книги из ГПНТБ / Малиновский, Е. Ю. Динамика самоходных машин с шарнирной рамой (колебания и устойчивость движения)
.pdfМножитель р2 в выражении (226) свидетельствует о двух ну левых корнях соответствующего характеристического уравнения.
езультаты исследований этого особенного случая показывают что при надлежащем выборе коэффициентов Д(р) система моет быть ^ сделана устойчивой, но всегда неасимптотически у тоичивои. Для колесной машины неасимптотическая устойчи вость практически эквивалентна технической неустойчивости
системы, что требует непрерывного корректирования водителем курса машины.
Зная общее уравнение движения многошарнирной машины можно определить условия, которым должна удовлетворять ис ходная система, чтобы быть асимптотически устойчивой. Для этого необходимо учесть, что при возмущенном движении систе мы характеристическое уравнение (226) по отношению к исход
ным уравнениям (213) представляет собой знаменатель общего выражения передаточной функции:
|
WFhji (Р) = |
А'(Р) |
(227) |
|
|
р2А (р) |
|
где |
WF/y.(p) — передаточная функция по г-му каналу |
от входа |
|
F (р) |
к выходу ур Д (р) многочлен по р, соответствующий оп- |
||
ределителю, составленному из элементов левой части уравне нии (213) с заменой г-го столбца на столбец F(p).
Из выражения (227) следует, что для получения асимпто тической устойчивости системы в данном случае необходимо отыскать условия, при которых числитель (227), т. е. многочлен Д (Р), удается свести к форме Д '(р) = р2,Д"(ру (в этом случае выражение (227) можно сократить на р2) .
Анализ полученных уравнений показывает, что такую форму
можно получить для некоторых типов шарнирных схем, в част ности для двухшарнирных машин.
Исследуем этот вопрос подробнее. Запишем уравнения дви жения двухшарнирной машины (схема 2Ш), воспользовавшись полученными выражениями. Для упрощения выкладок будем
рассматривать |
расчетную |
схему, изображенную на |
рис 58 |
в |
|
приняв |
|
|
|
’ |
’ |
|
т1 = т3 = 0; j 1 = j з = 0; |
|
|
||
|
|
= Дх» |
4 ~ А3; |
|
|
|
h |
I |
tn2 = т; J2 = J. |
|
|
|
ai = — = |
— ; |
|
|
|
Примем, что машина симметрична по развесовке и имеет все |
|||||
шины одинаковой конструкции, |
это позволяет принять kx= kz= k\ |
||||
Ci2 = c23 = c; Д[ = Д3. Чтобы |
различать в уравнениях параметры’ |
||||
относящиеся к |
передней и задней секциям, индексы |
при Д, |
и |
||
Дз сохраним. |
|
|
|
|
|
150
Определим коэффициенты: |
|
|
|
|
|||
|
|
^1 = °; |
vi — i; |
ни = |
0; |
|
|
|
|
v? = |
1; |
= 0; |
|
|
|
|
|
Щ “ |
V2 = |
|
Рз “ |
1," |
|
|
v3 = |
0; pi§ == |
I; |
V3 = |
0; |
fi3v3 = 0. |
|
Выражения для |
приведенных масс запишем, |
как и прежде, |
|||||
в виде таблицы, учитывая, что |
£1 = |
~ |
~ |
тогда |
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
Ч т Д ) |
"(4~ £) |
|
||||
|
|
||||||
|
«(4~£) |
/ 1^ р2\ |
0 |
||||
|
U |
f2у |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
В соответствии с данными на стр. 139 приведенные жестко сти определятся как
С |
|
|
|
( |
с |
+ — |
) |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аг1 |
|
|
|
|||||
А? |
|
|
|
U |
|
Ai / J |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
с |
|
2с |
|
/ с |
|
|
|
с |
|
|
|
/_-£_ + |
- ± |
- \ |
~ л [ + ~ V + |
|
|
+ |
|
Т + |
|
с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А8/ |
|||
[ А? |
^ |
/ |
' ' |
с |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ 2 ^ / 2 |
|
+ |
/ 2 |
|
1 |
Аз/ ) |
|
|
||||
|
|
|
/ с |
|
с |
|
с |
_1_ |
с |
- |
, |
2с |
Д- |
