книги из ГПНТБ / Решетов, Д. Н. Работоспособность и надежность деталей машин учебное пособие

Значения квантилей даются в таблицах в зависимости от вероятности безотказной работы. Например,

Операции с нормальным распределением проще, чем с другими, поэтому ими часто заменяют другие распределения. При значительных математических ожиданиях нормальное распределение хорошо заме­ няет биноминальное и пуассоново.

Композиции из двух или нескольких нормальных распределений дают нормальное распределение. Композиции из многих распределе­ ний по. любым законам, если среди них нет одного или двух домини­ рующих, также дают нормальное распределение.

Распределение наработки и других показателей качества после выбраковки дефектных изделий может подчиняться усеченному нор­ мальному распределению.

Логарифмически-нормальное распределение. При этом распреде­ лении случайной величины, в нашем случае — наработки, ее лога­ рифм распределяется по нормальному закону.

Плотность вероятности

/ (j) .°-43^_ e-(ig t-lg t0)2/2S

St "]/ 2я

где lgf0 = (2 1 g ft)/W0-

Распределение имеет два параметра: 10 и S. Математическое ожидание

tK = t0e'-'6ls\

Среднее квадратическое отклонение

Вероятность безотказной работы можно находить с помощью со­ кращенных таблиц для нормального распределения:

P(t) = l — y F 0(х), где х

Логарифмически-нормальное распределение несколько лучше, чем нормальное, описывает результаты усталостных испытаний. Достоин­ ством его по сравнению с нормальным является то, что оно может точнее описать распределения существенно положительных величин.

Распределение Вейбулла. Распределение в простейшей форме, обычно применяемой для задач надежности, характеризуется следу­ ющей функцией вероятности безотказной работы

P(t) = e~ ‘m/‘°.

Интенсивность отказов

М / ) = — /я - 1

50

Плотность вероятности отказов

Распределение Вейбулла имеет также два параметра: параметр формы т и параметр масштаба / 0.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

t.

Рис. 39 Рис. 40

Распределение Вейбулла обобщает экспоненциальное распределе­ ние, которое получается при т = 1.

Зависимость интенсивности отказов распределения Вейбулла от времени при разных т показана на рис. 39.

Распределению Вейбулла хорошо подчиняется долговечность под­ шипников качения, а также электронных ламп и других изделий. Для подшипников т — 1,4— 1,5.

Графическая обработка результатов испытаний для распределения Вейбулла производится так.

Логарифмируем выражение для Р (t):

lg я ( /) = - ? - 0 ,4 3 4 3 . ‘0

Вводим обозначение у —— lg Р (t) и логарифмируем:

lg у = т lg t — А, где А = lg t 0 + 0,362.

Откладывая результаты испытаний на графике в координатах lg t —

— lgy (рис. 40) и проводя через полученные точки прямую, получаем, что т = tg a, a lg 10= А — 0,362, где а — угол наклона прямой к оси абсцисс; А — отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

51

П р и м е ч а н и е. Д ля логарифмически нормального распределения x = ( lg t —lg

СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ВНЕЗАПНЫХ И ИЗНОСОВЫХ ОТКАЗОВ

внезапных и соответственно износовых отказов. Для системы из последова­

тельно соединенных элементов вероятность безотказной работы за период t, если до этого она проработала время Т

В период износовых отказов их интенсивность, как правило, мно­ гократно выше, чем внезапных.

ОСОБЕННОСТИ ВОПРОСОВ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ

У невосстанавливаемых изделий рассматривают первичные от­ казы, у восстанавливаемых — первичные и повторные отказы. Все рассуждения и термины для невосстанавливаемых изделий распрост­ раняются на первичные отказы восстанавливаемых изделий.

Для восстанавливаемых изделий показательны графики (рис. 42) эксплуатации (а) и работы (б) восстанавливаемых изделий. Первые показывают периоды работы, ремонта и профилактики (осмотров), вторые — периоды работы. С течением времени периоды работы между ремонтами становятся короче, а периоды ремонта и профилактики

возрастают.

У восстанавливаемых изделий свойство безотказности характери­ зуется средним числом отказов т ср. 0Т, отнесенным к одному изделию,

и частотой отказов (или параметром потока отказов) Л (t) = rfmcp.,0T ^ .

53

Частота отказов аналогична интенсивности отказов, но учитывает

повторные отказы.

В сложных изделиях (системах) параметр — суммарная частота отказов рассматривается как сумма частот отказов. Составляющие потоки можно рассматривать по узлам или по типам устройств, на­ пример, механическим, гидравлическим, электрическим, электрон­

по времени (рис. 43) наблюдаются максимумы соответственно среднему сроку службы первого, второго и третьего поколений элементов.

Дисперсии каждого последующего поколения резко возрастают по сравнению с предыдущим*. Кривые частоты отказов накладываются друг на друга и приближают суммарную частоту отказов к постоянной Л (7)= Л =1Д СР, которая гораздо больше, чем в период действия толь­

* Так как элементы малой долговечности могут заменяться также элемен­ тами малой долговечности, а элементы большой долговечности — элементами также большой долговечности.

54

В формуле второй член в знаменателе характеризует относительное время простоя; 1 — г] — относительное время простоя одного элемента;

1

— учитывает, что он не отказывает во время ремонта.

НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

Если требуется высокая надежность системы, состоящей из многих элементов, то повышением надежности элементов часто не удается огра­ ничиться и приходится применять резервирование. Резервирование позволяет уменьшить вероятность отказов на несколько порядков. Применяют; 1) постоянное резервирование с нагруженным, или горя­ чим, резервом, 2) резервирование замещением с ненагруженным, или холодным, резервом.

Резервирование наиболее широко применяют в радиоэлектронной аппаратуре, в которой резервные элементы имеют малые габариты и легко переключаются.

