книги из ГПНТБ / Эксплуатационная надежность сельскохозяйственных машин

нов, тем самым проверяют принятый сперва без доказа­ тельства теоретический закон распределения.

Близость законов определяется величиной Хм (кри­ терий Колмогорова), равной максимальной, по абсолют­ ной величине, разности

умноженной на ] / N, где N — число изделий (или общий объем выборки).

Если Ля^1,0, то говорят о хорошем согласии между эмпирическим и теоретическим законом распределения.

Более точно оценка выполняется по функции вероят­ ности Р(ХN).

При P(XN) >0,3—0,4 —согласие хорошее.

До сих пор рассматривалась полная выборка. Часто при испытаниях приходится встречаться с так называе­ мыми усеченными выборками. Усеченную выборку полу­ чают например в такой ситуации: поставлены на испы­ тания N неремонтируемых изделий; из них за время ia отказало т изделий при наработках tu t% ...tm; для остальных N—т объектов наработки неизвестны, извест­ но лишь, что все они больше чем t а. Усеченные выборки могут быть и при оценке ремонтируемых изделий.

■ Если испытывается No изделий в течение времени ta и отказало из них то, при этом общее число отказов было По, то рассматривая время между отказами как время безотказной работы, можно условно считать, что испытывалось n0+No—т0 элементов, из которых N0—т0

не отказало, и их наработка не менее чем / ta• То есть, как видим, задача аналогична предыдущей. Для усечен­ ной выборки нельзя определить параметры распределе­ ния Гср и ot по формулам (3.3) и (3.5). В этом случае поступают следующим образом. Вычисляют вероятности

где ka — число интервалов At на отрезке времени 0—t а-

Затем находят преобразование, которое переводит вы­ ражение предполагаемого теоретического распределения в уравнение прямой. С помощью этого преобразования пересчитывают эмпирические значения F(ti) в новые координаты. Если пересчитанные точки F(tг) хорошо укладываются на прямую, то следовательно вид теоре­ тического распределения принят правильно. После этого определяют параметры найденной прямой. Их два: угол наклона и отрезок на оси ординат, отсекаемый прямой. По значениям этих параметров определяют два парамет­ ра теоретического распределения.

Покажем метод на примере трех законов, приведен­ ных в табл. 3.6.

Экспоненциальное распределение

у= k-t.

Спомощью выполненного преобразования удалось получить уравнение прямой, которая проходит через на­ чало координат, так как экспоненциальное распределе­ ние однопараметрическое. Тангенс угла наклона прямой, проведенной по эмпирическим точкам через начало ко­

ординат так, чтобы под линией и над ней находилось примерно одинаковое число точек, определяет параметр закона X.

Для удобства расчетов используют так называемую вероятностную бумагу (рис. 8). В этом случае пара­ метр X определяется по формуле

Пример 1. Дан ряд'распределений случайной .величины, характеризующий наработку до отказа гусеничного трактора. Проверить на экспоненциальный закон и оп­ ределить параметр распределения.

52

Рис. 8. Вероятностная бумага для экшшенциального распре­ деления.

Экспоненциальный закон:

Хе~'4\ / > 0

к — параметр распределения. Из графика:

к = 0,023 — tgi|>; L — 100 мм;

Rt

Rt = Rmn ~ Rmn = 100 ч; ф = 42°; tg* = 0,9004;

к = 0,023-1-0,9004» 0,02 1/ч;

RT — размах вариации, ч L — ширина графика, мм.

Нормальное распределение

о о

53

Вводят обозначение аргумента

t — Т

U*

о

где Uа — квантиль нормального распределения, то есть это такое значение аргумента, которое соответствует ве­ роятности отказа — а.

Тогда

U. =

t Г

о а

и уравнение прямой имеет вид

Вероятностная бумага для нормального распределе­ ния приведена на рис. 9. При у = 0 имеем

(3.43)

k

то есть среднее время безотказной работы определяется координатой точки пересечения аппроксимирующей пря­ мой с осью абсцисс (в единицах времени).

