книги из ГПНТБ / Чижов, А. А. Автоматическое регулирование и регуляторы в пищевой промышленности учебник

чает, что отношение амплитуд и сдвиг фаз являются функциями частоты, т. е.

Аг

мента. Она показывает зависимость изменения амплитуды коле­ баний выходной величины и сдвига фаз между колебаниями вы­ ходной и входной величин от частоты со (при постоянной амплиту­ де колебаний на входе). Зависимость отношения амплитуд коле­

тудно- и фазо-частотная характеристики позволяют судить о ди­ намических свойствах элементов систем автоматического регули­ рования.

Как правило, а. ф.х. приходится строить по точкам, задаваясь отдельными значениями частоты и вычисляя для них а. ч. х. Л (со) и ф. ч.х. ф(со), что требует кропотливых расчетов. Необхо­ димость сокращения трудоемкости построения частотных харак­ теристик привела к использованию логарифмических частотных характеристик. Получаемые при этом графические изображения

характеристика (л. а.х.), для фазы — логарифмическая фазо-час­ тотная характеристика или логарифмическая фазовая характе­ ристика (л. ф.х.). Для построения л. а.х. вместо частотной пере­ даточной функции (4—5) нужно записать

используются логарифмические единицы: декада и децибел. Д е ­

ния двух величин или отвлеченных чисел. При измерении отно­ шения мощностей N\ и свидетельствуют о том, что они отлича­

ются на один бел, т. е. lg — — 1. Это сравнительно большая еди- N1

90

ница измерения, поэтому приходится иметь дело с более мелкой

единицей измерения — децибелом, т.е. 10 l g — = 1 . От мощнос-

N !

тей можно перейти к измерению «первообразных» величин (амп­ литуд колебания тока, напряжения, давления и т. д.), квадрату которых пропорциональны мощности Ni = I2v N ,,= I 2. Итак, ес­

ли

io,E^-wist=,oig(tr=1'

то для отношения амплитуд колебания тока, напряжения, давле­

ния и т. д. получаем 2 0 1 g — = 1 в случае, если/г отличается от h

Іг на 1 дБ. В теории автоматического регулирования в децибелах выражается 2 0 десятичных логарифмов отношения амплитуды величины на выходе системы к амплитуде гармонического воз­ действия на входе системы. Следовательно, в децибелах выража­ ется логарифм отношения величин, которые могут иметь различ­ ную размерность.

(рис. 72). По оси абсцисс откладывается угловая частота в ло­ гарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответству­ ющие lg со, но у этих отметок ставятся значения частоты со в с− 1 (а не lg со). По оси ординат наносится равномерная шкала деци­ бел. Ось ординат не закреплена и ее можно провести через лю­ бую точку на оси частот, так чтобы справа от оси поместилась та часть л. а. х., особенности которой требуется проследить.

На одном чертеже с л.а.х. строится логарифмическая фазо­ вая характеристика, для которой на оси ординат наносится фаза в градусах (см. рис. 72). Для удобства нужно положительную фазу откладывать вниз от нуля шкалы, а отрицательную — вверх, совмещая при этом с осью частот ту точку оси ординат, где фа­ за равна—180°. Ось частот — общая для л.а.х. и л. ф. х.

Рис. 72. Сетка для построения логариф­ мических амплитудной (л. а. х.) и фа­ зовой (л. ф. X.) частотных харак­ теристик.

91

§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ, ИХ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрим некоторые типовые динамические звенья и полу­ чение их передаточных функций.

Безынерционное звено. Безынерционное звено описывается уравнением

Хвых — К хвх,

т. е. выходная величина в каждый момент времени пропорцио­ нальна входной величине. Коэффициент пропорциональности К есть коэффициент усиления или коэффициент передачи звена. На рис. 73 представлен характер изменения во времени выход­ ной величины безынерционного звена при подаче на его вход постоянной входной величины хБХПередаточная функция зве­ на равна постоянной величине:

W ( P ) = K .

Для получения амплитудно-фазовой характеристики не нуж­ но производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции W (р) заменить символ р на на /со.

Г (/со) = АГ.

Амплитудно-частотная характеристика равна также постоян­ ной величине: А (со) = | W(j(a) | — К, а фазовая частотная харак­ теристика ф(со) — arg I W (/со) I = 0 .

Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно пред­ ставить в виде точки на вещественной положительной полуоси плоскости комплексных чисел, отстоящей от начала координат на расстоянии К (рис. 74,б).

Логарифмическая амплитудная характеристика безынерцион­ ного звена:

L(cö) = 20 lg Л (со) = 20 lg /С.

