книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

ристика. ристики интегрирующего звена.

Дифференциальное уравнение интегрирующего звена иногда записывают в другой форме

На рис. 90, а представлен характер изменения выходной вели­ чины интегрирующего звена при скачкообразном изменении входной величины. Эта зависимость является уравнением вре­ менной характеристики и представляет собой прямую линию.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена

Умножив числитель и знаменатель уравнения (4—52) на /, бу­ дем иметь

В выражении (4—53) отсутствует вещественная часть. Под­ ставляя различные значения ш от 0 до о о , получим точки, ле­ жащие на отрицательной мнимой полуоси. Это означает, что а. ф . X. интегрирующего звена совпадает с мнимой отрицатель­ ной полуосью (рис. 90, б).

Уравнение а.ф.х. идеального звена согласно формуле (4— 51) может быть представлено в таком виде:

110

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика интег­ рирующего звена

L (со) = 20 lg IW (/со) I = 20 lg -----= 20 lg К — 20 lg CD, со

Слагаемое 20 lg К представляет собой прямую линию, парал­ лельную оси абсцисс, слагаемое — 201g ш является прямой ли­ нией с наклоном—20 дБ/декаду. Эта прямая пересекает ось абсцисс при (о=1, так как —20 lg 1 = 0. Логарифмическая ам­ плитудно-частотная характеристика идеального интегрирующе­ го звена получается алгебраическим суммированием этих двух прямых (рис. 91).

Фазо-частотная характеристика

л

ф(ш) = — — ,

т. е. равна — 90° и представляет собой прямую линию. Запаздывающее звено. Запаздывающее звено — такое зве­

но, которое на выходе воспроизводит входной сигнал без иска­ жений, но с некоторым постоянным запаздыванием т. Иначе, выходной сигнал повторяет входной сигнал со сдвигом во вре­ мени на величину т

Передаточную функцию этого звена можно получить, при­ менив прямое преобразование Лапласа к уравнению (4—54), т. е.

ВИД

W(p) = é~px.

Заменив р на /со, получим а. ф. х. запаздывающего звена

W (/со) = е~І(йХ,

111

на вещественной оси, т. е. с увеличением частоты со конец векто­ ра W (ja) скользит по окружности по часовой стрелке, периоди­ чески пересекая начальную точку (ш = 0).

Временную характеристику двухъемкостного объекта регу­ лирования с запаздыванием (см. рис. 21) можно упрощенно рассматривать как характеристику апериодического звена пер­ вого порядка с постоянной времени Т и запаздыванием т. В этом случае основным показателем динамических свойств объ­ екта является отношение величины запаздывания к постоянной

т т

времени і, т. е. — _Этот показатель используется для выоора

типа регулятора и расчета параметров его настройки, обеспе­ чивающих требуемое качество регулирования.

§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

При описании объектов регулирования был приведен при­ мер составления дифференциального уравнения части ректи­ фикационной колонны. Рассмотрим еще примеры составления дифференциальных уравнений звеньев. Составим дифференци­ альное уравнение объекта регулирования — сушильного шкафа (см. рис. 4). Тепловой баланс сушильного шкафа записывает­ ся так:

dt

Например, при с=16,2 Дж/К и Л = 0,009 Дж/(с-К) Гш=1800с, Кш =1П с-К/Дж.

Из формулы видно, что сушильный шкаф в динамическом отношении может быть представлен апериодическим звеном первого порядка. В статическом состоянии, когда температура шкафа равна заданной, потребляемая им энергия расходуется

112

только на восполнение количества тепла, отдаваемого шкафом в окружающую среду, т. е.

Qo dt = А% dt , откуда Ѳ0 = Кш Qo■

Энергия, поступающая в шкаф в единицу времени и необ­ ходимая для поддержания заданной номинальной температуры (например, Ѳо=400°С)

нию, будут такими: Q= Qo+AQ; Ѳ= Ѳо+ДѲ. Подставив эти зна­ чения в уравнение (4—56), получим

d(0o + ДѲ)

Т ш — -* -7 .----L + 0 o+ A e = /Cm(Qo + AQ). at

Учитывая, что производная от постоянной величины равна нулю, a 0o= /CmQo, получим дифференциальное уравнение су­ шильного шкафа, выраженное в приращениях от состояния равновесия

подставить в полученное уравнение АѲ = ДѲо и AQ = qQ0, то по­ лучим

„dfl

Тш “Ь '0' — КшЧ»

Так как сушильный шкаф является апериодическим звеном первого порядка, то его передаточная функция согласно форму­ ле (4—9) имеет вид:

Кщ

ѴГш(Р)

ТшР + 1

Измерительным устройством в данной системе является термометр сопротивления, включенный в плечо измерительного моста. Рассмотрим, каким типовым звеном можно представить термометр сопротивления. На рис. 93 показана зависимость сопротивления платинового термометра сопротивления от тем­

RTt On

ления. В состоянии равновесия системы при Ѳо—400° С сопро­ тивление термометра /?То = 114,72 Ом. Следовательно,

Передаточная функция термометра сопротивления

WT(p) = Kv,

т. е. термометр является безынерционным звеном. В общем случае термометры сопротивления являются апериодическими звеньями первого порядка. В данном случае постоянной вре­ мени термометра сопротивления по сравнению с постоянной времени сушильного шкафа можно пренебречь и тогда формула (4—57) справедлива для безынерционного звена.

