книги из ГПНТБ / Эксплуатационная надежность сельскохозяйственных машин
..pdfИнтервал Г2. ср — Т\,ср=2Е$ называют доверительным интервалом, а вероятность р — доверительной вероят ностью. Можно записать иначе:
F(Tcp - Е ? < Тср < Тср + |
Е?) = р, |
(3.49) |
|||
где Т ср — опытное |
среднее |
значение параметра Тср. |
|||
Это равенство означает, |
что |
доверительный интервал, |
|||
его часто обозначают |
|
|
|
|
|
^р (ПР — Ер |
Гср + Ер), |
|
|||
накроет точку Гср |
с вероятностью |
р в связи с тем, что |
|||
положение интервала /р |
является |
случайным |
на оси |
||
из-за случайности опытной величины Тср< В машинострое нии обычно принимают доверительную вероятность Р=0,9. Доверительный интервал 2Е$ по заданному значению р определяется однозначно при известном за коне распределения выборочной характеристики Гср> Определим интервальные оценки для принятых выше по казателей надежности сельскохозяйственных машин: среднего времени безотказной работы (Тср), средней на работки на отказ (Гср> о), среднего времени восстановле ния (Тср> р) вероятности безотказной работы R(t), коэф фициента готовности Кт.
Первые три показателя в части точности оценок однотипны, их точность определяется как точность сред неарифметической величины.
Из второй группы предельных теорем известно, что сумма N достаточно большого числа независимых оди наково распределенных случайных величин имеет рас
пределение близкое к нормальному. Множитель |
в |
выражении средних времен не изменяет нормальности закона. Следо-вательно, точечные оценки указанных выше показателей надежности распределены по нор мальному закону. Нормальный закон характеризуется средним значением (математическим ожиданием) слу чайной величины и ее дисперсией.
Воспользовавшись теоремой о том, что математиче ское ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы равна сумме дисперсий (II.12], получим
61
г N
т,, = М[ТС„] = м |
S '* |
|
|
yw,ср |
= *г |
|
/= 1 |
|
|
||||
|
|
N |
|
|
JV |
ср |
|
|
|
|
|
|
(3.50) |
и далее |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
D[TCр] = D |
(=i |
1 JST |
|
A/D, |
Dt |
(3.51) |
- |
- |
A/2 |
= - ^ . |
|||
|
ЛУ |
|
|
ЛУ |
|
|
Этот результат имеет большое практическое значе ние. Он показывает, что поскольку всегда N* больше единицы, то рассеивание средних характеристик сущест венно меньше чем исходных. Поэтому, как правило, в ка честве (показателей вводят средние значения величин, что позволяет повысить их стабильность.
Пользуясь полученным результатом, можно выраже ние для доверительной вероятности р записать в сле дующем виде
1 |
rc p t£ ? J I c p J V l |
|
|||
|
е |
2с2гср dTcp. |
(3.52) |
||
Р = |
2л |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ТсР~ Щ |
|
|
|
Т |
_Т |
■х, |
получим |
|
|
Вводя замену 1 ср |
1 |
ср |
|
||
|
Отср |
|
|
|
|
|
|
|
лG'J |
х 2 |
|
|
|
|
ср |
|
|
р = |
у 2л |
|
dx. |
(3.53) |
|
|
|
|
|||
G'J’
ср
Полученный интеграл можно представить как раз ность табулированных интегралов F0(z):
P = fo |
Е? ^ = 2fJ |
Е? |
1, (3.54) |
ср |
ср |
ср |
|
Здесь N — число перемонтируемых изделий, либо число отрез ков времени безотказной работы N 0 числа ремонтируемых изделий.
62
так как |
|
|
|
|
F0(— z) = |
1 — F0(z), |
|
|
|
Преобразуем |
|
|
|
|
F0 |
|
1 + P |
|
(3.55) |
|
|
2 |
|
|
Вводя квантиль нормального распределения |
U 1+ Р |
|||
и подставляя Огср = |
о, |
получим |
|
|
= = |
|
|
||
Д3 = -£*=, • £/,+* = |
. |
(3.56) |
||
Для /р с помощью |
Д[ + р |
составлены |
таблицы, что |
|
упрощает вычисления. Коэффициент Ц показывает в долях сггср ширину доверительного интервала (рис. 11).