Она представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на расстоянии 2 0 lg К от нее. Фазовая характе­

рно. 73. Временная характеристика безынерционно­ го звена.

92

(рис. 74).

Примерами безынерционного звена могут быть редукторы, ме­ ханические пружины, электронный усилитель и т. п. На рис. 75, а в качестве безынерционного звена представлен рычаг. Обозна­ чим через Іі и І2 плечи рычага относительно точки опоры. Пусть, например, перемещение левого конца рычага на величину Ah\ приводит к перемещению правого конца на величину Аh2. Тогда можно записать уравнение звена в таком виде:

ДА, к ДАХили Дй2 = /(ДЛ1,

где К = — — коэффициент усиления звена.

к

Апериодическое звено первого порядка. Апериодическому звену первого порядка соответствует дифференциальное урав­ нение:

d9

Заменив оператор дифференцирования — на Р> получим уравне­

ние (4—7) в операторной форме

Из уравнения (4—8 ) получим передаточную функцию звена

93

здесь Т и К — постоянные коэффициенты, зависящие от конст­ рукции и принципа действия элемента. К является коэффициен­ том усиления апериодического звена первого порядка, а Т —по­ стоянная времени звена, имеющая размерность времени.

Определим характер изменения выходной величины при по­ даче на вход скачка входной величины, т. е. построим времен­ ную характеристику звена. Для этого решим дифференциальное уравнение (4—7). Приравняем к нулю левую часть уравнения (4 -8 )

Уравнение (4—10) является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению рассматривае­

в общем виде

(4~ И)

где С — постоянная интегрирования, подлежащая определению.

Решение уравнения (4—7) представляет собой сумму общего и частного решений, т. е.

Подставляя выражение (4—15) в уравнение (4—14), получаем аналитическое выражение временной характеристики апериоди­ ческого звена первого порядка

Графически (рис. 76) временная характеристика выражается в виде кривой, построенной по уравнению (4—16). Временная характеристика представляет собой экспоненту. Постоянную вре­ мени звена можно определить графически как проекцию на ось

94

времени отрезка касательной к экс­ поненте, заключенного между точ­ кой касания и точкой пересечения касательной с линией установивше­ гося значения выходной величины. Физический смысл постоянной вре­ мени заключается в том, что она оп­ ределяет время, в течение которого выходная величина достигла бы сво­ его нового установившегося значе­ ния, если бы изменялась с постоян­ ной скоростью, равной скорости из­ менения ее в начальный момент вре­ мени.

Из рис. 76 видно, что выходная величина с течением времени стремится к новому постоянному

значению и достигает его в бесконечности. Практически счита­ ется, что переходный процесс заканчивается тогда, когда выход­ ная величина хВых= 0,95 Кхвх, а время, за которое хВых дости­ гает такой величины, равно примерно трем-четырем постоянным времени: ta= (3-М) Т. Время іп называется временем переходно­ го процесса.

Отделим вещественную часть от мнимой. Для этого числитель и знаменатель умножим на комплексно-сопряженное число

(1—77со)

К — КТja W( j «) = ■ '

•Г2 со2

или

мнимой части, тогда выражение (4—18) примет вид:

W (ja) = U (со) + jV (со).

Амплитудно-частотная характеристика согласно определению, данному выше, имеет вид:

а фазо-частотная характеристика

V (со)

Ф (“ ) = arctg 7 7 7 — = — arctg Т а . (4—20)

U (а)

95

Комплексное число на плоскости можно представить вектором, модуль которого равен Л (а), а аргумент — ср(со). Подставляя в выражения (4—19) и (4—20) различные значения со от 0 до оо. получим множество векторов. Соединив концы векторов плавной кривой, получим графическое изображение амплитудно-фазовой частотной характеристики.

Пример. Пусть имеется дифференциальное уравнение апериодического звена первого порядка

Требуется построить амплитудно-фазовую частотную характеристику.

d

Заменив в уравнении звена (4—21) —7 * на р, получим dt

ІОрХъых ■^вых : 20хѣх или (Юр + 1) *вых : : 20дгв

Передаточная функция

20

W(p) =

Юр -f-

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

20

W (/со) = 1+ 10/со *

Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число и по­ лучим

По найденным значениям б/(со) и Ѵ(со) построим амплитудно-фазовую частотную характеристику (рис. 77). Из рис. 77 следует, что а. ф. х. представ-

96

ляет собой полуокружность диаметром, равным коэффициенту усиления К, расположенную в четвертом квадранте комплексных чисел.