§ 5. ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР

В системах автоматического регулирования отдельные дина­ мические звенья между собой могут быть соединены различ­ ным образом. Однако систему любой сложности можно рас­ сматривать как совокупность трех видов соединений типовых звеньев: последовательного, параллельного и типа обратной

связи.

Последовательное соединение звеньев. Последовательное соединение звеньев — такое соединение, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной по­ следующего. Например, для двух последовательно соединен­ ных звеньев (рис. 94) можно записать: *ВЫХі — хвѴ Для звеньев,

соединенных последовательно, входной величиной хвх служит входная величина первого звена, а выходной хВых— выходная величина последнего звена. Передаточная функция первого звена

114

звеньев.

Передаточные функции второго и третьего звеньев соответст­ венно

Таким образом, передаточная функция параллельно соединен­ ных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Пример. Найти передаточную функцию первой топки хлебопекарной печи БН-50, состоящей из трех параллельно соединенных апериодических звеньев первого порядка, передаточные функции которых даны в уравнении (2 —1 2 )

Соединение с обратной связью. При соединении типа обрат­ ной связи на вход звена одновременно с входной величиной си­ стемы подается ее выходная величина, прошедшая через звено

116

обратной связи. На рис. 96 представлено звено, охваченное об­ ратной связью, где Wi (р) — передаточная функция звена, а W0.c(p) — передаточная функция звена обратной связи. Из рисунка видно, что xBXi —хвх—х0.с. Уравнение прямой цепи:

Уравнение звена обратной связи

* 0 .с = fl^O.C (р ) Хвых-

Так как хВХі= хвх—х0.с, то подставив в уравнение прямой цепи значения xBXj и х0.с, получим

звено охвачено отрицательной обратной связью. В случае, если

+ Т г Р + 1

117

Разделим числитель и знаменатель на (KiK2+ 1) и получим

Из примера видно, что при охвате апериодического звена первого порядка отрицательной обратной связью с безынерци­ онным звеном получается система, эквивалентная апериодиче­ скому звену первого порядка, но с другими значениями коэффи­ циента усиления и постоянной времени. Видно, что коэффициент

усиления и постоянная времени уменьшаются в (/'w/G+l) раз.

К1

Пример. Рассмотрим идеальное интегрирующее звено ІГі (р) = — .

охваченное отрицательной обратной связью с безынерционным звеном [W2{p)=K2]. Найти передаточную функцию.

Передаточная функция

Кі

Из примера видно, что идеальное интегрирующее звено, ох­ ваченное отрицательной обратной связью с безынерционным звеном, эквивалентно апериодическому звену первого порядка

с /С = — и 7 = — .

К, КгК2

Рассмотрим получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой САР. В общем виде любая одномерная САР с глав­ ной обратной связью, состоящая из объекта регулирования и ре­ гулятора, может быть преобразована в вид, изображенный на рис. 97, а. Связь выхода системы с ее Входом посредством отри­ цательной обратной связи приводит к существенным изменени­ ям свойств системы и изменяет вид ее дифференциального урав­ нения. Однако для целей исследования необходимо рассматри­ вать систему в разомкнутом состоянии, т. е. при нарушении (размыкании цепи главной обратной связи) одной из связей основного контура прохождения воздействий. Тогда входом ивыходом системы можно считать концы разорванной связи (рис. 97, б).

118

Рис. 97. Структурные схемы систем автоматического регулиро вания:

а, в — замкнутые системы; б — разомкнутая система.

Передаточная функция разомкнутой системы

где ftr/p (р) — передаточная функция регулятора; lFo 6 (р) — передаточная функция объекта.

Последовательное соединение звеньев с передаточными функ­

Передаточная функция разомкнутой системы характеризует зависимость выходной величины хВЬІХ системы от управляющего

Передаточная функция Ф(р) замкнутой системы, определя­ ющая зависимость выходной величины хВЫх от управляющего воздействия д,'вх, является основной передаточной функцией си­ стемы и называется передаточной функцией системы автомати­ ческого регулирования по каналу управляющего воздействия. Если в системе, находящейся в равновесном состоянии, изме­ нить управляющее воздействие, т. е. задать новое значение ре­ гулируемой величины, то переходный процесс, возникающий при этом в САР, определяется передаточной функцией по каналу управляющего воздействия.

119