Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Перегудов, В. В. Тепловые процессы и установки технологии полимерных строительных материалов и изделий учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 306 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Вводя тепловой эквивалент единицы работы 1/А кГм]ккал, по лучим

1 / dw V	1	ат
»-л\ж1	* ~	л т -	( Ш Л 1

Величину qE можно использовать для определения температур ных полей при переработке полимерных материалов в строитель ные изделия.

Однако для этого необходимо определить зависимость между напряжением сдвига и вязкостью перерабатываемых полимерных материалов.

§ 2. Изотермическое течение полимерных материалов

Для определения зависимости между напряжением сдвига и вязкостью рассмотрим сначала изотермическое течение по трубо проводу ньютоновской жидкости,

ttz

Z-0

Рис. 19. Схема действия сил на элемент жидкости при установившемся ламинарном течении в трубопроводе

Полимерные материалы обладают высокой вязкостью, поэтому во время переработки для них возможность турбулентного течения исключается. Для труб и каналов при течении полимеров из ска занного рассматривают только ламинарное течение.

Выделим в установившемся потоке жидкости (расплава поли мера), двигающейся по трубе, элементарный цилиндр радиусом г, длиной /. Радиус трубы обозначим R '(рис. 19). В связи с тем, что

при	увеличении	г скорость wr		уменьшается,		градиент	скорости
dwTldr	при этом	является величиной отрицательной. Поэтому сила
внутреннего трения F?,			возникающая		при движении выделенного
слоя dr, по закону			Ньютона, будет		выражаться		величиной
	dwT	.7	v Е		„•
FT =	— и,2nrl	• Кроме г т >		на выделенный		элементарный ци-
	dr

линдр действуют силы F\^=nrzPi			и р2 = тсг2Р2, где P i и Р 2 — давле:
ние, т. е. сила, приходящаяся *на единицу поверхности.
По законам динамики для установившегося					равномерного дви
жения
или		Fi =	Fz + Fx
или
				dwr	j,III . 12)
	яггР1 = пг2Р2—[й.кг1-^;				j,III . 12)
откуда	Р* — Р->
	Р* — Р->				(III.13)
	——-±rdr		= — dwr.		(III.13)
Интегрируя уравнение		( I I I . 1 3 ) , получают
	P i -	Pi г2 =	_ Ш	г + с ,	(111.14)
	4 p i
где С — постоянная	интегрирования.
Для определения	С рассмотрим граничные условия при r = R, в
случае отсутствия проскальзывания жидкости у стенок трубы, ско
рость жидкости равна нулю шг = 0 (при г = Р ) ,					следовательно,
		C = P i	~ ^ 2	PA	(111.15)
			4pJ .
Подставив значение С в уравнение				( I I I . 1 4 ) , получим
	wr=	P i ~	P a ( P 2	- r 2 ) .	(111.16)
		4pJ

Из уравнения (III.16) получаем, что при г = Р скорость жид-

1кости при ламинарном движении равна нулю, а при г=0, т. е. на оси трубы, скорость максимальна

a w = Р\~,Р2Яг-		(HI.17)
	4pi
Отношение скорости в рассматриваемой точке wr к максималь
ной а>макс равно
Р\ —рг mi	-2\1 .	\Р\~Р1
4\|*/	J I

или

r = 0 » m a x ( l — ( П 1 . 1 8 ^

Это уравнение известно под названием закона Стокса. Оно вы

ражает закон изменения			скорости	в поперечном				сечении трубы в
зависимости от расстояния точки от оси трубы. Это									распределение
описывается параболой			второй степени			(рис.	20). У		стенок	трубы
(r — R)wT равна нулю. На оси трубы скорость							максимальна.
Для определения расхода.жидкости					в трубе выделим в плоско
			сти потока элементарную площадку
			в форме		кольца			с внутренним			ра
			диусом		г	и .наружным r + dr					(см.
Хл v///////s///////////////////////\				19).		Площадь			выделенного
			рис.
R	Г		кольца		dS=2nrdr.			Отсюда		расход
			жидкости			через		эту	элементарную

