ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания «Предел функции одной переменной» составлены применительно к программе курса высшей математики для студентов факультета промышленное и гражданское строительство.

Указания состоят из 6 параграфов, вариантов контрольных работ. Каждый параграф начинается с указания литературы, которую студент должен прочитать и усвоить. Затем следуют краткие теоретические сведения, которые необходимы для последующего решения задач. Далее приводятся решения «типовых» задач. В конце каждого параграфа предлагаются упражнения.

§1. Понятие предела функции.

Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §6,гл.1; §2,гл.2.

Пусть задана функция . Теория пределов выясняет, как изменяются значения функции при изменении аргумента.

Рассмотрим поведение функции около точкиПредположим, что функция определена в некоторой окрестности точки,за исключением , быть может ,самой этой точки. Пусть значения функции приближаются к числу,когда значения аргумента приближаются к Это записывается так:при

Тот факт, что приближается к,означает , что разностьстановится как угодно малой. А это в свою очередь означает , что для любого положительногонаступит такой момент в изменении, после которого будет выполняться неравенство.

Процесс изменения функции в данном случае состоит в том , что рассматриваются значения функции при значениях аргумента, все более близких ки не равных.Близкие кзначениялежат в промежутке,где- положительное число. Уменьшая, мы тем самым уменьшаем длину промежуткаи ограничиваемся рассмотрением все более близких кзначений аргумента.Для, лежащих в промежуткевыполняются неравенстваили

Последнее неравенство записывается так:

Заметим, что по свойству абсолютной величины при всех, причемприипри

В теории пределов рассматриваются значения близкие к, но не равные Чтобы исключитьиз промежуткабудем записывать

Утверждение «если» означает, что для любого заранее заданного числаможно найти такой промежутокчто для всехиз этого промежутка,выполняется неравенствоили

Число называется пределом функциипри, стремящемся к, если для любого положительного числасуществует такое положительное число, зависящее от,что для всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство

В этом случае пишут:

§2. Понятие предела последовательности.

Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §3-5,гл.1; §1,гл.2.

Следует обратить внимание на то, что определение числовой последовательности является определением функции на множестве натуральных чисел, а поэтому определение предела последовательности сводится к определению предела функции на бесконечности.

Число называется пределом последовательностиесли для любого положительного числа, найдется такое числозависящее от, что для всех членов последовательности, номер которыхвыполняется неравенство

В этом случае пишут:

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.

§3. Бесконечно малые и бесконечно большие; их свойства. Сравнение бесконечно малых.

Изучите по учебнику Н.С.Пискунова §3,4,11, гл.2.

Функция называется бесконечно малой приесли ее предел приравен нулю, т.е.

Аналогично определяется бесконечно малая при

Отметим следующие свойства бесконечно малых.

1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой функцией при

2. _Пусть бесконечно малая функция приаограниченная функция в некоторой окрестности точки. Тогда произведениеявляется бесконечно малой функцией при

Функция называется бесконечно большой приесли для любого числанайдется такое числочто для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

О бесконечно большой функции говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел и пишут:

Отметим следующую особенность терминологии: если функция имеет бесконечный предел, то это значит, что предел функции не существует.

_{Следует обратить внимание, что из определения бесконечно большой функции при следует, что знакроли не играет, а требуется лишь , чтобы абсолютная величинамогла быть сделана больше любого наперед заданного положительного числа}

_{Бесконечно большие функции обладают такими свойствами.}

_{1). Сумма двух бесконечно больших функций одного и того же знака есть бесконечно большая функция того же знака.}

_{2). Сумма бесконечно большой функции и ограниченной}

_{функции – бесконечно большая функция.}

_{3). Произведение двух бесконечно больших функций – бесконечно большая функция.}

_{4). Произведение бесконечно большой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел,- бесконечно большая функция.}

_{Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует тесная связь.}

_{5). Если бесконечно большая функция при, то- бесконечно малая функция при. Обратно, если- бесконечно малая функция при, отличная от нуля в некоторой окрестности точки,за исключением, быть может, самой точкитобесконечно большая при}

_{Отметим, что разность двух положительных бесконечно больших функций может быть бесконечно большой, бесконечно малой, постоянной или даже функцией , не имеющей предела.}