При
Р = 68,3% — Др = ат |
\ |
Р = 95,4 — Др = 2ст(Г |
>; |
Ч' |
|
I р |
|
Р = 99,7% — Д? = 3<т(гср).
Для
Р = 80% —Ц = 1,28; Р - 9 0 % —^ = 1,64.
Таким образом найдены доверительные границы для среднего времени, то есть такие границы, в которых с вероятностью (5 лежит данная точечная оценка. В этой формуле полагалось, что теоретическая дисперсия Dt известна. Как правило, она не известна и ее вычисляют по эмпирическим данным с помощью формулы (3.30). В этом случае вместо квантилей нормального распреде ления пользуются таблицами распределения Стьюдента [II.6], где по доверительной вероятности р и числу степе ней свободы N—1 находят величину^. При N> 15+ 20 ошибка не превышает 5%. Более точные таблицы [II. 12] учитывают также и тот факт, что имеет место отклоне ние от нормального закона для суммы случайных вели чин при небольшом числе слагаемых.
Следующим показателем надежности является ве роятность безотказной работы. Оценим ее точность. Эта
63
задача близко примыкает к уже рассмотренной. Вероят ность безотказной работы может рассматриваться как среднее арифметическое значение наблюдаемой величи ны tii (число отказов в интервале ^-г(^ + Л0> которая в каждом опыте принимает значение 0, если отказ про изошел, или 1, если отказ не произошел,
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(3.57, |
Можно показать, что [1.2] |
|
|
|
|||
|
|
ЩЩ)) = R U |
|
(3-58) |
||
а дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
D(R{H)) = |
^ [1 ~ |
^ |
i -. |
(3.59) |
|
Доверительный интервал определяется теперь по фор |
||||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
щ |
= и ] |
/ |
|
|
(3.60) |
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Ritanc = R ± Ер '= R + tp Л/ |
|
\т ^ • |
(3,61) |
||
|
мин |
|
у |
|
Jy |
|
Эта |
формула |
справедлива |
для |
значений NR и |
||
N (I—R) |
больше четырех [1.2]. В общем случае для лю |
|||||
бых значений R и N верхняя и нижняя граница вероят ности безотказной работы определяются по разработан ным таблицам [1.3].
Отметим, что построив RMaH{t) и RM3KC(t) можно, за давшись определенной вероятностью у, графически опре делить доверительные границы для у-процентного ресур са (рис. 12).
Представляет интерес сравнить точность, обеспечи-' ваемую при вычислении среднего значения и вероятности безотказной работы. Введем относительную ошибку среднего
(Е;у = |
EZ |
1 |
= Н T r w |
---------- V |
|
|
У N |
V N ’ |
64
где v — коэффициент вариации времени безотказной ра боты.
Относительная ошибка вероятности равна
у N V |
R |
Рис. 12. Графический метод опреде ления доверительных границ гаммапроцентного ресурса.
Для нормального закона коэффициент вариации v=0,3, вероятность среднего срока службы R = 0,5. Сле довательно,
|
у |
= |
(0,3); |
|
N |
|
|
= |
|
h _ |
1. |
V n |
|
||
Как видим, относительная ошибка при вычислении вероятности безотказной работы в 3,0-=-3,5 раза больше, чем при вычислении среднего времени.
Обратимся к комплексному показателю — коэффи циенту готовности, и определим его точность.