	%	у	площадку			будет					'

dQceu = dSwr == 2nr drwr. (III . 19)

Рис. 20. Кривая скорости тече ния в поперечном сечении тру бопровода

Расход жидкости через все по перечное сечение трубы найдем пу тем суммирования элементарных расходов через кольцевые площад ки радиуса г и шириной dr

	QceK =	\ wr2nr		dr	(111.20)
или, подставляя wr из уравнения		( I I I . 16), получаем
Qc	Pi-Рг	\ (R2-		r*)2nrdr.	(111.21)
Qc	4ц/	\ (R2-		r*)2nrdr.	(111.21)
	4ц/
Проведя преобразования, 'получаем				окончательно
Qc	Pi—	Рг•nR!l		м3/сек.	(111.22)
	8ц/
Расход через среднюю скорость потока может быть выражен
	Qcen =	nR2w.		,	(111.23)
Подставив значение	QceK из (111.23)			в ( I I I . 2 2 ) ,	получим
		8ц/
откуда
	Pi-Рг		Rz.		(111.24)
		8ц/	Rz.		(111.24)
		8ц/

Отношение средней скорости к максимальной

	Р1~Р2	r>2	или
5>/	4[Л

(111.25)

Это отношение показывает, что при ламинарной скорости уста новившегося потока средняя скорость в трубе равна половине мак симальной. Следовательно, закон распределения скоростей тече ния при ламинарном установившемся потоке, представленный урав нением ( I I I . 18), можно записать

(111.26)

Выведенные уравнения справедливы для течения ньютоновской жидкости с постоянной величиной коэффициента динамической вяз кости.

§ 3. Изотермическое течение неньютоновской жидкости

Рассмотрим установившееся изотермическое		течение неньюто
новской жидкости, подчиняющееся степенному		закону течения	по
уравнению aT =	K(dw/dy)n.
Предположим, что неньютоновская жидкость подвергается про
стому сдвигу. Оси	координат (см. рис. 19) ориентированы при		те
чении по трубе так, что только одна компонента скорости — wz			не

равна нулю. В этом случае соответствующее ей реологическое урав нение принимает вид

с „ = М - ( | ^ - ) .

(111.27)

В этом уравнении wz является производной по времени в на правлении г, тогда уравнение (111.27) можно переписать в виде

. д	(dz\	д	tdz\	/	т т т п п ч
Величина dz/dr является	мерой	деформации		в данной	точке,
обозначим ее через е, а ее производную			по времени, которая		пред

ставляет скорость деформации в данной точке dwz/dr,		обозначим е.
Тогда после опускания индексов можно записать	'	ч
в = ц — = це.		(111.29)
дх

Учитывая, что вязкость полимерных материалов не является постоянной величиной и зависит от температуры, приложенного на-

пряжения и других факторов, перейдем к эффективной вязкости |л,Эф, которая определяет силу, вызывающую течение расплава,

	К	dw
	К
Р - » ф = — —	=	=	К[~Г~)	•	(Ш.30)
dw		dw	. \ ay J
dy		dy .
где n — индекс течения	жидкости, а		коэффициент	К — характери
зует свойство материала сопротивляться изменению формы.
Эффективная вязкость —		неньютоновских		жидкостей, под

чиняющихся степенному закону течения, связана со скоростью де формации [29] е формулой

о	б	I n - i
		(111.31)

где е° — скорость деформации (скорость сдвига) в точке, в произ вольно выбранном приведенном состоянии.

За приведенное состояние обычно принимают такое, при кото ром скорость сдвига равна 1 се/с- 1 ; |Лэф является эффективной вяз костью в том же приведенном состоянии; п — индекс течения рас плава полимерного материала.

