книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

Рис. 79. Временные ха­ рактеристики колебатель­ ного звена при различ­ ных значениях Ті/Т2.

Отсюда передаточная функция звена

К

(4—28)

где К — коэффициент усиления звена; Г, и Т2 — постоянные времени.

Амплитудно-фазовую частотную характеристику получим из уравнения (4—28) после замены р на /со и ряда преобразований

Т2

ческого уравнения получаются действительными. В этом случае переходный процесс уже не будет иметь колебательного харак­ тера и такое звено может быть представлено как два последо­ вательно соединенных апериодических звена первого порядка.

100

2 умножить на число больше нуля, но меньше единицы, т. е. 0 <

Подставим выражение (4—31) в уравнение (4—30) и обозна­ чим Т2 — Т, так как в выражении (4—30) остается одна постоян­ ная времени, тогда

При переходе к логарифмическим характеристикам уравне­ ние (4—32) преобразуется таким образом:

L (со) = 20 lg А (со) = 20 lg К — 20 lg V (1 — со2Г2)2 (2£соТ)-. (4—33)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (рис. 81) имеет две асимптоты. Первая асимптота параллельна оси абсцисс и отстоит от нее на 20 lg .К. Этой асимптотой поль­

зуются для частот меньших — , т. е. когда членами со2Т2 и

(2gcoТ)2 можно пренебречь по сравнению с 1. Для второго участ­ ка частот пренебрегают 1 и выражением (2|соТ)2 по сравнению с выражением а>2Т2, и тогда второе слагаемое правой части урав­ нения (4—33) становится равным 20 lgco2P и, следовательно, асимптотой будет прямая с наклоном —40 дБ/декаду.

Обе асимптоты будут сопрягаться в точке мс = —

При построении л. а. х. вблизи <вс = — необходимо оценивать

Т

101

при определенных значениях со ~ погрешность замены действи­ тельных л. а.х. прямыми отрезками (см. рис. 81). Максимальная

ошибка в точке юс= -^ - при £=1 будет равна 6 дБ (см. рнс. 81).

Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится по формуле

2£соГ

Ф (ш) = — arctg [ • (4-34)

Видно, что фаза меняется от 0 при со = 0 до —л при о)->оо. На сопряженной частоте сос = — фазовое отставание равно —90°,

так как в этом случае знаменатель выражения (4—34) обраща­ ется в нуль.

Колебательные звенья не характерны для промышленных объектов автоматического регулирования, однако они являются основным предметом рассмотрения при регулировании движу­ щихся объектов, примеры которых были даны выше. Кроме то­ го, уравнения второго порядка часто используются для описания

102

Ч а с т н о е р еш ен и е

dt

Подставляя начальные условия в уравнение (4—38), находим постоянные интегрирования С\ и С2

103

Это и есть решение уравнения апериодического звена второго

порядка.

На рис. 82 представлена кривая, построенная по уравнению (4—46) и выражающая временную характеристику. Как видно

ратура в основной зоне пекарной камеры» печи ФТЛ-2 без учета запаздыва­

ния т=2,75 мин.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

_____ ОД_____

«7 (/о) =

25 (/со)2 -г 10/(і) -j-1

104

Для построения л. а. х. апериодического звена второго порядка воспользуемся уравнением а. ф. х., которое имеет вид:

W (/со) = ------------ -----------------

(1 + Г 1/<в)(1 + Г 2/'со)

Асимптотическая л. а. х. строится по образцу, рассмотренному выше для апе- риодического звена первого порядка. Для л. а. X. имеем

Фазо-частотная характеристика определяется выражением Ф (со) = — arctg Т хсо — arctg ТаСО.

слагаемое на низких частотах со< — может быть представлено как 2 0 1 g 1 = 0 .

‘ I

-|>-Г —CbS*

И

f 3°

\

Рис. 84. Логарифмические характеристики апериодиче­ ского звена второго порядка.