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
Л - |
|
|||||||
С |
|
|
( |
I2 + |
A il |
+ |
^ |
/2 |
^ Д з / |
^ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|||||||
A J |
|
|
|
|
с |
с |
\ |
|
|
+ |
|
U |
+ v ) |
||
|
|
|
+ |
Т |
+ |
- & |
) |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аз |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аз1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аз |
|
151
коэффициенты k , _ i ; Кц Щ + \
к к
"аГ
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
к |
к |
|
|
Аз |
Аз |
коэффициенты |
К' » К г-И |
|
|
к |
0 |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
к |
0 |
V |
|
Сведем воедино зависимости (228)— (231), получим необхо димую систему уравнений (232). При принятых допущениях си
стема (232) приводится к характеристическому определителю, 1=6
сводящемуся к уравнению 6-й степени 'S^diP^1= 0. В этом урав-
нении два порядка оказались потерянными из-за пренебрежения
массами т,\ и т2. |
обычно, |
будет |
иметь вид |
|
Знаменатель WF/y .(p), как |
||||
(= 4 |
1 |
|
|
|
Р2 У аП°4~‘- |
Однако в данном случае нас интересует числитель |
|||
£=0 |
|
|
|
|
функции WF/y .(p). |
|
|
|
|
Предположим, что совокупность возмущений, действующих |
||||
на машину, |
может быть сведена |
к двум |
видам |
возмущений: |
F* (t) — боковой силе, приложенной в центре тяжести машины, и M*(t)— моменту, поворачивающему машину относительно центра тяжести.
152
Система (232)
Уо |
|
|
У\ |
|
|
Уг |
|
Уз |
F (Р) |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Р+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
k |
к |
с(1 |
Ар |
|
С |
|
|
0 |
|
+ ( - Г + |
Д1 |
А] 1 |
|
Аг1 |
|
|||||
|
|
|
||||||||
1 с |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ «) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с (1 + |
Ai) |
т ( т |
|
|
т ( т ~ |
£ ) - |
С |
Л (Р) |
||
А?/ |
2с |
с (1 +2A t) |
2с |
с |
, с |
77 |
||||
|
||||||||||
|
|
+ |
|
|
1* + Ax/ + А4 J |
|
|
|||
|
|
l'2 |
+ А\ 1 |
|
|
|||||
С |
|
“ ( т —ir V - |
т (— |
+ |
р2 + |
с (1 + А3) |
|
|||
|
V 4 |
/2 J |
fa (Р) |
|||||||
77 |
2с |
с |
с - |
2с |
с {1 +2Аз) |
Дз2 / |
||||
|
||||||||||
|
|
— _ 12 + АХ1 + А3/ . |
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----Р + |
|
|
|
|
|
С |
|
к |
|
с (1 + А3) |
+ (^Г+ |
0 |
|
|
|
|
77 |
|
. Лз |
|
Аз 1 |
|||
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
Ч )
Рассмотрим реакцию системы на возмущение F*(t). При принятой нами исходной системе координат возмущения F (р) могут быть приложены только вдоль осей г/j. Это значит, что F* (р) можно представить в виде
|
F*(p) = F1(p) + F2(p), |
|
(233) |
|
где |
F\(p), F2(p)— возмущения, действующие |
вдоль осей |
у х и |
|
у2. |
При симметричной машине Fx(p) =Р2(р). |
Смещение |
точки |
|
центра тяжести системы yz = |
запишем в виде |
|
||
У2 (Р) = WFly?. (Р) F (Р)
или
153
|
Уs (Р) = |
det I -f- det II -f- det III -f- det IV |
(234) |
||
|
р2Д (p) |
||||
|
|
|
|
||
здесь det |
I, II, |
III, IV — определители, составленные из элемен |
|||
тов левой |
части |
уравнения (232), |
где на место столбцов, соот |
||
ветствующих координатам у i и г/2, |
подставлены столбцы правых |
||||
частей. Для краткости все элементы этих определителей можно записать в виде
о |
0 |
+ F ( P ) |
0 |
0 |
— F ( p ) |
о |
0 |
|
(235) |
0 |
0 |
- F ( P ) |
0 |
0 |
|+ F (Р) |
|
1 |
0 |
0 |
В пустых клетках зависимостей (235) подразумеваются со ответствующие элементы из выражения (232). Знаки при F (р) указаны с учетом местоположения клетки г—/ с элементом F (р).