При (о = 0 W(ju>)=K. Это значит, что модуль Л(со)=К, а фаза ср(со)=0. Так

и увеличение отставания выходной величины звена по отношению к входной.

емся уравнением (4—19). Прологарифмировав правую часть уравнения (4—

В соответствии с уравнением (4—20) строится л. ф. х. Построим асимп­ тотическую л. а. X. и л. ф. X. для данного примера.

Логарифмические частотные характеристики представлены на рис. 78. Как

L (со) = 20 lg К .

Этому приближенному выражению соответствует прямая линия, параллельная оси абсцисс, лежащая выше ее при К > 1 и ниже оси абсцисс, если К < \ . При К = 1 прямая совпадает с осью частот. Таким образом, при наличии сла­ гаемого 2 0 1 gK при К Ф 0 происходит смещение характеристики звена, соответ­ ствующей л = 1, вверх или вниз от оси абсцисс на величину 20 lg К. Для на­ шего случая L(со) = 20 lg 20=20-1,3 = 26 дБ.

Рассмотрим второе слагаемое выражения (4—22)

L (со) = — 20 lg V 1 -f Т 2ы2 .

линию, совпадающую с осью абсцисс (см. рис. 78). Для высоких частот при

■со > — (справа от вертикали), ГмЗ> 1 и слагаемое

также является прямой линией, имеющей отрицательный наклон. Найдем на клон этой прямой. При изменении частоты на одну декаду имеем

—20 lg ЮТсо — (— 20 lg Тсо) = — 20 lg 10 = — 20 дБ/декаду,

т.е. наклон прямой равен —20 дБ/декаду. Знак минус означает, что при уве­ личении частоты входного сигнала амплитуда колебаний на выходе апериоди­ ческого звена первого порядка по сравнению с амплитудой входных колебаний уменьшается, т. е. происходит уменьшение коэффициента усиления звена.

Асимптотическая л. а. х. незначительно отличается от точного значения

выражения —20 lg 1+Т2 ш2. Наибольшее отклонение имеет место при со0 =

= — . Подставив это значение частоты во второе слагаемое (4—22), для

точной характеристики получим

20 lg Ѵ і = — 3 дБ.

При значениях со слева и справа от и с== — асимптотическая л. а. х. отлича­

натами 2 0 lg А и сое= — — прямую, имеющую отрицательный наклон, рав­

ный—20 дБ/декаду. Логарифмическая ф. ч. х. <р(ю) = —arctg Т со строится по

точкам. Она симметрична относительно точки <р|— j = —45° и не зависит от

коэффициента К (см. рис. 78).

' К апериодическим звеньям первого порядка относятся мно­ гие простейшие объекты регулирования и элементы регулято­ ров: одноемкостные объекты с самовыравниванием, термопары и термометры сопротивления, исполнительные механизмы (элект­ рические, гидравлические, пневматические), электрические це­ почки и т. п. Апериодическое звено первого порядка иногда на­ зывают инерционным.

Колебательное звено. Колебательному звену соответствует дифференциальное уравнение

Выходная величина колебательного звена при изменении входного воздействия в виде скачка имеет колебательный харак­

98

тер и может изменяться во времени в виде затухающих, незату­ хающих и расходящихся колебаний. Часто колебательные зве­ нья образуются двумя последовательно соединенными емкостя­ ми (разделенными сопротивлениями), способными запасать энергию. Если в результате колебаний запас энергии в таком звене, полученный в начале возмущения, уменьшается, то коле­ бания выходной величины с течением времени затухают. Колеба­ тельное звено с затухающим колебательным процессом является устойчивым. Примерами таких колебательных звеньев являют­ ся жидкостные дифманометры, некоторые типы мембранных ис­ полнительных механизмов, а также некоторые механические си­ стемы приборов.

Уравнение (4—24) представляет собой линейное дифферен­ циальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение

Р і = а + /ш и р2 = а — /со,

Переходный процесс в колебательном звене при комплексных корнях характеристического уравнения в общем случае может быть записан так:

*вых = Ае “'s in (at + cp) + хуст.

Зная, что хУст= Кхвх, при нулевых начальных условиях получим:

Уравнение (4—26) характеризует колебательный переходный процесс с частотой ш и затуханием а, стремящийся к установив­ шемуся значению хвых= К х вх при t-*-оо (рис. 79). Колебатель­ ный переходный процесс будет возникать лишь тогда, когда со-

т

блюдается неравенство Тf—4Т2<:0 или — < 2 .