Особенности резервирования в машиностроении: в некоторых системах резервные агрегаты используют как рабочие в часы пик; в ряде систем резервирование обеспечивает сохранение работоспособ­ ности, но с пониженными показателями.

В транспортных машинах, в частности в автомобилях, применяют двойную или тройную систему тормозов. В пассажирских самолетах применяют 3—4 двигателя и несколько электрических машин. Выход из строя одной или даже нескольких машин, кроме последней, не при­ водит к аварии самолета. В морских судах — по две машины. Число эскалаторов, паровых котлов выбирают с учетом возможности отказа и необходимости ремонта. При этом в часы пик могут работать все эскалаторы. В общем машиностроении в ответственных узлах ис­ пользуют двойную систему смазки, двойные и тройные уплотнения. В станках применяют запасные комплекты специальных инструментов. На заводах уникальные станки основного производства стараются иметь по два или более. В автоматическом производстве применяют накопители, станки-дублеры и даже дублирующие участки автомати­ ческих линий.

Применение запасных деталей также можно рассматривать как вид резервиоования.

При п о с т о я н н ом р е з е р в и р о в а н и и резервные эле­ менты или цепи подключают параллельно основным (рис. 44). Вероят­ ность отказа всех элементов (основного и резервных) по теореме умно­ жения вероятностей

55

Если элементы одинаковы, то

Таким образом, в системах с последовательно соединенными эле­ ментами вероятность безотказной работы определяют перемножением вероятностей безотказной работы элементов, а в системе с параллель­

тов, причем все элементы постоянно включены и работают параллель­ но, то вероятность сохранения работоспособности системы определяет­ ся с помощью биноминального распределения. Степень бинома берут равной общему числу параллельно работающих элементов. Напри­ мер, если в системе предусмотрены два основных и один резервный элемент, то используют разложение бинома третьей степени. Вероят­ ность сохранения работоспособности системы представляется первыми двумя членами, из которых первый выражает вероятность безотказ­

менты включаются только при отказе основных. Это включение может производиться автоматически или вручную. К резервированию можно отнести применение резервных агрегатов и блоков инструментов, уста­ навливаемых взамен отказавших, причем эти элементы тогда рассмат­ ривают входящими в систему.

56

Для основного случая экспоненциального распределения отказов при малых значениях kt, т. е. при достаточно высокой надежности элементов, вероятность отказа системы (см. рис. 44)

Формулы справедливы при условии, что переключение абсолютно надежно. При этом вероятность отказа в п! раз меньше, чем при по­ стоянном резервировании. Меньшая вероятность отказа понятна, так как меньшее количество элементов находится под нагрузкой. Если переключение недостаточно надежно, то выигрыш может быть легко утерян.

Для поддержания высокой надежности резервированных систем отказавшие элементы следует восстанавливать или заменять.

Применяют резервированные системы, в которых отказы (в пре­ делах числа резервных элементов) устанавливают при периодиче­

элементами. Тогда расчет на надежность ведут за период от последней проверки. Если предусмотрено немедленное обнаружение отказов и система продолжает работать во время замены элементов или восста­ новления их работоспособности, то оценку надежности ведут за время от отказа до окончания ремонта.

В автоматических линиях, как известно, часто применяют накопи­ тели, которые разбивают линии на отдельные участки, причем отказ какого-нибудь элемента (станка) вызывает остановку не всей линии, а только одного участка. В это время другие участки продолжают работу, получая заготовки от накопителя или подавая заготовки в на­ копитель. При этом вероятность безотказной работы линии меньше

безотказной работы линии меньше вероятности для лимитирующего участка.

Эффективность разных способов резервирования проиллюстри­ руем на основной системе из четырех последовательно соединенных элементов с вероятностью безотказной работы каждого 0,9.

,7

дублированной системы с постоянным резервом в виде такой же си­ стемы (рис. 46, б)

Рст (0 = 1 - Qlr ( 0 = 1 - 0,352 = 0,88;

дублированной системы с ненагруженным резервом и вполне надеж­ ным переключением

системы с независимым постоянным дублированием каждого элемента

Если ту же систему рассматривать как восстанавливаемую с к о э ф ­ фициентом возможного технического использования каждого эле­

1+ — -----------—

0,9

При постановке в середине высоконадежного накопителя коэффициент технического использования

1 "Пет ' = 0,82.

2 (1- 0 ,9)

1+

0,9

Расчет надежности сложных систем. В технике иногда применяют сложные системы, которые нельзя свести ни к последовательным, ни к параллельным. Рассмотрим основную систему из двух элементов А / ' ,

58

которая дублирована системой ВВ' (рис. 47). Кроме того, предусмот­ рен дополнительно резервный элемент X, который резервирует эле­ менты Л и В и делает систему сложной.

Для расчета подобных сложных систем пользуются теоремой пол­ ной вероятности Байеса, которая в применении к надежности форму­ лируется так. Вероятность отказа системы

QCT(X исправен) = Qa- Qb- —

= (l — PA')(l — PB-).

Вероятность отказа системы при неисправном элементе X

QCT(X неисправен) = QAA Qbb- = (1 —Ра Ра ') (1 —РвРв-)-

Вероятность отказа системы в общем случае

QCT = (1 - Р А.) (1 - Р в.) Р х + ( 1 - Р а Ра -){1 - Р в Рв') Qx.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ

Долговечность ремонтируемых машин может быть физически не­ ограниченной, так как детали поочередно ремонтируются или заме­ няются. Однако со временем эксплуатации .время ремонта и стоимость технического обслуживания растут, межремонтные периоды и про­ изводительность падают.

Универсальным критерием оптимальной долговечности технологи­ ческих машин может быть себестоимость изготовления изделий. Вве­

59