Подставив уравнения (111.29) и (III.31)	в уравнение ( I I I . 12)	и
выразив Pz — P\+ (dP/dz)dz, a dwT/dr через	ar z , Мак-Келви [29]	и

ряд других авторов получили следующие уравнения для описания

установившегося изотермического			ламинарного				течения	неныото-
новской жидкости:
1. Скорость течения в данной точке
/	3 / 1 + 1 \ Г			(Г		\n+Unl
Ю ' = * ' Ь + г )			> - Ы				J	( Ш -3 2 )
2. Максимальная скорость течения
• ^ ш а х =	- (	)	2fi«	А			.	(111.33)
	x ' n + Г 'п		2fi«	.	V	dz	п
	n	+ \	2\i\	е°		dz
	\	'	' э ф

•3. Средняя скорость течения в трубе

4.Объемный расход жидкости Q через сечение трубы в общем случае

Q = 2jt \rwzdr^(^-^-)nR2wms,x.			'	(111.35)
J	х	3a + 1 '	'	J
о		1

5. Напряжение сдвига у стенки трубы

(111.36)

~ 2 \ dz >'

6. Скорость сдвига (скорость деформации) у стенки трубы

Зл + 1 у Q	J I I I . 3 7 )
. ,—БГ

7. Скорость сдвига (скорость деформации) в общем виде

Wmax \ I П+ 1 \ ( Г У"	(Ш.38)

§ 4. Неизотермическое течение полимерных материалов

При неизотермнческом течении расплавов полимеров за счет высокой вязкости происходит интенсивное выделение тепла.

Рассмотрим неизотермическое течение в круглой трубе при ус ловии отсутствия теплообмена с окружающей средой.

. .Интенсивность тепловыделения qE в установившемся ламинар ном потоке вязкой жидкости по круглой трубе, отнесенная к едини це объема, выражается

						1 /	dw \
						q E =	Aa\--dFJ>
где Л =427			кГм/ккал — механический				эквивалент	единицы теплаг
o=K(dw/dr)n			— напряжение, сдвига;				Uw/dr — скорость сдвига.
	Интенсивность			тепловыделе
ния Цъ ^меняется от					нуля на оси
трубопровода до				максимального
значения у			стенки	трубопровода.
	За счет высокой вязкости .рас
плавов		. возникают				достаточно
большие		градиенты давления, ко
торые приводят к				существенным
изменениям			плотности			расплава.
При значительной длине трубо
проводов происходит					уменьшение
плотности за счет объемного рас
ширения расплава, на что затра
чивается		определенное				количест
во	энергии.					Рис. 21 . Схема компонент скорости в
	Общий подход к решению та						цилиндрических	координатах
кой	задачи,		очевидно,		заключает

ся в рассмотрении энергетического баланса установившегося тече ния, на основе которого можно подсчитать работу и тепловые эффекты, а следовательно, оценить средний прирост температуры.

Для рассмотрения установившегося течения в трубопроводе вос пользуемся цилиндрическими координатами (рис. 21).

Уравнение неразрывности потока в цилиндрических координа тах можно записать в виде

= 1.|.(р™г , +

1 .. ± . (р«, ) + | г

( | я Г 0 _ < 1

(Ш.3»>

Уравнение движения

жидкости в цилиндрических

координатах.

Проекция на направление г

I dw. .

dwr , до о

dwr

•ау?

, "

дчюЛ

дР ,

\-w. — - А

• —--

дг

\ дх

дг

дд

д . .

дзго

—

• т ~ ( г о г г ) Н

-- тг -

(?2

Р<7г

Проекция

на направление б

(111.40)

Р I ~ - + даг

дэдр

dw0

wrw0

дщ

"дг"'

' ~Ж

~дг~

дР

or .

дО

дг

Р<7о-

дв

Проекция на направление z

I dwz

aw,dw,

WeWedw7 7

dwz \

- -+- m.

. Г 1

q .

daez .

dazz

]

Уравнение сохранения

энергии

для движущейся

сжимаемой

жидкости в цилиндрических координатах

р с

WQ dT

dT \

~dx~

Wr~dF

r'W

W*~dz-)

Г 1 д

1 dqQ dqz~]

I dP \

. I 1 д

1 dwe

dwzl

Г dwT. ,

1 / d w e ,

\ ,

dwz~[ J / d- wQ

аввТ\-dT

Wr) +

\ + A\ °rB

rdz-T

, 1 dwT \ ( dwz t

dwr \ ,

/ 1 dwz

dwe Yl

где <7e и qz

— компоненты вектора теплового

потока.