Коэффициент готовности можно переписать в такой форме
Кг = |
1 |
(3,62) |
|
1 |
+ т1 ср ’ |
Предельные значения |
K.Z отвечают экстремальным |
значениям отношения |
|
z = |
(3,63) |
3 Зак. 1123 |
65 |
Положим для простоты, что отклонения средних зна чений Гср. в_и Тср от их математических ожиданий мало. Малость отклонений — доверительных интервалов — определяется в основном объемом выборки. Обычно число отказов (объем выборки) при определении Кг для тракторов и сельскохозяйственных машин достаточно велико — не менее 15—20 за период испытаний для од ной машины. Как правило, К определяется по 2—3 ма шинам, поэтому объем выборки достаточно велик, а доверительные интервалы х и у для Гср-в иТср невели ки. Пользуясь этим условием можно записать функ цию z в виде
|
— |
= |
|
Гср. |
1+ |
-=F |
|
||
|
|
|
: |
с р . В |
(3.64) |
||||
|
Z |
|
|
—==- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Г,ср |
1 + - J L - |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
тср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Разложим правую часть равенства в ряд по малым |
|||||||||
|
х |
|
и |
|
у |
и ограничимся линейным при- |
|||
отношениям .=---- |
|
гр |
|||||||
гр |
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
* |
ср* в |
|
|
* |
ср |
|
|
|
|
ближением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
/ J + |
+ |
|
Z • Т]. |
(3.65) |
|||
|
т■* ср у\ т 1 ср. в |
тл ср |
|
||||||
Поскольку |
х и у |
|
независимы, |
можно записать |
для |
||||
функции Т] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(Т1) = 1; |
|
0(ц) = |
|
|
(3.66) |
||||
Но |
|
|
|
|
|
( Г ср. в) 2 |
(Г с р )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(x) = D(Tcp в) = |
Щу) = ЩГср) = - ^ - . |
(3.67) |
|||||||
Теперь относительный доверительный интервал равен |
|||||||||
|
|
|
1 |
, f ~ D t |
|
Д |
|
||
и окончательно
2макс —2(1 + Е ). |
(3.69) |
|
мин |
‘ |
|
Подсчитав по опытным данным средние значения по казателей Гср. в и Тср, а также коэффициенты вариации времени безотказной работы v и времени восстановления vB, можно определить 2макс и гмин и, следовательно,
Кг. макс И Кг. м„„:
Ктмакс = |
------!-------- |
(3.70) |
М И Н |
1 ~г *мин |
/ |
I I ? |
||
|
макс |
|
Отметим особенности расчета доверительных |
интер |
|
валов для усеченных испытаний.
Для N неремонтируемых изделий сперва определяют ся параметры законов распределения с помощью, на пример, вероятностной бумаги, а затем расчет довери тельных границ выполняется как для полной выборки, но по числу изделий т отказавших за время усеченных испытаний.
Для ремонтируемых изделий, рассматривая проме жутки времени между отказами или между отказом (или началом испытаний) и концом испытания (если изделие не отказало) как случайные наработки, методами, при меняемыми для оценки усеченных испытаний перемонти руемых изделий, определяют параметры законов и пока затели надежности. После этого доверительные границы рассчитываются по вышеприведенным формулам, в кото рых под N следует понимать число отказов за время усе ченных испытаний.
Пример 1. Определить доверительные границы для среднего времени безотказной работы копачей свекло комбайна при следующих исходных данных. Доверитель ная вероятность р = 80°/о- Среднее время безотказной ра
боты Т ср = 100 ч (60 |
га). Испытывалось N = 50 изделий. |
|
Среднеквадратичное |
отклонение |
времени безотказной |
работы о = 30 ч. |
|
|
Для р = 80% имеем /р = 1,28. Следовательно, |
||
Гмакс = юо ± |
80 |
|
1,28 —т=== (100 + 5,43) ч = |
||
‘'мин |
/5 0 |
|
= |
(105,43-94,57) |
ч. |
з* |
67 |
|
Пример 2. Для |
|
исходных данных примера |
1, |
но для |
||
N = 5, рассчитать, |
доверительные границы |
для |
среднего |
||||
времени безотказной работы. |
|
|
|
||||
г |
1 |
’ |
9Я |
4 0 |
(82,75; |
117,25). |
|
макс = 100 + |
_ |
= 100 ± 17,25 = |
|||||
|
рмин |
у |
5 |
|
|
|
|
Пример 3. Данные примера 2, но (3 = 0,95. Имеем
7 с_макс = 100 ± |
1,96: 3° = 100 ± 26,2 = (74; 126). |
‘'мин |
у 5 |
Из трех примеров видно, как существенно влияет на величину доверительных границ число испытывавшихся изделий и доверительная вероятность.
