Д ля определения частот колебаний |
в общем слу |
чае необходимо решить уравнение |
частот (VIII, 8). |
Д л я системы с двумя степенями свободы решение по
лучается в замкнутом |
виде. |
Частоты |
находятся |
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = т1 Ъи+т% |
82 2 =27,85- 2,034 • 10~4 |
+18,34-10,32-10—4 = |
= (56,64+ 189,26) - Ю - 4 |
= |
2 4 5 , 9 - Ю - 4 ; |
|
В = тх-т2Ьи |
|
82 2 - |
8,1 = 27,85-18,34 (2,034-10~4 • 10,32- |
|
|
• Ю - 4 - |
2,4-10*) = 9498- Ю - 8 ; |
|
|
2 _ 245,9-10-'т(245,9)8—4,9498-Ю-*). 10-'_245,9- 10~'Т 152- |
1Q-'. |
Ш 1 2 — |
|
|
2,9498-10-8 . |
|
|
2-9498-10-s |
|
Частота |
первой |
формы |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
2 _ |
(245,9- 152)-Ю-' |
_ |
fi, |
„. |
|
|
|
|
1 ~ |
2-9498-10-8 |
|
|
— U J ' ^ > |
|
|
|
|
со, = /65,2 = 8,08. |
|
|
|
|
Период |
первой |
формы |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
Ti=W |
~ |оТ= 0 , |
7 7 |
с е |
к - |
|
|
|
Отношение амплитуд по первой |
форме |
колебаний: |
Xu—l\Kit— |
|
_ |
L ~ |
M I |
{ 1ГМ ? _ |
(1 —2,034-27,85-65,2) |
_ |
|
|
m 2 . 5 i |
2 . M i 2 |
— |
|
2-9498-10 |
~ |
|
|
_ |
1 — 2,034-27,85-65- 1Q-* |
_ |
9 |
fiq |
|
|
|
— |
2,4-10-'-18,34-65,2 |
|
|
~~ |
, Ь У ' |
|
|
Частота |
второй |
формы |
колебаний |
|
|
|
|
2 — А + УА' — 4В __ 245,9-10-'+ 152,5-10-' |
_ „ п о |
|
Ш 2 ~ |
2В |
~ |
|
2-9498-10-8 |
|
— о2«. |
|
Период |
второй |
формы |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
о>1 = |
/ 3 2 8 = |
18,1 |
|
|
|
|
Отношение амплитуд по второй форме колебаний
|
|
|
|
*2i = |
l,00 |
|
|
|
|
_ |
1 — 6п-тг<4 |
_ |
1 —2,034-10-«-27,85-328 |
_ _ Q ^ |
Х г 2 ~ |
т2-ё1Гт\ |
~ |
1,4-Ю-*-18,34-328 |
~ |
|
Определение |
сейсмических |
нагрузок |
|
а) |
По первой |
форме |
колебания |
|
|
|
„ |
1-0 |
100 |
т |
А |
|
|
|
|
|
P i = |
f~= |
77 = |
1,16. |
|
|
Расчетная |
сейсмичность 9 баллов, |
А"с |
= 0,1. |
Коэффициенты |
форм |
колебаний |
определяются по |
формуле, данной в инструкциях по определению сейс мических нагрузок.
где / — индекс формы; у — индекс этажа; k — номер
точки.
Коэффициенты формы по первой форме в первой и второй точке:
_ |
x11S(Q1xn |
+ Q2x13) |
_ |
1 / |
273-1 + |
189-2,69 \ _ |
- - |
|
((?1*?, + |
Оз*?2 > |
|
^ |
273-12-2189-2,69^ |
и » 0 * ' |
|
Ъ 2 = xuW^+Q*xu) |
|
= |
0,547-2,69 = 1,47 |
Сейсмические |
силы в точках 1 и 2 по первой форме |
Su |
= К • Pi • Qi • П\ 1 = 0,1 • 1,16 • 273 • 0,547 = |
17,32 т |
|
Slt |
= 0, Ы , 16 • 189 • 1,53 = |
33,54 т |
|
б) По второй |
форме |
колебания |
|
|
|
|
|
Р2 |
_ |
0'9 _ |
0»9 |
9 с о |
|
|
|
|
— |
Та |
~ |
0,348 — |
, 0 |
° |
|
Коэффициенты |
формы по второй |
форме в первой и |
второй |
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
х п ( Q l X n + |
Q»x„) |
|
|
/273-1 |
189-0,51 \ _ п |
ггл„ |
% 1 ~ |
QxAi + |
|
|
|
~ |
I |
2 7 3 |
' 1 2 |
1 8 4 ' 0 ' 5 1 3 J |
" |
|
x22 (Ql ^2l4-Q2 x2i) |
0,544-(- 0,51) = |
- 0,274. |
|
Ql x 21 ~l~ ^2 *22 |
|
|
|
|
Сейсмические нагрузки по второй форме |
колебания |
|
|
0,3480,9 = 2,588. |
|
S,i = Ас- Pa-Qi-А21 =0,1-2,58-273-0,544 = 38,327 Т. S2 2 = 0,1 -2,58-189 ( - 0,274) = - 13,367 Т.