Для установившегося течения все производные по времени рав ны нулю (we — равна нулю вследствие осевой симметрии). Пред положим также, что величиной wr можно пренебречь по сравнению с wz, направленной вдоль трубы.

Если в уравнения неразрывности потока, движения и уравнение энергии подставить значение компонент напряжений из реологиче ского уравнения течения ньютоновской жидкости, которые приве

дены ниже, и пренебречь массовыми силами, то получим

уравнения

для неизотермического

течения.

Реологические

уравнения

компонент

для течения

ньютоновской

жидкости в цилиндрических координатах по Мак-Келви [29]:

(dwr

Г i

- ( r w T ) - \

dwo'

dwx]\

On = + u I 2

-г--г- —

— ^ r

—- + —— f +

Г 1

dwQ

dwA

a t [ - T r ( r w

r ) +

. —

— \ ,

/ 1 dwe

wr\

2 Г 1 д

dwe

dwz]\

Г 1

dwQ

dwz

+ Г

У-

T'aF{гщ)

7 -

W+-dz~

;

• i

(

, 1

(Ш.42)

2 Г Г д ,

, dw

Г 1

) +

дда9

, ЗшЛ

+ a i | - 7

. - ( ^ r

- — +

—J;

d (we\

6 Ж ]

oze =

ГбйУе ,

dwz~\

<yez

— +

—

\;.

Г dwx

dwr

где at — термический коэффициент объемного расширения,

a t =

(

др) -J\df)p-

Теперь, если сделать все подстановки и пренебречь aZz, получим уравнение неразрывности потока

				>(£)+-.(£)-<>•							<•"•«>
	Уравнение движения жидкости
			(dwz\		I дР	\	1	д i	дьаЛ		•
где		(.1Эф определяют по уравнению					( I I I . 3 1 ) .
	Уравнение энергии с учетом, что векторы теплового потока в ци
линдрических координатах соответственно равны:
			дТ			1	дТ			дТ
		qr=—X-—;	or	qQ	— ~-X	г	•— и qz=			—К—,
			or			г	oQ			dz
где	X — коэффициент теплопроводности							жидкости.
				/ дР\	fdwz\			1	dwzY		(IIL45»
			^ Ы ^ Ы + ^'Ы •								(IIL45»
где	су — удельная теплоемкость при V=const .
В		качестве	независимых			переменных			выбирают		Г и Р,
тогда		полный	дифференциал			плотности			жидкости р		можно
записать

1	/ dp	\
или с учетом, что	1 - —	I	= а*— термический	коэффици-

рх дТ >р

ент объемного расширения, а —	^ —	R V —величина	адиаба-
р \ дТ	т
тической сжимаемости, можно представить		(111.46) в виде
dp = — щр dT +	pVp dP.		(111.47)

Для рассмотрения изменения плотности вдоль координаты z

(вдоль трубопровода) записывают уравнение (111.47) в виде
др	( дТ \ '	/ дР\	( I I L 4 8 ) '
> ^ = - 4 - & ) + M & - )

и подставляют его в уравнение неразрывности потока (111.43). Тогда

Полученное уравнение (III.49) подставляют	в (111.44)	и
(III.45) —уравнения движения и энергии жидкости	с учетом,	что

Тогда получают систему двух нелинейных диффе

ренциальных уравнений в частных производных:

р*»[*(|г)--р,г(|г)1 =

(111.51)

Решения уравнений (III.50) и (III.51) известны только для не которых частных случаев.

Рассмотрим частное решение для распределения температуры в жидкости, которая при течении подчиняется степенному закону, на достаточно большом расстоянии от начала трубопровода.

При этом будем считать, что wz и Т не изменяются в отношении оси 2, что плотность жидкости постоянна (аг = 0 и pV = 0), а также примем для упрощения, что вязкость не изменяется с изменением температуры.

Тогда уравнения (111.50) и (111.51) могут быть представлены в виде

где п — индекс течения жидкости.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 306 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