книги из ГПНТБ / Рохлин, Л. Л. Акустические свойства легких сплавов

У

Рис. 15. Модель, использованная для расчета рассеяния ультразвука в поликристаллическом материале

области рассеяния. Ни один из них не охватывал все три области рас­ сеяния ультразвука зернами и не приводил к зависимости коэф­ фициента затухания, обусловленного рассеянием, от величины зер­ на по кривой с максимумом. Более общим является проведенный в [116, 125] теоретический расчет, который базировался на учете напряжений и деформаций, возникающих на границах зерен, и, та­ ким образом, принимающий во внимание наличие связи между ни­ ми. В расчете [116, 125] предполагается, что все кристаллиты имеют одинаковую форму и размеры и представляют собой прямоугольные параллелепипеды, в основании которых лежит квадрат со стороной а, а высота равна Ь. Эти параллелепипеды расположены таким об­ разом, что продольные волны ультразвука распространяются вдоль высоты Ъ. Схематически расположение кристаллитов показано на рис. 15, а. Система координат выбрана таким образом, что ось х совпадает с направлением распространения ультразвука, а ось у, направлена вдоль одной из сторон кристаллита а.

Рассмотрим два соседних кристаллита, которые ориентированы друг относительно друга произвольным образом и модули упруго­ сти которых в направлении распространения волн различны. Если, мысленно представить себе, что эти кристаллиты не связаны жестко, между собой, то в каждом из ни& при одной и той же частоте ультра­ звука будут распространяться волны различной длины (рис. 15, б).. Вследствие этого места сжатия и растяжения в одном кристаллите не будут совпадать с местами сжатия и растяжения в другом. В дей-

30

сгвительности соседние кристаллиты жестко связаны между собой, и различная длина волны в каждом из них должна приводить к воз­ никновению касательных напряжений на границе (рис. 15, в).

В случае отсутствия жесткой связи между кристаллитами рас­ пространение продольных волн в первом из них можно описать в

виде сц = а0 sin-(&ii* — соО. а во втором о2 = а„ sin (kioX — со/), где а — нормальное напряжение; со — частота, а кц и ki%— вол­

новые числа для первого и второго кристаллитов. Используя вол­ новое уравнение р (d2uldt2) = дз/дх, получаем для смещений в пер­ вом и втором кристаллитах в случае отсутствия жесткой связи между ними

Величина касательного напряжения на границе двух кристал­ литов при наличии жесткой связи между ними будет, очевидно, оп­ ределяться разностью в смещениях и1Л — щх— щъ которая может рассматриваться как величина смещения, соответствующая каса­ тельному напряжению т1]2, возникающему на границе двух сосед­ них кристаллитов в случае распространения в поликристаллическом материале продольных волн.

Из (2,9) имеем

Возникающие на границах кристаллитов при распространении продольных волн касательные напряжения будут изменяться во вре­ мени и с расстоянием и в связи с этим будут источниками попереч­ ных волн, распространяющихся перпендикулярно границам. Для направления у эти рассеянные волны должны удовлетворять волно­

вому уравнению d2u/dt2 = cf (д2и/ду‘г) при граничных условиях, задаваемых выражением (2,10), где с ;— скорость распростране­

Здесь utl — смещение в поперечной волне, распространяющейся

впервом кристаллите; kn — соответствующее волновое число. Выражение (2,11) представляет, таким образом, уравнение по­

перечной волны, рассеянной на границе между первым и вторым кристаллитом. Такое рассеяние будет происходить на каждой грани­ це, параллельной направлению распространения продольных волн.

31

При этом, очевидно, волны, распространяющиеся от противопо­ ложных границ в одном кристаллите, будут взаимодействовать меж­ ду собой. Чтобы учесть это взаимодействие, принимаем во внима­ ние, что уравнение рассеянной поперечной волны, распространяю­ щейся в первом кристаллите от границы, противоположной рас­ смотренной, можно представить в виде

ип = ^ {kn cos [knx + klx (a —у) — at] —

— ki-2 cos [ki2x + kti (a — y) — coif]}. (2,12)

При этом, не нарушая существенно общности рассмотрения, принимается, что с противоположной стороны первого кристаллита находится зерно, имеющее такие же модули упругости, как и вто­ рой кристаллит. Суммарная рассеянная волна в первом кристалли­ те]

Среднее значение плотности рассеянной энергии во времени и по объему

где G, ki, ki, Aki — средние значения модуля сдвига, волновых чи­ сел для поперечных и продольных волн и разности в волновых чис­ лах двух соседних кристаллитов в поликристалле.