Определить расчетные усилия в стойках и попе речных ригелях от действия сейсмических сил.
Расчетные воздействия определяются по формуле
где Ni — воздействия |
в какой-либо |
точке |
сооружения |
(перерезывающая |
сила, |
изгибающий момент, |
напряжение, |
перемещение |
и др. по форме ко |
лебания); |
|
|
|
|
|
|
|
|
Np^~расчетные |
воздействия по обеим |
учитываемым |
формам колебаний; |
|
|
|
|
п — число форм |
колебаний. |
|
|
Определение |
перерезывающих сил |
|
Первая |
форма |
колебаний |
|
Перерезывающая |
сила в верхнем этаже |
Q2 = 33,54/71, |
в нижнем этаже Qi=Sl+S1= |
|
|
17,32 + 33,54 = 50,86т. |
|
Вторая |
форма |
колебаний |
|
Верхний |
этаж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
Sa |
= |
- |
13,367 |
т. |
|
Нижний |
этаж |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qi — 5 И -f- S2 i |
|
- |
13,36 + |
38,32 = 24,98 т. |
|
|
Расчетные перерезывающие |
силы |
Q2D |
= |
+(<? . )" = |
/ 3 3 , 5 4 |
» + |
17,322 |
|
|
= / |
1124,9 + |
300 =37,81; |
' Q l p |
= |
/ " (Qi)i + |
(Q 2 )u = |
/ 5 0 , 8 6 |
» + |
24,98s = |
|
|
= /2586,74 + 624,00 = |
57,2 да. |
Перерезывающая сила распределяется между стой ками пропорционально их жесткости. Так как высоты всех стоек в каждом этаже одинаковы, распределение пропорционально моментам инерции поперечных сече ний стоек.
Стойки первого этажа: момент инерции наружных стоек
|
Ь2<й |
|
0 4-0 553 |
|
|
|
/„ = А£ |
= |
' |
^ |
|
= (0,0014) = 0,0055 м*; |
момент |
инерции |
внутренних |
стоек |
|
|
/вн |
= |
* r ^ i |
= |
0,4 • 0,53 |
|
|
|
|
у2~- |
^2 — 0,005 м^. |
Коэффициенты |
распределения |
усилий |
между стой |
ками: |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
- |
7 " |
_ |
|
|
0,0055 |
_ п О П |
7 . |
п |
~ |
I I I |
~~ 2-0,0055 + 3-0,0050 ~~ |
> |
is |
^вн |
|
|
0|005 |
г\ 1 п л . |
Л |
в н |
S /[ |
2-0,0055 + 3-0,0050 — и |
- 1 э и > |
перерезывающая сила в наружной стойке, |
QH = |
|
|
= |
57,2-0,207 = 11,84 да; |
перерезывающая сила во внутренних стойках
QB H = Qip-Лвн = 57,2-0,190 = 10,86.
Стойки второго этажа: момент инерции наружных стоек
°K-d\ 0,4-0,53
0,005 л 4 ;
момент инерции внутренних стоек
b%'d\ |
0 4• 0 |
/ в н = 2 _ i - |
|
286 |
333 |
коэффициенты распределения усилий между стой ками второго этажа
IT |
_ 2з_ |
|
0,005 |
1~. пол. |
н |
17, |
~ |
2-0,005 + 3-0,00213 ~ |
и > ^ ° ^ ' |
/ 1 а н |
2/, |
" |
2-0,005 + 3-0,00213 |
и > ^ ' |
перерезывающие силы в верхних этажах
QH = |
Qp 2 -tf„ = 37,8-0,284 = 14,515 да; |
Q B „ = |
Q p 2 - ^ B „ = 37,8 -0,142 = 5,3676 да, |
Изгибающие моменты (первая форма колебания)
Сейсмические нагрузки распределяются между стой ками пропорционально моментам инерции поперечных сечений
Второй этаж
Перерезывающая сила (S2 ), = 33,54 да.