Пример 4. Для исходных данных примера 2 опреде лить доверительные границы вероятности безотказной работы при R = 0,5, что соответствует среднему времени безотказной работы.
Ямакс (fcр) = 0,5 ± 1,28 |
= 0,5 ± |
|
М И Н |
V |
д |
+ 0,286 = (0,214; |
0,786). |
|
Относительная |
ошибка 56%. |
Как видим, ошибка |
вероятности существенно больше, чем ошибка среднего времени безотказной работы.
Пример 5^ Определить для |
данных примера 1 и |
|
vB= v= 0,3; zcp =0,25 доверительные |
границы для коэф |
|
фициента готовности. |
|
|
Имеем |
|
|
Д, = 1,28 У 0,32 + 0,32 |
0,777. |
|
у ж |
|
|
Теперь |
|
|
2макс = 0,25(1 ± 0,777) = |
(0,232; 0,27). |
|
М И Н |
|
|
Доверительные границы для параметра z составляют около 8%- Подсчитаем доверительные границы для коэффициента готовности
68
|
к г макс |
1 |
0,81; |
|
|
1 + |
|
||
|
|
0,23 |
||
|
КГ М И Н |
1 |
0,79. |
|
|
1 + |
|
||
|
|
0,27 |
||
Ошибка в сравнении |
со |
|
средним значением Кт= |
|
— ------— |
-------------= |
0,8, |
|
что составляет около 1 %. |
1 + г |
1 + 0,25 |
|
|
|
Таким образом, наименьшие доверительные границы из всех показателей имеет коэффициент готовности, что очевидно позволяет ори его оценке иметь меньшее коли чество экспериментальных данных.
6. Элементы планирования и контроля испытаний на надежность
Цель планирования испытаний на надежность состоит в определении двух параметров — времени работы изде лия на испытаниях и числа объектов, которые необходи мо испытать. В зависимости от того, каковы задачи про водимых испытаний, их планирование должно быть раз личным.
Если необходимо оценить машину комплексно, в це лом, то следует так построить план испытаний, чтобы с заданной точностью оценить ее коэффициент готовности. Если требуется оценить только безотказность сложного изделия, то достаточно при испытаниях определить на работку на отказ с наперед заданной степенью точности. Если требуется оценить надежность неремонтируемого изделия, то вероятность безотказной работы его должна быть определена с определенной точностью. Для оценки ремонтнопригодного сложного изделия следует оценить среднее время восстановления и т. д.
Рассмотрим сначала полные испытания. При этом будем полагать, что теоретические законы распределе ния времени безотказной работы изделия известны из анализа надежности, например, предшествующей модели. При полных испытаниях время испытаний определяется: для N' перемонтируемых изделий временем наступления отказа последнего (N-ого) образца, а для ремонтируе-
69
мых — временем работы всех N0 изделий до получения необходимого числа отказов п0.
Условимся полные испытания неремонтируемого из делия считать законченными, если вероятность безотказ ной работы его равна R(t„) =0,1. Из этого условия на ходится время tи, поскольку функция R(t) считается из вестной. Например, для закона распределения Вейбулла, получим
т и) = е |
= 0, 1. |
Отсюда |
|
t* = t0V — In 0,1 |
(3-71) |
Для нормального закона |
|
Пользуясь выражением квантиля нормального рас пределения, получим
£7o,i =
или
tu= T — UQt\e = Т —С/о,9<? = Т -Ь 1)28о —
= |
7(1 + 1,28V,), |
(3.72) |
где v, — коэффициент |
вариации времени безотказной |
|
работы. |
|
времени безот |
Время испытаний больше среднего |
||
казной работы на величину 1,28 а. |
|
|
Для Nо числа ремонтируемых изделий, среднее число
отказов «о при постоянном |
параметре потока отказов |
|||
Ао равно |
|
|
|
|
пО~ Ао^и^О' |
|
|||
Учитывая, что А о = ----, |
где 7ср— теоретическая |
|||
Тср |
|
|
||
средняя наработка на отказ, получим |
|
|||
't-я |
_ яр |
(3.73) |
||
Тср |
“ |
N0 |
||
|
||||
70