Выпишем алгебраические дополнения Mdet, соответствующие элементов F(p) в формулах (235):
|
М det I = |
|
|
||
|
|
|
с |
|
О |
|
|
|
А х/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
с(I 4- А3) |
|
С |
|
^ |
р ) Р |
||
A J |
' 2с , с(1 + 2Д3) |
* V |
|||
|
Р |
|
A l l |
||
|
|
|
|||
О |
k |
, |
с ( 1 + |
А з) |
|
Д3 |
|
Л§/ |
|
|
|
|
|
|
|
||
(236)
154
|
|
|
|
M d e t |
IV = |
|
|
|
|
||
Р + |
|
k |
|
Ai |
|
|
c (l + Ai) |
|
|
||
|
At |
|
|
|
ДI / |
|
|
|
|
||
V |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
+ ^ - |
p" -p |
|
|
|||
|
|
|
Ax) |
m ( |
— |
c |
|
||||
|
|
c ( l + |
\ |
4 |
|
P |
|
|
|
||
|
|
Aj/ |
|
2c |
|
c(/+ 2A0 |
Д3/ |
|
|||
|
|
|
+ |
p |
+ |
Д?/ |
|
|
|||
|
|
|
|
fe |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
c |
|
P + |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д3/ |
|
|
дз |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(237) |
Если в выражении |
(237) |
последовательно поменять местами |
|||||||||
1 и 3 строки, а затем |
1-й и 3-й столбцы, то получим |
|
|
||||||||
|
|
|
|
М detIV = |
|
|
|
|
|||
»р+(д:+ м |
|
|
|
Д3/ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
т ( т4 + тг) |
|
|
с (/ -[- At ) |
||||
|
|
До/ |
|
_2с |
|
с (/ -|- 2At) |
Д2/ |
|
|||
|
|
|
Р |
|
h\l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
fe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с (/ -р Ai) |
" Р +1 |
fe |
с |
||
|
|
|
|
аГ |
|
А*/ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(238) |
Аналогично для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
М det II = |
|
|
|
|
|||
k |
/ |
k |
с |
|
|
|
С |
|
|
|
|
— р + |
|
— + — |
|
|
|
д 7 |
|
|
|
|
|
V |
\ |
Д1 |
Дj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с (/ -|- At) |
т ( т |
|
~ Т )р2 + |
С |
|
|||||
|
|
А\1 |
|
— -р |
с |
|
с |
д 7 |
|
||
|
|
|
А,/ |
|
До/ |
|
|||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
с (/ -р А3) |
|
+ ■ |
||
|
|
|
|
Аз |
|
Д2/ |
|
■Р + |
А3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(239) |
155
M d et III = —
k |
( |
k |
с \ |
|
k |
|
с(1 -\- Др |
0 |
|
7 " |
|
|
|
Дг |
|
|
Д2/ |
||
Г |
^ |
+ 1 f / |
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
■ |
i - - £ y |
+ |
|
|
|
С |
|
|
|
4 |
|
Р / Н |
с (14' Дз) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дз1 |
+ |
|
2с |
+ —- 4- — |
Д2/ |
||
|
|
|
.. |
Р |
|
||||
|
|
|
|
д р |
д р |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
С |
|
— Р + |
|
|
|
|
|
|
Д7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
(240)
В результате последовательной замены в определителе (240) 1-й и 3-й строк и 1-го и 3-го столбцов будем иметь
|
|
М det III = |
— |
|
|
||
|
|
|
|
С |
|
|
О |
|
|
|
Дз/ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
с (/ 4~ А3) |
т |
|
|
|
|
с |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
д2; |
2с + — |
4- — |
|
др |
||
|
|
. I2 |
|
др |
д3/ |
|
п |
|
О |
& |
с(/ + Дх) |