Эта сила распределяется между наружными и вну тренними стойками следующим образом:
5„ « А " н - 5 , = |
0,284-33,54 = |
9,52 |
т |
|
SB H |
= ^ B „ - S 2 = |
0,142-34,54 = 4,76 да |
|
Изгибающие моменты определяем |
по методу |
нуле |
вых точек. |
|
|
|
|
|
Этот метод заключается в следующем: |
|
Нулевая |
моментная точка находится на середине |
высот стоек |
для всех этажей, кроме |
первого. |
|
Нулевая |
моментная точка для стоек первого |
этажа |
находится на расстоянии 2 /з высоты от основания. |
|
Моменты |
по концам |
стоек (наружных) |
будут |
|
Ма — QH a p - ^ —9>52- ^j r = 31,32 т/м.
Моменты по концам стоек (внутренних) будут
Мв = QB- Ц- = 4,76- e-f = 16,66 т/м.
Моменты в ригелях наружных узлов 7И=31,32 т/м,
Первый этаж О, = 50,86 от между стойками распределяется:
QH = Qt |
-Ки = 50,86 • 0,207 = 10,52 от |
|
Q B H = |
Qi-^"B H = 50,86-0,190 = 9,66 |
от. |
Моменты в наружных |
стойках |
на первом |
этаже |
Ml = Q„- |
10,52- у |
• 5,27 = 36,8 да/*. |
Верхние сечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
М'я = QH - -i/Zj = 10,52- |
у |
• 5,27 = 18,4 |
т/м. |
Моменты во внутренних |
стойках |
|
|
|
|
^L=QBH"| А,' = 9,66- -| • 5,27 = 33,9 |
т/м; |
^ в н = QB B - |
= 9 > 6 6 - 1 •5 ' 2 7 = 1 6 > 9 5 |
|
т1м- |
Моменты в ригелях наружных |
узлов |
|
|
|
Мнр |
= 31,32 + 18,4 = 49,72 |
т/м; |
|
|
л л |
|
16,66+ 16,95 |
|
л г ОГ |
I |
|
|
М » - р . = |
2 — |
= |
* 8 5 / 7 г / Л - |
|
|
|
Вторая форма |
колебания |
|
|
|
Второй этаж. Перерезывающая |
сила = — 13,36 = |
Распределение |
между |
стойками: |
|
|
|
|
QH = Qt-Ku = — 13,36-0,284 = - |
3,80 те; |
QB „ = Qa •#»„ = - |
13,36-0,142 = |
- 1,90 от. |
Моменты в наружных |
стойках |
|
|
|
|
|
MH = Q H |
" ^ = - 3,80- ^ |
= |
- 12,48 |
тп/м. |
Моменты во внутренних |
стойках |
|
|
|
|
Мв „ = QB - 42 = - 1 . 90 - ^f = - 6,24 т/м. Моменты в ригелях
Внаружных узлах
Жн р = — 12,48 т/м.
Во внутренних |
узлах |
|
|
|
Ж в , = ( - ^ ) = - ^ 4 = - 3,1 2 т/м. |
Первый этаж. Перерезывающая |
сила |
St = 24,98 т. |
Распределение |
перерезывающей |
силы |
между стой |
ками: |
|
|
|
|
SH = 24,98-0,207 |
= 5,17 т; |
|
SB |
= 24,98-0,190 |
= 4,74 т. |
|
Изгибающие моменты в стойках:
•yW<1) = | - -5,17-5,27 = 18,17 т/м;
Л1(2> = \ -5,17-5,27 = 9,09 т/м; МЫ = у -4,74-5,27 = 16,7 т/м;
|
|
ММ = 1 |
-4,74-5,27 = 8,35 т/м. |
|
|
|
|
Моменты в ригелях |
|
Наружные |
узлы |
|
|
|
|
|
|
|
Мнр |
= 9,09 - |
12,48 = |
- 3,38 т/м. |
|
Внутренние |
узлы |
|
|
|
|
|
|
Мвр |
= (8,35 - |
6,24) = |
2,11 т/м. |
|
Расчетные |
изгибающие моменты |
|
Верхний этаж, |
наружные |
стойки: |
|
Мн= |
/ |
31,32"+ 12,48* = / |
980,9424+ 155,7504 |
= |
|
|
|
= / |
1136,69 = 34,1 т/м. |
|
Внутренние |
стойки: |
|
|
|
|
Ж в |
= / |
16,662 + 6,24г |
= / |
277,5556 + 38,9376 |
= |
|
|
|
= /316,5 = 17,9 т/м. |
|
|
|
|
Моменты в ригелях |
|
Наружные |
узлы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Мир =34,1 |
т/м. |
|
Внутренние |
узлы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мв.р |
= |
= |
8,95 |
т/м. |
|
|
|
Первый этаж, |
наружные |
стойки: |
|
|
|
МЫ = / 3 6 , 8 2 |
+ 18,17а = |
V 1354,24 + |
330,1489 = |
|
|
- » / |
1684,39 =41,2 |
т/м. |
|
|
|
|
= / |
18,42 |
+ 9,092 = / 338,56 + |
82,628 |
= |
|
|
= |
>^ 421,19 |
= 20,10 |
т/м. |
|
|
Внутренние |
стойки |
|
|
|
|
|
|
|
= |
i/33,92 +16,7* =/1149,21 + 280 = 37,8 /я/л . |
/И'1» = |
/ 16,952 + 8,352 =уА 68,89 + |
287 = |
18,9 |
т/м. |
Эпюра |
моментов |
дана на рис. VIII. 13. |
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и л о ж е н и е I |
Начальные модули упругости |
обычного |
тяжелого |
|
бетона при сжатии и растяжении |
|
Проектная |
100 |
|
150 |
200 |
|
300 |
|
400 |
|
500 |
600 |
марка |
|
|
|
|
бетона
Началь
ный
модуль
упруго
сти, кг\см? 190 000 230 000 265 000 315 000 350000 380 000 400000
П р и м е ч а н и е . За начальный модуль упругости бетона при нято отношение нормального напряжения в бетоне к его относи тельной деформации при величине напряжения.