Общая площадь границ кристаллитов, на которых возникают касательные напряжения, в единице объема составляет 4аЫ2а2Ь =

32

= 21а. Средняя плотность потока энергии через границу / ( = £,о. Учитывая это, для общей энергии, рассеянной в единице объема за единицу времени, имеем

где ct — средняя скорость поперечных волн в поликристалле. Средняя плотность потока энергии продольных волн

где Сп — среднее значение компоненты тензора модуля упругости, определяющей скорость распространения в материале продольных

волн (Сп = К -р 2ц, где X и ц — коэффициенты Ламэ); с; — сред­ няя скорость продольных волн.

Исходя из (2,17) и (2,18), коэффициент затухания ультразвука в поликрнсталлическом материале, обусловленный рассеянием, можно представить в виде

личении размеров кристаллитов изменяется по кривой с максимумом и при а и Ь, стремящимися к нулю или бесконечности, стремится к нулю. Таким образом, полученное выражение согласуется с ос­ новными выводами, которые можно сделать из теории рассеяния ультразвука в поликрнсталлическом материале.

Величину Дki можно выразить через среднее квадратичное от­ клонение модуля СХ1 о т среднего значения. Учитывая ki — 2 jt/ / q

и Ci = 1/^Сп/рс точностью до малых величин второго'порядка, по­ лучаем

Величина коэффициента рассеяния для большинства металлов порядка 10~2 -г- 10'4 (приложение 1). С другой стороны, скорость поперечных волн приблизительно в 2 раза меньше скорости продоль-

ных волн. Учитывая это, а также то, что /е( = 2nf/ct, можно сделать вывод, что величина Ak- на 1—2 порядка меньше, чем kt. Такое раз­ личие в значениях Д/г/ и k, позволяет выделить три области изме­ нения коэффициента затухания с увеличением размеров кристал­ литов. Для первой области, которая характеризуется наименьшими

размерами кристаллитов, kta < ^ у и Д/г;6<^-^-. В этом случае, ис­

пользуя разложение синусов в ряд: sin х ~ х — х3/6 и принимая а — Ь, можно записать

(2,22)

Таким образом, получается пропорциональность коэффициента затухания а3/4, которая характерна для рэлеевского рассеяния.

Для следующей области, которая характеризуется большими

случае выражения в скобках в формуле (2,20) можно принять рав­ ными единице и

(2,24)

т. е. получается характерный для диффузного рассеяния закон обратной пропорциональности размерам кристаллитов и незави­ симости от частоты ультразвука.

Все три области рассеяния достаточно четко видны на рис. 16, на котором приведены результаты расчета затухания для алюминия

на частоте 10 Мгц для а — Ь. При расчете принималось (АС'п/

/Си)2 = 5,71 • 10~4. Можно видеть, что при переходе от одной области рассеяния к другой наблюдаются осцилляции, связанные с периоди­ ческим характером изменения синуса. Эти осцилляции, однако, невелики и при проведении измерений могут рассматриваться как результат неточности измерений.

Анализ выражения (2,20) показывает, что максимум затухания

34

ос, М /л /

Рис. 16. Теоретически рассчитанное затухание ультразвука, обусловленное рассеянием в поликрнсталлнческом алюминии

Максимальное затухание

По величине максимума затухания результаты расчета для алю­ миния согласуются с экспериментальными данными в пределах порядка величины (оказываются большими приблизительно в 5 раз). Более существенно расхождение между теорией и экспери­ ментальными данными в отношении положения максимума затуха­ ния. При 10 Мгц, согласно проведенному расчету, максимум зату­ хания ддя алюминия должен быть при а 20 мм. В то же время экспериментально он наблюдается при среднем диаметре зерна по­ рядка длины волны ( ~ 0,6 мм). Такое расхождение между рассчи­ танными и экспериментальными данными объясняется тем, что при увеличении размеров зерен до значений порядка нескольких милли­ метров площадь рассеивающих границ уменьшается быстрее, чем предусматривает закон пропорциональности 21а, принятый в работе. По-видимому, этот фактор частично ответствен за более низкие экспериментальные значения максимума затухания.