/г |
|||
|
Дх |
|
д?/ |
|
И |
||
|
|
|
V |
а 1. У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(241) |
Из |
рассмотрения |
Mdet I |
и |
MdetIV, |
а |
также M detll и |
|
M detlll |
видно, что их элементы |
(с учетом Д1= Д3) оказываются |
|||||
попарно равными с точностью до знака |
при коэффициенте k, |
||||||
«сцепленном» с Дз. Таким образом, |
если выписать матрицу сво |
||||||
бодных членов M'det |
любого |
(каждого) |
из |
выражений (236), |
|||
(238) и (239), (241), то она образует определитель вида (напри мер, для Mdet I)
|
|
С |
0 |
|
|
|
|
Дз* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М' det I = |
2с |
с (/ + 2ДР |
с (/ + |
Дх) |
(242) |
** |
Д?/ |
д\ 1 |
|
||
Д,/ |
с |
|
|||
О |
k |
с ( 1 4- ДД |
k , |
|
|
Д1 |
Д\ 1 |
Дх |
Д2 |
|
|
|
|
156
Из выражения (242) следует, что условие |
|
М' det 1 = 0 |
(243) |
и аналогично равенство нулю всех четырех слагаемых, соответ ствующих условию (243), в числителе формулы (234) может быть удовлетворено, если:
а) выдерживается |
равенство |
|
|
|
к _ |
с |
и |
к |
с |
Д3 |
|
|
А? |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
||
б) изменяется знак при k в элементе — |
||||
|
|
|
|
Аз |
Условие а означает, что момент, создаваемый силами увода |
||||
относительно шарнира, |
при уводе |
на |
некоторый угол, должен |
|
быть равен моменту, возникающему в упругой заделке шарнира при уводе на тот же угол, т. е. kA = c.
Условие б означает, что колесо, связанное с задней секцией, должно, так же как и для передней секции, катиться по плоско сти, находясь впереди шарнира. Удовлетворить это условие можно только, повернув заднюю секцию колесом вперед.
Приняв условия (243), можно сразу получить, что в числи теле выражения (227) обращается в нуль не только свободный член, но и коэффициент при р. Действительно, значение этого коэффициента можно выписать из зависимостей (236), (238) и
(239), (241) с учетом |
попарного |
равенства |
в виде |
некоторой |
|||
суммы: |
|
|
|
|
|
|
|
k { |
с(£ + Д3) |
с \ |
с |
с k |
|
||
k |
с |
с |
с (I -f- Д[) |
с k |
(244) |
||
V |
Д2.1 |
А3/ |
|
Д^/ |
Дl_l |
v |
|
|
|
||||||
Итак, числитель |
передаточной функции |
WF/Vi(p) |
свелся к |
||||
виду р2А'(р), а это означает, что получена схема машины, обес печивающая устойчивость координаты у{ относительно возму щения F*(р) .
Нетрудно видеть, что исследование зависимости yt от возму щений, сводящихся к моменту сил М*(р), может быть опреде лено выражением (233), если заменить знак при F 2{p). В этом случае определители вида (242) также обратятся в нуль, однако условие (244) уже удовлетворено быть не может (половина сла гаемых сменит знаки), и таким образом числитель передаточной функции WF/yi(p) удастся свести только к виду рА"(р). Послед
нее означает, что без введения структурных изменений системы получить независимость траектории машин от действия возму щений, сводящихся к моменту, никогда не удастся.
