§5. Предел промежуточной функции.
Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §5,гл.2; §6, гл.2.
Рассмотрим функцию
Эта функция в точке
не определена, тем не менее ее предел
при
существует , причем
Этот предел часто называют первым замечательным пределом.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Сделаем замену
,
тогда при
4 случай. Раскрытие неопределенности типа 0·∞.
Пусть требуется найти
Если
то говорят , что произведение
представляет неопределенность 0·∞. Этот случай нахождения предела приводится к случаю 1 или 2 путем преобразования функции
Пример 7.
(см. пример 6).
Найдите пределы:
§6. Предел монотонной последовательности.
Число e и связанные с ним пределы.
Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §5, гл.1; §5, гл.2, § 7-8, гл.2.
В высшей математике встречается несколько весьма важных пределов последовательностей. Одним из таких является предел последовательности
При
выражение, стоящее в скобках, стремится
к единице, а показатель степени , в
которую выражение в скобках возводится,
неограниченно увеличивается. Доказательство
того, что эта последовательность имеет
предел, основано на применении теоремы:
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Предел последовательности по примеру Эйлера принято обозначать буквой e.
Итак,
Число e является иррациональным. Его приближенное значение с точностью до пятого знака: e≈2,71828.
Пример 1. Найдите
Решение. Сделаем замену
Рассмотрим теперь функцию
Число e ,определенное как предел последовательности , является также пределом этой функции при
Данный предел называется вторым замечательным пределом.
5 случай. Раскрытие неопределенности типа
Пусть требуется найти
Если
и
то говорят, что имеем неопределенность
В этом случае для нахождения предела используется второй замечательный предел. Вычисление многих пределов, связанных с числом e , основано также на применении следующего утверждения. Если
то
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Найдите пределы:
Варианты контрольной работы.
Вариант 1.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 2.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 3.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 4.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 5.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 6.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 7.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 8.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 9.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 10.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 11.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 12.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 13.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 14.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
7)
8)
9)
Вариант 15.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 16.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 17.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 18.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
7)
8)
9)
Вариант 19.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 20.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 21.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 22.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 23.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 24.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 25.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 26.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 27.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 28.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 29.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
Вариант 30.
Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
, 4)
,
5)
6)
,
7)
8)
9)