2* 35

В приложении 1 приведены результаты расчета коэффициентов рассеяния различных металлов: [(Си — Си)/Си]2 и [(С44— С44)/

/С;4Р, выполненные по формулам (2,4)—(2,7). Величина коэффициен­ тов рассеяния характеризует упругую анизотропность кристалли­ ческой решетки металлов. Наименьшей упругой анизотропностью обладает вольфрам. Для него характерны очень низкие значения

коэффициентов рассеяния как на продольных волнах (ДСи/С41)2, так

и на поперечных (ДС44/С4,)2. Наибольшей упругой анизотропностью обладает графит. Магний и алюминий относятся к числу металлов с низкой упругой анизотропностью кристаллической решетки, что приводит к сравнительно малому рассеянию ультразвука иа гра­ ницах зерен. Этот факт является одной из причин того, что в случае звукопроводов из магниевых и алюминиевых сплавов удается до­ стигнуть малого затухания ультразвука.

Следует отметить, что рассеяние ультразвука зернами может про­

ультразвука зернами приводит к появлению ложных сигналов. Опыты в [126] проводили на материалах с довольно высокой упругой

Рассеяние ультразвука вследствие присутствия в структуре сплавов фаз,

имеющих различные акустические характеристики

Входящие в состав сплава фазы в общем должны отличаться по модулям упругости и плотности, вследствие чего материал должен быть акустически неоднородным и распространение ультразвука в нем должно сопровождаться дополнительным рассеянием. Учиты­ вая волновую природу ультразвука, следует предполагать, что рас­ сеяние будет определяться формой, размерами и характером рас­ положения фаз в структуре. При этом возможны различные случаи соотношения между длиной волны ультразвука и размерами раз­ личных по своим акустическим характеристикам структурных со­ ставляющих.

На возможность рассеяния ультразвука в многофазных сплавах вследствие различия в модулях упругости и плотности отдельных фаз указывалось в работах Д. С. Шрайбера [102—104] и Д. П. Ловцова, В. П. Сизова, А. Г. Спасского [127]. В ряде экспериментальных исследований [109, 113, 114, 128—131], выполненных на сталях с различной структурой: феррит + перлит, бейнит, мартенсит с кар­ бидами и др., а также горных породах, были установлены зависи­ мости затухания ультразвука, характерные для поликристаллических материалов. В этом случае области, занимаемые отдельными

36

носит формальный характер и не учитывает многих особенностей структуры, которые в той или иной степени должны сказываться на рассеянии.

Подход к рассеянию в многофазных сплавах, как в поликристал­ лах, не учитывает различий в плотности отдельных структурных составляющих, возможность различного характера их расположения друг относительно друга, а также то, что в пределах различных структурных составляющих может наблюдаться различное по ве­ личине затухание ультразвука.

Одним из приближений, которое может быть использовано при рассмотрении рассеяния ультразвука в многофазных сплавах, яв­ ляется модель включений в упругооднородном теле. Теоретическое рассмотрение рассеяния ультразвука в этой модели сводится к ис­ следованию рассеяния ультразвука одной частицей.

Применительно к твердой упругой среде задача о рассеянии уль­ тразвука частицей-включением была решена в работе [132]. Теоре­ тический расчет рассеяния ультразвука в этой работе [132] был вы­

тропная, и на границе между средой и частицей могут возникать сдвиговые напряжения. В случае упругой частицы Енг и Труелл [132] получили следующее выражение для поперечного сечения рас­

К. и К 2, Gu С2, pi, р2 — модуль всестороннего сжатия, модуль сдвига и плотность среды и частицы. (Индексом «1» обозначены ве­ личины, относящиеся к среде, а индексом '<2» — к частице.) Выра­ жение (2, 27) соответствует увеличению коэффициента затухания ультразвука с частотой и радиусом частицы пропорционально а3/4, т. е. рэлеевскому закону рассеяния. Величина geхарактеризует раз­ личие в модулях упругости и плотности среды и частицы. Она тем больше, чем больше это различие.