Среднеквадратичное отклонение равно

Пример 2. Дан эмпирический ряд распределения слу­ чайной величины, характеризующей наработки до отка­ за шлицев вала КПП гусеничного трактора. Проверить возможность аппроксимации его нормальным законом и определить параметры распределения.

0,001 |о,002jo,005|0,Ог|о,09jo,29jo, 57 0,8ljo,955 0,9sjo,99^0,9 9 4 J0 ,997

54

Рис. 9. Вероятностная бумага для нормального распределения.

Нормальный закон:

(t- ту

Я* = Ямам — #шш — размах вариации;

L — ширина графика, мм;

а, т — параметры распределения. Из графика:

55

at = 48,5 ctg o|r, Rt = 12-103 ч; L = 120 мм;

Ф = 78°; ctgi|> = 0,2126; a = 48,5• 100-0,2126 = 1030 ч;

T = 6300 4.

Распределение Вейбулла-Гнеденко

метр Ь. Абсцисса точки у = 0 на графике определяет вто­ рой параметр *о. Тогда

Для этого распределения также имеется вероятност­ ная бумага (рис. 10). Параметры *0 ;и Ъ с помощью ве­ роятностной бумаги определяются по выражениям

Здесь St — абсцисса точки пересечения прямой с осью lg*, определенная непосредственно по графику.

Пример 3. Дан ряд распределения случайной -вели­ чины, характеризующий наработку до предельного со­ стояния подшипника КПП трактора. Проверить соот­ ветствует ли распределению Вейбулла — Гнеденко и определить параметры распределения.

56

Закон Вейбулла — Гнеденко:

to, b — параметры распределения.

Шкала t построена по уравнению

S t = 100 lgf мм; 1 < * < 10.

Если 10</^100, значение t умножить на 10.

Отметим, что описанный графический способ опреде­ ления параметров теоретического распределения может быть использован и для полных выборок, а также для оценки близости эмпирического распределения к теоре­

тическому.

Определение параметров аппроксимирующего выра­ жения для полных выборок с помощью вероятностной бумаги не освобождает от дальнейшей уточненной про­ верки распределения по критерию согласия.

57

F

Рис. 10. Вероятностная бумага для закона Вейбулла — Гнеденко.

58

Отметим, что для экспоненциального распределения времени безотказной работы в случае усеченной выборки среднюю наработку до отказа и на отказ можно рассчи­ тать по простым формулам. Неремонтируемые изделия:

2*< + (Лl - m ) t a

В этих формулах в числителе фигурирует полная на­ работка всеми изделиями, а в знаменателе число отка­ зов, имевших место за время суммарной наработки.

Пример 1. 17 тракторов проходили испытания в тече­ ние 2000 часов. На трех из них имели место поломки ры­ чагов муфт сцепления в моменты времени ^ = 100 ч, ^2=700 ч, = 1.200 ч, после чего эти машины были сняты с испытаний.

Определить среднюю наработку на отказ и 80-ный ресурс.

Закон распределения экспоненциальный (внезапные отказы).

Средняя наработка на отказ

боты иметь значительно больше — 10 000 часов.

Пример 2. Для исходных данных примера 1 опреде­ лить ТСР' 0 и 7, при условии, что муфты были отремонтиро­ ваны и отработали полный срок испытаний — 2000 ч.

Теперь суммарное время испытаний равно

59

fcyM= 100 + 1900 + 700 + 1300 + 1200 -f 800 +

+ 14 ■2000 = 34000 ч;

tf — определяется из уравнения е 11300 = 0,8.

Имеем tf. =2540 ч.

Как видим, гамма-процентный ресурс увеличился на

оценки существенно зависят от числа опытных данных в рассматриваемой выборке и только при бесконечном их числе выборочные характеристики совпадают с гене­ ральными.

Рис. И . Закон распреде­ ления точечной оценки.

Оценка точности выборочных характеристик произво­ дится е помощью доверительных интервалов и довери­ тельных вероятностей.

В общем случае задача о доверительных вероятно­ стях и доверительных интервалах решается следующим образом. Из теоретических соображений или из опыта определяется закон распределения точечной оценки Тср (рис. 11). Отсекая от нижней и верхней границы значе-

60