105

R

с наклоном —20 дБ/декаду. Эти же рассуждения можно полностью повторить

риодического звена второго порядка получается алгебраическим суммирова­

Логарифмическая фазовая характеристика может быть построена сумми­ рованием двух характеристик [фі(со) и фг(со)], которые строятся по точкам отдельно для апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени Г] и Т2 (см. рис. 84).

Идеальное дифференцирующее звено. Дифференцирующему звену соответствует дифференциальное уравнение

— К■фПdtх

Это означает, что изменение выходной величины звена про­ порционально скорости изменения входной величины. Переда­ точная функция звена

W(p) = — = К р ,

Хвх

где К — коэффициент усиления (пропорциональности).

При скачкообразном изменении входной величины происхо­ дит мгновенное изменение выходной величины от 0 до оо и не­ медленный спад до 0. Временная характеристика дифференци­

рующего звена, представляющая собой прямую линию, совпада­ ющую с положительной мнимой полуосью;

106

ср (и) = — — фазо-частотная характеристика.

На всех частотах идеальное дифференцирующее звено созда­ ет опережение выходной величины по отношению к входной на 90°.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена

L (со) = 20 lg |1Г(/со)| = 20 lg /С + 20 lg со.

Слагаемое 20 lg К — прямая линия, которая в зависимости от величины К может лежать параллельно оси абсцисс или совпа­ дать с ней. Слагаемое 20 lg оз представляет собой прямую с на­ клоном +20 дБ/декаду, пересекающую ось частот при со=1, так как 20 lg 1=0. Логарифмическая амплитудно-частотная харак­ теристика идеального дифференцирующего звена получается суммированием этих прямых (рис. 86).

Фазо-частотная характеристика

ным дифференцирующим звеном риближенно может считаться

О

Рис. 87. Временная ха­ рактеристика форсирую­ щего звена.

107

Форсирующее звено. Форсирующему звену соответствует дифференциальное уравнение

сти изменения входной величины на выходную.

При скачкообразом изменении входной величины на выходе форсирующего звена появляется мгновенный импульс высотой КТ как у идеального дифференцирующего звена, а затем вы­ ходная величина принимает постоянное установившееся значе­ ние К (рис. 87).

Частотная характеристика звена

ф (со) = arctgTco.

Амплитудно-фазовая характеристика форсирующего звена параллельна мнимой осп н удалена от нее на расстояние К (рис. 88). Из рис. 88 видно, что форсирующее звено создает опе­ режение по фазе выходной величины, причем тем большее, чем

больше частота со. При частоте м= оо сдвиг фазы равен + — .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика форсирующего звена определяется из уравнения (4—49)

2 0 lg Л (со) = 2 0 lg К -г 2 0 lg V\ + 7’2 со2.

Сравнивая л. а.х. апериодического звена первого порядка и фор­ сирующего звена, видим, что они отличаются друг от друга лишь знаком перед вторым слагаемым. Логарифмическая амплитудночастотная характеристика форсирующего звена может быть представлена в виде двух прямолинейных отрезков

при со < — L (со) = 0;

108

Рис. 89. Логарифмические характеристики форсирую­ щего звена.

поднятых над осью частот на 20 lg /С- Эти отрезки сопрягаются при частоте юс= — , причем прямая, определяемая L(<а) =

= 20 lg Гео, имеет наклон в +20 дБ/декаду. Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится по точкам. Она сим­

метрична относительно точки <p(/-^-j = 45°. Логарифмические ха­

рактеристики форсирующего звена приведены на рис. 89. Наличие форсирующего звена в основном контуре САР озна­

чает введение производной в закон регулирования, что обычно делается с целью улучшения качества регулирования. Реализу­ ется форсирующее звено обычно с помощью цепочек RC, конст­ руктивно входящих в электронную часть регуляторов.

Интегрирующее звено. Интегрирующим (или нейтральным, астатическим) называется такое звено, выходная величина кото­ рого пропорциональна интегралу по времени от входной ве­ личины

109