§4. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного.

_{Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §5, гл.2.}

_{Вычисление пределов функции основывается на следующих теоремах.}

_{Пусть и- функции, для которых существуют}

_Тогда

1. существует и

2. существует и

В частности, для всякой постоянной

3. при существуети

Рассмотрим примеры на нахождение пределов с помощью этих теорем.

Пример 1.Найдите

Решение. Применяя теоремы о пределах, будем иметь

Пример 2.Найдите

Решение. Так как предел числителя

а предел знаменателя

Применяя теорему о пределе частного, получим

Непосредственное применение теорем о пределах не всегда приводит к цели. Так, например, надо обратить внимание на важное ограничение в теореме о пределе частного. Нельзя применять теорему о пределе частного, если предел знаменателя равен нулю. Поэтому часто, прежде чем применять эти теоремы, надо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые случаи нахождения предела функции.

1 случай.Раскрытие неопределенности вида

Пусть требуется найти Еслито будем говорить, что дробьпредставляет неопределенностьНахождение предела такой дроби будем называть раскрытием неопределенности вида

Пример 3.Найти

Решение. Здесь предел знаменателя равен нулю:

Кроме того и предел числителя равен нулю :

Поэтому нахождение предела сводится к раскрытию неопределенности Преобразуем дробь, разложив числитель на множители:

Сократим дробь на Это сокращение допустимо , так как при отыскании предела рассматриваются значенияИтак , для всехимеет место тождество

Поэтому пределы этих функций равны между собой :

Пример 4.Найдите

Решение.

Имеем неопределенность Преобразуем дробь:

следовательно,

Вообще, если ищется предел при дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в точкето такую дробь всегда можно сократить на

Пример 5.Найдите

Решение.

Имеем неопределенность Уничтожим иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя назатем сократим на

Пример 6.Найдите

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на произведение

затем сократим дробь на

Пример 7.Найдите

Решение.

Умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения получим :

2 случай. Раскрытие неопределенности

Пусть требуется найти Если числитель и знаменатель стремятся одновременно к бесконечн0ости , то говорят, что дробь представляет неопределенность

Пример 8.Найдите

Решение. Разделим числитель и знаменатель на получим

Пример 9.Найдите

Решение. Разделим числитель и знаменатель на Тогда

3 случай.Раскрытие неопределенности типа

Пусть требуется найти причем

В этом случае говорят, что имеем неопределенность Этот случай нахождения предела функцииприводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев ,т.е. к случаюили к случаю

Пример 10.Найдите

Решение.

Имеем неопределенность

Сложим дроби и

Пример 11. Найдите

Решение. Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем , равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на

Найдите пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13.