П р и л о ж е н и е 3 Сортамент сварных сеток по ГОСТ 8478—66
|
Расстояние |
ПО осям |
Диаметры |
стержней . |
Ширина сетки |
Марка сетки |
м е ж д у стержнями, |
см |
|
В по осям край» |
|
мм |
|
|
|
них стержней, |
|
продоль поиерчныпродоль |
попереч |
мм |
|
ными, t |
ми, tx |
ных, d |
ных, di |
|
200/250/3/3 |
200 |
250 |
3 |
3 |
900,1100 |
150/250/3/3 |
150 |
250 |
3 |
3 |
1400,1500 |
200/250/4/3 |
200 |
250 |
4 |
3 |
1700,2300 |
150/250/4/3 |
150 |
250 |
4 |
3 |
2500,2700 |
200/250/5/4 |
200 |
250 |
5 |
4 |
2900, |
150/250/6/4 |
150 |
250 |
6 |
4 |
900,1100 |
100/250/6/4 |
100 |
250 |
6 |
4 |
1500,2300 |
150/250/9/5 |
150 |
250 |
9 |
5 |
2500,2700 |
100/250/9/5 |
100 |
250 |
9 |
5 |
2900, |
250/200/3/4 |
250 |
200 |
3 |
4 |
900,1100 |
250/150/3/4 |
250 |
150 |
3 |
4 |
1300,1700 |
250/150/4/5 |
250 |
150 |
4 |
5 |
2300,2900 |
250/200/4/8 |
250 |
200 |
4 |
8 |
3500, |
250/150/5/9 |
250 |
150 |
5 |
9 |
|
200/200/3/3 |
200 |
200 |
3 |
3 |
|
150/150/3/3 |
150 |
150 |
3 |
3 |
1100,1300 |
100/100/3/3 |
100 |
100 |
3 |
3 |
1400,1500 |
200/200/5/5 |
200 |
200 |
5 |
5 |
1700,2300 |
100/100/5/5 |
100 |
100 |
5 |
5 |
2500,2700 |
150/150/7/7 |
150 |
150 |
7 |
7 |
2900,3500 |
100/100/7/7 |
100 |
100 |
7 |
7 |
|
200/200/8/8 |
200 |
200 |
8 |
8 |
|
200/200/9/9 |
200 |
200 |
9 |
9 |
2300,2500 |
150/150/9/9 |
150 |
150 |
9 |
9 |
100/100/8/8 |
100 |
100 |
8 |
8 |
|
100/100/9/9 |
100 |
100 |
9 |
9 |
|
П р и м е ч а н и я : 1. Для изготовления сварных сеток применя ется обыкновенная арматурная проволока 3—7 мм и стержни из
стали класса A-I1I |
диаметром 6—9 мм. |
Допускается |
применение |
-стержней из стали класса A - I . |
|
|
на |
рулонные |
и |
2. Сварные сетки при поставке подразделяются |
плоские. Для плоских сеток |
ширина В не должна превышать 2500 |
мм, а длина L—9,м; |
допускается по соглашению |
сторон увеличе |
ние длины до 12 м. |
|
стержней |
d |
в рулонных |
сетках |
не |
Диаметры продольных |
должны превышать |
7мм(6 |
мм—для |
сеток из стали класса А-Ш) |