37

В работе [133] был проведен теоретический расчет рассеяния ультразвуковых продольных волн включением в упругопзотропной среде в более общем виде, для различного соотношения между размерами включений и длиной волны. Для случая, когда длина волны в среде была намного больше размера включений (kta 1), Джонсон пТруелл [133] получили выражения, совпадающие с теми, которые были получены в работе [132]. Численные расчеты, прове­ денные в работе [133], для некоторых конкретных случаев пока­ зали, что закон пропорциональности четвертой степени частоты (закон рэлеевского рассеяния), который справедлив для длин волн,

Рис. 17. Зависимость рассеяния продольных ультразвуковых волн на упругой сфере от радиуса сферы а и длины волны к (k\ = 2л/к)

а — германий в алюминии; б — нержавеющая сталь в магнии

намного больших размеров включений, соблюдается до значений kj_a ~ 0,25. При более высоких значениях kta увеличение попереч­ ного сечения с частотой происходит медленнее, причем могут на­ блюдаться осцилляции и максимум в значениях величины попереч­ ного сечения рассеяния.

Некоторые из рассчитанных Джонсоном и Труеллом [133] зави­ симостей представлены на рис. 17. Величина у*, изменение которой показано на рис. 17, представляет собой нормализованное попереч­ ное сечение рассеяния, равное поперечному сечению рассеяния у, деленному на площадь поперечного сечения включения (ул- = у/

/ла2).

Вработе Инспруха, Уиттерхольта и Труелла [134] проведен тео­ ретический расчет рассеяния ультразвука включением в упруго­ изотропной среде для поперечных волн.

Вслучае не одной, а многих сферических частиц, равномерно распределенных в упругоизотропной среде, коэффициент затуха­ ния ультразвука, обусловленный рассеянием, в соответствии с фор­

мулой (2,27) теории Енга и Труелла [132] может быть представлен в виде

(2,29)

38

где D — диаметр частицы; сг — скорость продольных волн; со5 — объемное содержание частиц.

Численные расчеты, проведенные по теории Енга и Труелла [132], дают согласнее экспериментальными данными в пределах по­ рядка величины [135—137].

В работе Н. Н. Егорова [138] предложено учитывать различное затухание ультразвука в структурных составляющих доэвтектоидной стали — феррите и перлите. По мнению автора [138], можно предположить, что затухание ультразвука в доэвтектоидной стали целиком обусловлено рассеянием и поглощением на анизотропных зернах феррита. Перлит же вследствие своей большей однородности не вносит вклада в затухание ультразвука. Такое предположение обосновывается значительно меньшим затуханием в перлите, чем в феррите. Исходя из того, что затухание ультразвука пропорцио­ нально количеству феррита в единице объема, Н. Н. Егоров [138] получил, что коэффициент затухания ультразвука в доэвтектоид­ ной стали

где у,,, — коэффициент затухания ультразвука в феррите на про­ дольных или поперечных волнах; фф и Q„ — объемная доля феррита и перлита соответственно. Рассчитанные по этой формуле значения коэффициента затухания оказались в хорошем согласии с экспери­ ментальными данными автора [138] для частот 0,8—18 Мгц.

Влияние пористости на затухание ультразвука в твердых телах

Такие дефекты в строении твердых тел, как раковины, трещины и поры, должны приводить к увеличению измеряемого затухания ультразвука. Однако сделать какие-либо количественные оценки влияния пор и других подобного рода дефектов на затухание ультра­ звука в материалах обычно бывает трудно, так как этому вопросу посвящено небольшое число работ.

Теоретическое рассмотрение затухания ультразвука в пористых материалах было выполнено параллельно с рассмотрением затуха­ ния ультразвука в упругоизотропной среде, содержащей включе­ ния, в работах [132—134].

В работе Енга и Труелла [132] рассматривался случай распро­ странения продольных волн в упругоизотропной среде, содержащей сферическую пору с радиусом, намного меньшим, чем длина волны ультразвука. Для поперечного сечения рассеяния ультразвука порой было получено выражение, аналогичное поперечному сече­

39