157
Однако выявленная в результате анализа условия (243) воз можность синтезирования схемы колесного шасси, принци пиально устойчивого относительно действующих боковых сил, представляется достаточно важной, чтобы рассмотреть этот во прос подробнее. Для этого в уравнениях (232) перейдем к при вычной системе координат «смещение — курс», обозначив, как обычно, величинами а и 6 расстояния от центра тяжести ма шины соответственно до передней, и задней осей. Тогда, для центральной секции можно определить: курсовой ^ угол и бо ковое смещение
а = |
У1 — Уг |
. |
|
( а — АД -Т (Ь |
А,) |
||
|
|||
|
|
(245) |
|
.. , (У1 — </?) (а — АД |
|||
У — У1 ~г - |
,, ~ |
||
|
(а — Ai) + |
(Ь — АД |
|
и углы поворотов передней и задней секций |
|||
|
|
(246) |
|
Если подставить выражения (245) |
и (246) в формулу (232) и |
||
учесть, что в реальной системе параллельно каждому из упру гих элементов с необходимо ввести демпфирующий элемент, характеризуемый коэффициентом п, то, опуская промежуточ
ные преобразования и положив |
для |
простоты выкладок а = Ь |
||||
и Д1 = Дз = Д, можно получить |
следующую |
систему уравнений: |
||||
ту + ---У- |
2ka |
kb. |
ал |
• k^-x + |
||
2 k |
• |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
Ч------ а 2 — ka2 = |
F* (t) + kQ (t); |
|||||
r" , 2ka2 |
' |
. |
k a b |
• |
; |
|
Ja H------- a |
4-------- — kaax — |
|||||
V |
|
|
V |
|
|
(247) |
|
|
|
|
|
|
|
1 1^>
V
k b
■—
. |
|
^ |
+ |
■
У
|
k a b |
a |
2 |
+ kaa2= |
: M* (t) -1- kaQ (t); |
|||
------------ |
V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k b a |
‘ |
|
kAa + f |
k b 2 |
( \ i o \ |
= |
kAQ ( 0 ; |
-------- |
a |
— |
---------------M 2 a i |
|||||
- |
V |
' |
|
\ |
v |
1 |
|
|
k b a |
- — &Д(Х - \ - |
|
|
|
2 == 0 . |
|||
-------- a |
+ |
» Д а ) |
« |
|||||
VV
Вправой части системы (247) дополнительно введено воз мущение вида 0(0, отражающее необходимость поворота уп равляемых колес.
Если из последних двух уравнений в системе (247) опреде
лить р ( а i+ аг) и р (ai—a 2) и полученные выражения поставить
158
в первые два, а также ввести для краткости записи коэффи циент
£' = (! + Ш ) ~ \
то опуская промежуточные выкладки, мы можем записать урав нения движения рассматриваемой двухшарнирной системы
= v |
- рр * (/>); |
j (248)
Поскольку параметры исходной расчетной схемы, описы ваемой уравнениями (248), удовлетворяют условию существо вания зависимости (243), полученную схему удобно назвать двухшарнирной стабилизированной схемой.
Прежде чем делать какие-либо выводы по полученным зави симостям, полезно привести к аналогичной форме уравнения, описывающие движение обычного колесного шасси. Эти уравне
ния можно получить из выражения |
(247), в |
котором |
необхо |
|||
димо положить ai = a 2 = 0 |
(т. е. закрепить шарниры). |
|
||||
Тогда после преобразований получим: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(249) |
Нетрудно заметить, что |
уравнения (249) |
с |
точностью до |
|||
формы записи совпадают |
с уравнениями, |
предложенными |
||||
Я- М. Певзнером [19]. |
|
и (249) |
позволяет теперь |
сделать |
||
Сравнение систем (248) |
||||||
некоторые выводы. |
|
|
|
|
машины све |
|
Первый. Уравнения движения двухшарнирной |
||||||
лись к уравнениям двух |
связанных |
колебательных звеньев у и |
||||
а в отличие от двух апериодических звеньев при обычной схеме. Частота и степень демпфирования колебательных звеньев изме няются с увеличением скорости в соответствии с законом изме нения коэффициента который можно считать коэффициен том влияния условий стабилизации. Частота и степень демпфи
рования изменяются следующим |
образом. |
Частота |
с увеличе- |
|||
нием скорости уменьшается от со = |
/ |
2k |
~ |
г |
2с |
при у= 0 до |
1 / |
---- |
1 / |
----- |
|||
|
у |
тА |
|
| / |
гп |
|
некоторой малой величины с увеличением у. Таким образом, вы-
159