системы; Коб = КклКіК2 = 2 ,4 — коэффициент усиления объекта регулирования (не­

изменной части системы); К р= 4 — коэффициент усиления регулятора.

Из уравнения (4—92) видно, что данная система является статической. Построим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой статической си­ стемы по вычисленным значениям амплитудно- и фазо-частотных характери­ стик для различных значений частоты. Заменив в уравнении (4—92) р на ja, получим

при to—►0 А (ш) ->• К, ср (со)—*- 0;

3

при со-* °о А (°о)-> 0, ф(м)-> — — я.